كروي

الكرات ذات المحاور الدورانية الرأسية

مفلطح		استرخاء

الشكل الكروي ، المعروف أيضًا باسم القطع الناقص الدوراني أو القطع الناقص الدوراني ، هو سطح رباعي الشكل يتم الحصول عليه عن طريق تدوير القطع الناقص حول أحد محاوره الرئيسية؛ بعبارة أخرى، القطع الناقص ذو نصفي قطر متساويين . يتمتع الشكل الكروي بتناظر دائري .

إذا دار القطع الناقص حول محوره الرئيسي ، فإن النتيجة هي شكل كروي ممتد ، ممدود مثل كرة الرجبي . كرة القدم الأمريكية مشابهة ولكن لها نهاية مدببة أكثر من الشكل الكروي. إذا دار القطع الناقص حول محوره الثانوي ، فإن النتيجة هي شكل كروي مفلطح ، مسطح مثل العدس أو حلوى M&M العادية . إذا كان القطع الناقص الناتج دائرة، فإن النتيجة هي كرة .

بسبب التأثيرات المشتركة للجاذبية والدوران ، فإن شكل الأرض (وكل الكواكب ) ليس كرويًا تمامًا، بل إنه مسطح قليلاً في اتجاه محور دورانه. ولهذا السبب، غالبًا ما يتم تقريب الأرض في رسم الخرائط والجيوديسيا من خلال شكل كروي مفلطح، يُعرف باسم القطع الناقص المرجعي ، بدلاً من الكرة. يستخدم نموذج النظام الجيوديسي العالمي الحالي شكلًا كرويًا نصف قطره 6,378.137 كم (3,963.191 ميل) عند خط الاستواء و6,356.752 كم (3,949.903 ميل) عند القطبين .

كانت كلمة "كروي " تعني في الأصل "جسم كروي تقريبًا"، مع السماح بوجود مخالفات حتى خارج الشكل الإهليلجي ثنائي أو ثلاثي المحاور؛ وهذه هي الطريقة التي يستخدم بها المصطلح في بعض الأوراق القديمة في علم المساحة (على سبيل المثال، في إشارة إلى التوسعات التوافقية الكروية المقطوعة لنموذج الجاذبية الأرضية ). ^[1]

معادلة القطع الناقص ثلاثي المحاور الذي يقع مركزه عند نقطة الأصل مع أنصاف المحاور أ ، ب ، ج محاذية على طول محاور الإحداثيات هي

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {ج^{2}}}=1.}$

يمكن الحصول على معادلة الشكل الكروي مع محور التماثل z عن طريق وضع a = b :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

نصف المحور a هو نصف القطر الاستوائي للكرة، و c هي المسافة من المركز إلى القطب على طول محور التناظر. هناك حالتان محتملتان:

• ج < أ : كروي مفلطح
• ج > أ : كروي متمدد

حالة a = c تتحول إلى كرة.

الكرة الكروية المفلطحة ذات c < a لها مساحة سطحية

${\displaystyle S_{\text{مُسْتَوْسَخ}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{حيث}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

يتم إنشاء الشكل الكروي المفلطح عن طريق الدوران حول المحور z لقطع ناقص مع شبه محور رئيسي a وشبه محور ثانوي c ، وبالتالي يمكن تحديد e على أنه الانحراف . (انظر القطع الناقص .) ^[2]

الكرة الكروية الممتدة مع c > a لها مساحة سطح

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{حيث}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

يتم إنشاء الكروي المتمدد عن طريق الدوران حول المحور z لقطع ناقص مع شبه محور رئيسي c وشبه محور ثانوي a ؛ لذلك، يمكن تحديد e مرة أخرى على أنه الانحراف . (انظر القطع الناقص .) ^[3]

هذه الصيغ متطابقة بمعنى أنه يمكن استخدام صيغة الشكل _{المستطيل} S لحساب مساحة سطح الكروي المستطيل والعكس صحيح. ومع ذلك، يصبح e بعد ذلك وهميًا ولا يمكن تحديده بشكل مباشر بالانحراف. يمكن صياغة كلتا النتيجتين في أشكال أخرى عديدة باستخدام الهويات الرياضية القياسية والعلاقات بين معلمات القطع الناقص.

الحجم داخل الكرة (من أي نوع) هو

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\تقريبًا 4.19a^{2}c.}$

إذا كان A = 2a هو القطر الاستوائي، و C = 2c هو القطر القطبي، فإن الحجم هو

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\تقريبًا 0.523A^{2}C.}$

دع الشكل الكروي يتم تحديده على النحو التالي

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

حيث β هو خط العرض المنخفض أو خط العرض المعياري ، و λ هو خط الطول ، و−π/2< β < +​π/2و −π < λ < + π . إذن، الانحناء الغاوسي للكرةهو

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

ومتوسط ​​انحنائها هو

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

كلا المنحنيين يكونان دائمًا موجبين، وبالتالي فإن كل نقطة على الشكل الكروي تكون بيضاوية الشكل.

نسبة العرض إلى الارتفاع للكرة الكروية/القطع الناقص المفلطح، c  : a ، هي نسبة الطول القطبي إلى الطول الاستوائي، في حين أن التسطح (يسمى أيضًا التفلطح ) f ، هو نسبة الفرق بين الطول الاستوائي والقطبي إلى الطول الاستوائي:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

غالبًا ما يتم استخدام الانحراف الأول (عادةً ما يكون الانحراف ببساطة، كما هو موضح أعلاه) بدلاً من التسوية. ^[4] يتم تعريفه من خلال:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

العلاقة بين الانحراف والتسطيح هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

تُعرَّف جميع الأشكال الإهليلجية الجيوديسية الحديثة بواسطة شبه المحور الرئيسي بالإضافة إلى إما شبه المحور الثانوي (الذي يعطي نسبة العرض إلى الارتفاع)، أو التسوية، أو الانحراف الأول. وفي حين أن هذه التعريفات قابلة للتبادل رياضيًا، فإن الحسابات في العالم الحقيقي يجب أن تفقد بعض الدقة. لتجنب الارتباك، يعتبر التعريف الإهليلجي قيمه الخاصة دقيقة في الشكل الذي يعطيه.

