ميكانيكا المدارات

جزء من سلسلة عن
ديناميكا الفضاء
ميكانيكا المدارات
العناصر المدارية أبسيس حجة الحضيض غرابة الميل متوسط ​​الشذوذ العقد المدارية المحور شبه الرئيسي شذوذ حقيقي
أنواع مدارات الجسمين حسب الانحراف مدار دائري مدار إهليلجي مدار النقل ( مدار نقل هوهمان مدار نقل ثنائي الإهليلجي مدار مكافئ مدار زائدي مدار شعاعي مدار متدهور
المعادلات الاحتكاك الديناميكي سرعة الهروب معادلة كيبلر قوانين كيبلر لحركة الكواكب الفترة المدارية السرعة المدارية الجاذبية السطحية الطاقة المدارية النوعية معادلة فيس-فيفا
ميكانيكا سماوية
التأثيرات الجاذبية مركز الثقل كرة التل الاضطرابات مجال النفوذ
مدارات الجسم N نقاط لاغرانج ( مدارات الهالة ) مدارات ليساجوس مدارات ليابونوف
الهندسة والكفاءة
هندسة ما قبل الطيران نسبة الكتلة جزء الحمولة نسبة كتلة الدافع معادلة صاروخ تسيولكوفسكي
تدابير الكفاءة مساعدة الجاذبية تأثير أوبيرث
المناورات الدفعية المناورة المدارية إدخال المدار
ف ت هـ

ميكانيكا المدارات أو ديناميكا الفضاء هي تطبيق علم المقذوفات وميكانيكا الأجرام السماوية على المشاكل العملية المتعلقة بحركة الصواريخ والأقمار الصناعية والمركبات الفضائية الأخرى . عادة ما يتم حساب حركة هذه الأجسام من قوانين نيوتن للحركة وقانون الجاذبية الكونية . ميكانيكا المدارات هي أحد التخصصات الأساسية في تصميم ومراقبة البعثات الفضائية .

تتناول ميكانيكا السماوات على نطاق أوسع ديناميكيات المدارات للأنظمة تحت تأثير الجاذبية ، بما في ذلك المركبات الفضائية والأجرام الفلكية الطبيعية مثل الأنظمة النجمية والكواكب والأقمار والمذنبات . تركز ميكانيكا المدارات على مسارات المركبات الفضائية ، بما في ذلك المناورات المدارية وتغيرات المستوى المداري والانتقالات بين الكواكب ، ويستخدمها مخططو المهام للتنبؤ بنتائج المناورات الدافعة .

تعتبر النسبية العامة نظرية أكثر دقة من قوانين نيوتن لحساب المدارات، ومن الضروري في بعض الأحيان استخدامها لتحقيق دقة أكبر أو في حالات الجاذبية العالية (على سبيل المثال المدارات القريبة من الشمس).

حتى ظهور السفر إلى الفضاء في القرن العشرين، لم يكن هناك تمييز كبير بين ميكانيكا المدارات والسماوات. في وقت سبوتنيك ، كان يطلق على هذا المجال اسم "ديناميكيات الفضاء". ^[1] وبالتالي فإن التقنيات الأساسية، مثل تلك المستخدمة لحل مشكلة كيبلر (تحديد الموقع كدالة للزمن)، هي نفسها في كلا المجالين. علاوة على ذلك، فإن تاريخ المجالين مشترك بالكامل تقريبًا.

كان يوهانس كيبلر أول من نجح في نمذجة مدارات الكواكب بدرجة عالية من الدقة، ونشر قوانينه في عام 1605. نشر إسحاق نيوتن قوانين أكثر عمومية للحركة السماوية في الطبعة الأولى من كتاب Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)، والذي أعطى طريقة لإيجاد مدار جسم يتبع مسارًا مكافئًا من ثلاث ملاحظات. ^[2] استخدم إدموند هالي هذا لتحديد مدارات المذنبات المختلفة، بما في ذلك المذنب الذي يحمل اسمه . تم صياغة طريقة نيوتن للتقريب المتتالي رسميًا في طريقة تحليلية بواسطة ليونهارد أويلر في عام 1744، والذي تم تعميم عمله بدوره على المدارات الإهليلجية والزائدة بواسطة يوهان لامبرت في 1761-1777.

كان أحد المعالم البارزة في تحديد المدارات هو المساعدة التي قدمها كارل فريدريش جاوس في "استعادة" الكوكب القزم سيريس في عام 1801. كانت طريقة جاوس قادرة على استخدام ثلاث ملاحظات فقط (في شكل أزواج من الصعود المستقيم والانحراف )، للعثور على العناصر المدارية الستة التي تصف المدار تمامًا. تم تطوير نظرية تحديد المدار لاحقًا إلى الحد الذي يتم فيه تطبيقها اليوم في أجهزة استقبال نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) بالإضافة إلى تتبع وفهرسة الكواكب الصغيرة المرصودة حديثًا . تُستخدم تحديد المدارات والتنبؤ بها الحديثة لتشغيل جميع أنواع الأقمار الصناعية والمسبارات الفضائية، حيث من الضروري معرفة مواقعها المستقبلية بدرجة عالية من الدقة.

