Sphere of influence (astrodynamics)

A sphere of influence (SOI) in astrodynamics and astronomy is the oblate spheroid-shaped region where a particular celestial body exerts the main gravitational influence on an orbiting object. As such it is the dominating part of a gravitational field. It is usually used to describe the areas in the Solar System where planets dominate the orbits of surrounding objects such as moons, despite the presence of the much more massive but distant Sun.

In the patched conic approximation,^[1] used in estimating the trajectories of bodies moving between the neighbourhoods of different bodies using a two-body approximation, ellipses and hyperbolae, the SOI is taken as the boundary where the trajectory switches which mass field it is influenced by. It is not to be confused with the sphere of activity which extends well beyond the sphere of influence.^[2]

The most common base models to calculate the sphere of influence (sometimes also called gravisphere or gravity sphere)^[3][4][5] are the Hill sphere and the Laplace sphere, but updated and other models, as by Gleb Chebotaryov or particularly more dynamic ones, like the patched conic approximation, have been described.^[1][6] The general equation describing the radius of the sphere ${\displaystyle r_{\text{SOI}}}$ of a planet:^[7]

$${\displaystyle r_{\text{SOI}}\approx a\left({\frac {m}{M}}\right)^{2/5}}$$ where

• ${\displaystyle a}$ is the semimajor axis of the smaller object's (usually a planet's) orbit around the larger body (usually the Sun).
• ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle M}$ are the masses of the smaller and the larger object (usually a planet and the Sun), respectively.

في تقريب المخروط المُعدَّل، بمجرد أن يغادر جسم ما مجال جاذبية الكوكب، يصبح تأثير الجاذبية الرئيسي/الوحيد هو الشمس (إلى أن يدخل الجسم مجال جاذبية جسم آخر). ولأن تعريف مجال الجاذبية _يعتمد على وجود الشمس وكوكب، فإن هذا المصطلح لا ينطبق إلا في نظام ثلاثي الأجسام أو أكثر، ويتطلب أن تكون كتلة الجسم الرئيسي أكبر بكثير من كتلة الجسم الثانوي. وهذا يحوّل مسألة الأجسام الثلاثة إلى مسألة جسمين مقيدة.

يوضح الجدول قيم مجال جاذبية أجرام النظام الشمسي بالنسبة للشمس (باستثناء القمر الذي تم الإبلاغ عنه بالنسبة للأرض): ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

من الأمور المهمة التي يمكن استخلاصها من هذا الجدول أن "نطاق التأثير" هنا هو "النطاق الأساسي". فعلى سبيل المثال، على الرغم من أن كتلة كوكب المشتري أكبر بكثير من كتلة نبتون، إلا أن نطاق تأثيره الأساسي أصغر بكثير بسبب قربه من الشمس.

في الواقع، لا تُعدّ منطقة التأثير كرةً تمامًا. فالمسافة إلى منطقة التأثير تعتمد على المسافة الزاوية.${\displaystyle \theta }$من الجسم الضخم. الصيغة الأكثر دقة معطاة في ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle r_{\text{SOI}}(\theta )\approx a\left({\frac {m}{M}}\right)^{2/5}{\frac {1}{\sqrt[{10}]{1+3\cos ^{2}(\theta )}}}}$$

ينتج عن حساب المتوسط ​​لجميع الاتجاهات الممكنة ما يلي:

$${\displaystyle {\overline {r_{\text{SOI}}}}=0.9431a\left({\frac {m}{M}}\right)^{2/5}}$$

لنفترض وجود كتلتين نقطيتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$في المواقع${\displaystyle r_{A}}$و${\displaystyle r_{B}}$، مع كتلة${\displaystyle m_{A}}$و${\displaystyle m_{B}}$على التوالي. المسافة${\displaystyle R=|r_{B}-r_{A}|}$يفصل بين الجسمين. بافتراض وجود نقطة ثالثة عديمة الكتلة${\displaystyle C}$في الموقع${\displaystyle r_{C}}$يمكن للمرء أن يتساءل عما إذا كان ينبغي استخدام إطار متمركز على${\displaystyle A}$أو على${\displaystyle B}$لتحليل ديناميكيات${\displaystyle C}$.

تخيل إطارًا متمركزًا على${\displaystyle A}$خطورة${\displaystyle B}$يُشار إليه بـ${\displaystyle g_{B}}$وسيتم التعامل معها على أنها اضطراب في ديناميكيات${\displaystyle C}$بسبب الجاذبية${\displaystyle g_{A}}$من الجسم${\displaystyle A}$بسبب تفاعلاتها الجاذبية، النقطة${\displaystyle A}$ينجذب إلى النقطة${\displaystyle B}$مع التسارع${\displaystyle a_{A}={\frac {Gm_{B}}{R^{3}}}(r_{B}-r_{A})}$وبالتالي، فإن هذا الإطار غير قصوري. ولتحديد تأثيرات الاضطرابات في هذا الإطار كمياً، ينبغي مراعاة نسبة هذه الاضطرابات إلى جاذبية الجسم الرئيسي، أي${\displaystyle \chi _{A}={\frac {|g_{B}-a_{A}|}{|g_{A}|}}}$الاضطراب${\displaystyle g_{B}-a_{A}}$يُعرف أيضًا باسم قوى المد والجزر الناتجة عن الجسم${\displaystyle B}$من الممكن بناء نسبة الاضطراب${\displaystyle \chi _{B}}$للإطار المتمركز على${\displaystyle B}$عن طريق التبادل${\displaystyle A\leftrightarrow B}$.