الأشكال الأكثر شيوعًا لتوزيع كثافة البروتونات والنيوترونات في النواة الذرية هي كروية ، وممتدة، ومفلطحة، حيث يُفترض أن المحور القطبي هو محور الدوران (أو اتجاه متجه الزخم الزاوي الدوراني ). تحدث الأشكال النووية المشوهة نتيجة للمنافسة بين التنافر الكهرومغناطيسي بين البروتونات والتوتر السطحي وتأثيرات الغلاف الكمومي .

الكرات الكروية شائعة في مزارع الخلايا ثلاثية الأبعاد . تشمل الكرات الكروية المتوازنة الدورانية الكرات الكروية ماكلورين والقطع الناقص لجاكوبي . الكرات الكروية هي أيضًا شكل من أشكال التحف الأثرية.

الشكل الكروي المفلطح هو الشكل التقريبي للكواكب الدوارة والأجرام السماوية الأخرى ، بما في ذلك الأرض وزحل والمشتري والنجم الذي يدور بسرعة ألتير . زحل هو الكوكب الأكثر تفلطحًا في النظام الشمسي ، مع تسطيح قدره 0.09796. راجع تسطيح الكواكب والانتفاخ الاستوائي للحصول على التفاصيل.

استنتج عالم التنوير إسحاق نيوتن ، الذي عمل على تجارب البندول التي أجراها جان ريتشر ونظريات كريستيان هويجنز لتفسيرها، أن كوكبي المشتري والأرض عبارة عن كرويين مفلطحين بسبب قوتهما الطاردة المركزية . ^{[5] [6]} تعتمد الأنظمة الخرائطية والجيوديسية المتنوعة للأرض على مجسمات بيضاوية مرجعية ، وكلها مفلطحة.

الشكل الكروي المتمدد هو الشكل التقريبي للكرة في العديد من الألعاب الرياضية، مثل كرة الرجبي .

تقترب العديد من أقمار النظام الشمسي من شكل الكرات المتطاولة، على الرغم من أنها في الواقع عبارة عن قطع ناقصة ثلاثية المحاور . ومن الأمثلة على ذلك أقمار زحل ميماس وإنسيلادوس وتيثيس وقمر أورانوس ميراندا .

على النقيض من تشوهها إلى كرات مفلطحة عن طريق الدوران السريع، تتشوه الأجرام السماوية قليلاً إلى كرات مفلطحة عن طريق قوى المد والجزر عندما تدور حول جسم ضخم في مدار قريب. المثال الأكثر تطرفًا هو قمر المشتري إيو ، الذي يصبح مفلطحًا أكثر أو أقل قليلاً في مداره بسبب الانحراف الطفيف، مما يتسبب في نشاط بركاني مكثف . لا يمر المحور الرئيسي للكرات المفلطحة عبر أقطاب القمر الصناعي في هذه الحالة، ولكن من خلال النقطتين على خط استوائه المواجهتين مباشرة نحو وبعيدًا عن الأساسي. يتحد هذا مع التشوه المفلطح الأصغر من الدوران المتزامن ليتسبب في أن يصبح الجسم ثلاثي المحاور.

يستخدم المصطلح أيضًا لوصف شكل بعض السدم مثل سديم السرطان . ^[7] مناطق فرينل ، المستخدمة لتحليل انتشار الموجات والتداخل في الفضاء، عبارة عن سلسلة من الكرات الكروية المتطاولة المتحدة المركز ذات المحاور الرئيسية المحاذية على طول خط البصر المباشر بين المرسل والمستقبل.

تتخذ النوى الذرية لعناصر الأكتينيدات واللانثانيدات شكل الكرات المتطاولة. ^{[8] وفي علم التشريح} ، يمكن قياس الأعضاء شبه الكروية مثل الخصية من خلال محاورها الطويلة والقصيرة . ^[9]

تمتلك العديد من الغواصات شكلًا يمكن وصفه بأنه كروي ممتد. ^[10]

بالنسبة للكرة الكروية ذات الكثافة المنتظمة، فإن عزم القصور الذاتي هو عزم القطع الناقص مع محور تماثل إضافي. إذا أعطينا وصفًا للكرة الكروية على أنها تحتوي على محور رئيسي c ومحاور ثانوية a = b ، فإن عزم القصور الذاتي على طول هذه المحاور الرئيسية هو C و A و B. ومع ذلك، في الكرة الكروية تكون المحاور الثانوية متناظرة. وبالتالي، فإن حدود القصور الذاتي لدينا على طول المحاور الرئيسية هي: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

حيث M هي كتلة الجسم المحددة على أنها

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

• قبة بيضاوية
• انتفاخ استوائي
• القطع الناقص العظيم
• عدسي
• إحداثيات كروية مفلطحة
• بيضوي الشكل
• إحداثيات كروية ممتدة
• دوران المحاور
• ترجمة المحاور

• الوسائط المتعلقة بالكرات في ويكيميديا ​​كومنز
• "شبه كروي"  . Encyclopædia Britannica (الطبعة الحادية عشرة). 1911.