تم تطوير علم الديناميكا الفلكية بواسطة عالم الفلك صامويل هيريك في بداية ثلاثينيات القرن العشرين. وقد استشار عالم الصواريخ روبرت جودارد وشجعه على مواصلة عمله في تقنيات الملاحة الفضائية، حيث كان جودارد يعتقد أنها ستكون مطلوبة في المستقبل. تم ربط التقنيات العددية لعلم الديناميكا الفلكية بأجهزة كمبيوتر قوية جديدة في ستينيات القرن العشرين، وكان البشر مستعدين للسفر إلى القمر والعودة.

القواعد العامة التالية مفيدة في المواقف التي يتم تقريبها بواسطة الميكانيكا الكلاسيكية في ظل الافتراضات القياسية للديناميكا الفلكية الموضحة أدناه. المثال المحدد الذي تمت مناقشته يتعلق بقمر صناعي يدور حول كوكب، ولكن القواعد العامة يمكن أن تنطبق أيضًا على مواقف أخرى، مثل مدارات الأجسام الصغيرة حول نجم مثل الشمس.

• قوانين كيبلر لحركة الكواكب :
  • المدارات بيضاوية ، حيث يكون الجسم الأثقل في إحدى بؤرتي القطع الناقص. وهناك حالة خاصة من هذا النوع وهي المدار الدائري (الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص) حيث يكون الكوكب في المركز.
  • يقوم الخط المرسوم من الكوكب إلى القمر الصناعي بمسح مساحات متساوية في أوقات متساوية بغض النظر عن الجزء الذي يتم قياسه من المدار.
  • مربع الفترة المدارية للقمر الصناعي يتناسب طرديا مع مكعب المسافة المتوسطة بينه وبين الكوكب.
• بدون تطبيق القوة (مثل إطلاق محرك صاروخي)، فإن فترة وشكل مدار القمر الصناعي لن يتغيرا.
• يتحرك القمر الصناعي في مدار منخفض (أو جزء منخفض من مدار إهليلجي) بشكل أسرع بالنسبة لسطح الكوكب من القمر الصناعي في مدار أعلى (أو جزء مرتفع من مدار إهليلجي)، بسبب قوة الجاذبية الأقوى بالقرب من الكوكب.
• إذا تم تطبيق الدفع عند نقطة واحدة فقط في مدار القمر الصناعي، فسوف يعود إلى نفس النقطة في كل مدار لاحق، على الرغم من أن بقية مساره سوف يتغير. وبالتالي، لا يمكن للمرء أن ينتقل من مدار دائري إلى آخر بتطبيق قصير واحد فقط للدفع.
• من مدار دائري، يؤدي الدفع المطبق في اتجاه معاكس لحركة القمر الصناعي إلى تغيير المدار إلى مدار إهليلجي؛ سيهبط القمر الصناعي ويصل إلى أدنى نقطة مدارية ( الحضيض ) على بعد 180 درجة من نقطة الإطلاق؛ ثم يصعد مرة أخرى. ستكون فترة المدار الناتج أقل من فترة المدار الدائري الأصلي. يخلق الدفع المطبق في اتجاه حركة القمر الصناعي مدارًا إهليلجيًا بأعلى نقطة له ( الأوج ) على بعد 180 درجة من نقطة الإطلاق. ستكون فترة المدار الناتج أطول من فترة المدار الدائري الأصلي.

إن عواقب قواعد ميكانيكا المدارات تكون في بعض الأحيان غير بديهية. على سبيل المثال، إذا كانت مركبتان فضائيتان في نفس المدار الدائري وترغبان في الالتحام، فما لم تكونا قريبتين للغاية، فلن تتمكن المركبة التالية من تشغيل محركاتها ببساطة لتتحرك بشكل أسرع. وهذا من شأنه أن يغير شكل مدارها، مما يتسبب في اكتسابها للارتفاع وإبطاء سرعتها فعليًا نسبة إلى المركبة الرائدة، فتفشل في الوصول إلى الهدف. وعادة ما يستغرق الالتقاء الفضائي قبل الالتحام عدة عمليات تشغيل للمحركات محسوبة بدقة في فترات مدارية متعددة، الأمر الذي يتطلب ساعات أو حتى أيامًا لإكماله.

وإلى الحد الذي لا تصمد فيه الافتراضات القياسية لديناميكيات الفضاء، فإن المسارات الفعلية سوف تختلف عن تلك المحسوبة. على سبيل المثال، تشكل مقاومة الغلاف الجوي البسيطة عامل تعقيد آخر للأجسام في مدار أرضي منخفض .