	الإطار أ	الإطار ب
التسارع الرئيسي	${\displaystyle g_{A}}$	${\displaystyle g_{B}}$
تسارع الإطار	${\displaystyle a_{A}}$	${\displaystyle a_{B}}$
التسارع الثانوي	${\displaystyle g_{B}}$	${\displaystyle g_{A}}$
الاضطراب، قوى المد والجزر	${\displaystyle g_{B}-a_{A}}$	${\displaystyle g_{A}-a_{B}}$
نسبة الاضطراب${\displaystyle \chi }$	${\displaystyle \chi _{A}={\frac {|g_{B}-a_{A}|}{|g_{A}|}}}$	${\displaystyle \chi _{B}={\frac {|g_{A}-a_{B}|}{|g_{B}|}}}$

مثل${\displaystyle C}$يقترب من${\displaystyle A}$،${\displaystyle \chi _{A}\rightarrow 0}$و${\displaystyle \chi _{B}\rightarrow \infty }$والعكس صحيح. الإطار الذي يجب اختياره هو الإطار ذو أقل نسبة اضطراب. السطح الذي${\displaystyle \chi _{A}=\chi _{B}}$يفصل هذا النطاق بين منطقتي النفوذ. وبشكل عام، يكون هذا النطاق معقدًا نوعًا ما، ولكن في حالة هيمنة إحدى الكتلتين على الأخرى، على سبيل المثال${\displaystyle m_{A}\ll m_{B}}$من الممكن تقريب سطح الفصل. في هذه الحالة، يجب أن يكون هذا السطح قريبًا من الكتلة.${\displaystyle A}$، يدل ${\displaystyle r}$كمسافة من${\displaystyle A}$إلى السطح الفاصل.

	الإطار أ	الإطار ب
التسارع الرئيسي	${\displaystyle g_{A}={\frac {Gm_{A}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle g_{B}\approx {\frac {Gm_{B}}{R^{2}}}+{\frac {Gm_{B}}{R^{3}}}r\approx {\frac {Gm_{B}}{R^{2}}}}$
تسارع الإطار	${\displaystyle a_{A}={\frac {Gm_{B}}{R^{2}}}}$	${\displaystyle a_{B}={\frac {Gm_{A}}{R^{2}}}\approx 0}$
التسارع الثانوي	${\displaystyle g_{B}\approx {\frac {Gm_{B}}{R^{2}}}+{\frac {Gm_{B}}{R^{3}}}r}$	${\displaystyle g_{A}={\frac {Gm_{A}}{r^{2}}}}$
الاضطراب، قوى المد والجزر	${\displaystyle g_{B}-a_{A}\approx {\frac {Gm_{B}}{R^{3}}}r}$	${\displaystyle g_{A}-a_{B}\approx {\frac {Gm_{A}}{r^{2}}}}$
نسبة الاضطراب${\displaystyle \chi }$	${\displaystyle \chi _{A}\approx {\frac {m_{B}}{m_{A}}}{\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$	${\displaystyle \chi _{B}\approx {\frac {m_{A}}{m_{B}}}{\frac {R^{2}}{r^{2}}}}$

وبالتالي، يجب أن تستوفي المسافة إلى مجال النفوذ الشروط التالية${\displaystyle {\frac {m_{B}}{m_{A}}}{\frac {r^{3}}{R^{3}}}={\frac {m_{A}}{m_{B}}}{\frac {R^{2}}{r^{2}}}}$وهكذا${\displaystyle r=R\left({\frac {m_{A}}{m_{B}}}\right)^{2/5}}$نصف قطر مجال تأثير الجسم${\displaystyle A}$

يُعدّ البئر الجاذبي (أو القمع) مفهومًا مجازيًا لحقل جاذبية كتلة ما، حيث ينحني الحقل على شكل بئر قمعي حول الكتلة، مما يوضح الجهد الجاذبي الشديد وطاقته التي يجب أخذها في الاعتبار من أجل الهروب من الجزء الرئيسي من مجال التأثير أو الدخول إليه . ^{[ 14 ]}

من الأمثلة على ذلك المجال الجاذبي القوي للشمس ووجود عطارد في أعماقه. ^{[ 15 ]} عند نقطة الحضيض، يتعمق عطارد أكثر في بئر جاذبية الشمس، مما يُسبب ترنحًا مداريًا شاذًا أو ترنحًا مداريًا عند الحضيض، وهو أكثر وضوحًا من الكواكب الأخرى نظرًا لوجود عطارد في عمق بئر الجاذبية. وقد قام ألبرت أينشتاين بحساب هذه الخاصية لمدار عطارد بدقة من خلال صياغته للجاذبية مع سرعة الضوء ، ونظرية النسبية العامة المقابلة ، لتكون هذه إحدى أولى الحالات التي أثبتت صحة النظرية .

• إخلاء الحي
• مجال التل
• مجال النفوذ (الثقب الأسود)

• Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentals of astrodynamics. Dover books on astronomy. New York: Dover Publications. pp. 333–334. ISBN 978-0-486-60061-1.
• Sellers, Jerry Jon; Astore, William J.; Giffen, Robert B.; Larson, Wiley J. (2015). Marilyn (ed.). Understanding space: an introduction to astronautics (4nd ed.). New York: McGraw-Hill Companies. pp. 228, 738. ISBN 978-0-9904299-4-4.
• Danby, J. M. A. (1992). Fundamentals of celestial mechanics (2nd ed.). Richmond, Va., U.S.A: Willmann-Bell. pp. 352–353. ISBN 978-0-943396-20-0.

• Project Pluto