هذه القواعد العامة غير دقيقة بشكل واضح عند وصف جسمين أو أكثر من نفس الكتلة، مثل نظام النجوم الثنائية (انظر مشكلة الجسم n ). تستخدم الميكانيكا السماوية قواعد أكثر عمومية يمكن تطبيقها على مجموعة متنوعة من المواقف. قوانين كيبلر لحركة الكواكب، والتي يمكن اشتقاقها رياضيًا من قوانين نيوتن، تنطبق بشكل صارم فقط في وصف حركة جسمين جاذبين في غياب القوى غير الجاذبية؛ كما تصف مسارات مكافئة وقطع زائدية. في القرب الشديد من الأجسام الكبيرة مثل النجوم، تصبح الاختلافات بين الميكانيكا الكلاسيكية والنسبية العامة مهمة أيضًا.

القوانين الأساسية لعلم الديناميكا الفلكية هي قانون نيوتن للجاذبية الكونية وقوانين نيوتن للحركة ، في حين أن الأداة الرياضية الأساسية هي حساب التفاضل والتكامل .

في الإطار النيوتوني، فإن القوانين التي تحكم المدارات والمسارات متناظرة مع الزمن من حيث المبدأ .

تتضمن الافتراضات القياسية في ديناميكا الفضاء عدم التدخل من الأجسام الخارجية، وكتلة لا تذكر لأحد الأجسام، وقوى أخرى لا تذكر (مثل الرياح الشمسية، والسحب الجوي، وما إلى ذلك). يمكن إجراء حسابات أكثر دقة دون هذه الافتراضات المبسطة، ولكنها أكثر تعقيدًا. غالبًا لا تحدث الدقة المتزايدة فرقًا كافيًا في الحساب ليكون مفيدًا.

يمكن استنباط قوانين كبلر لحركة الكواكب من قوانين نيوتن، وذلك عندما نفترض أن الجسم المداري يخضع فقط لقوة الجاذبية للجاذب المركزي. وعندما توجد قوة دفع محركية أو قوة دفع، تظل قوانين نيوتن سارية، ولكن قوانين كبلر تصبح غير صالحة. وعندما يتوقف الدفع، سيكون المدار الناتج مختلفًا ولكن سيتم وصفه مرة أخرى بقوانين كبلر التي تم تحديدها أعلاه. والقوانين الثلاثة هي:

1. مدار كل كوكب هو عبارة عن قطع ناقص، والشمس في إحدى البؤر .
2. الخط الواصل بين كوكب والشمس يمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية.
3. مربعات الفترات المدارية للكواكب تتناسب طرديا مع مكعبات نصف المحور الرئيسي للمدارات .

يمكن استنباط صيغة سرعة الهروب على النحو التالي. تتكون الطاقة النوعية (الطاقة لكل وحدة كتلة ) لأي مركبة فضائية من مكونين، الطاقة الكامنة النوعية والطاقة الحركية النوعية. تُعطى الطاقة الكامنة النوعية المرتبطة بكوكب ذي كتلة M بواسطة

${\displaystyle \epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}}\,}$

حيث G هو ثابت الجاذبية و r هي المسافة بين الجسمين؛

في حين أن الطاقة الحركية النوعية لجسم ما تعطى بواسطة

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}}\,}$

حيث v هي سرعتها؛

وبالتالي فإن إجمالي الطاقة المدارية النوعية هي

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}\,}$

نظرًا لأن الطاقة محفوظة ، لا يمكن أن تعتمد على المسافة ، من مركز الجسم المركزي إلى المركبة الفضائية المعنية، أي يجب أن تتغير v مع r للحفاظ على طاقة المدار المحددة ثابتة. لذلك، يمكن للجسم أن يصل إلى ما لا نهاية فقط إذا كانت هذه الكمية غير سالبة، مما يعني ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.}$

تبلغ سرعة الهروب من سطح الأرض حوالي 11 كم/ثانية، لكن هذا غير كافٍ لإرسال الجسم لمسافة لا نهائية بسبب قوة الجاذبية للشمس. يتطلب الهروب من النظام الشمسي من موقع على مسافة من الشمس تساوي المسافة بين الشمس والأرض، ولكن ليس قريبًا من الأرض، سرعة حوالي 42 كم/ثانية، لكن سيكون هناك "رصيد جزئي" لسرعة مدار الأرض للمركبات الفضائية التي يتم إطلاقها من الأرض، إذا حملتها تسارعها الإضافي (بسبب نظام الدفع) في نفس الاتجاه الذي تسافر فيه الأرض في مدارها.

المدارات عبارة عن مقاطع مخروطية ، وبالتالي فإن صيغة مسافة الجسم لزاوية معينة تتوافق مع صيغة هذا المنحنى في الإحداثيات القطبية ، وهي:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})\,}$

${\displaystyle p=h^{2}/\mu \,}$

${\displaystyle \mu }$يُطلق عليه معامل الجاذبية . و هما كتلتا الجسمين 1 و 2، و هو الزخم الزاوي النوعي للجسم 2 بالنسبة للجسم 1. تُعرف المعامل بالشذوذ الحقيقي ، و هو شبه المستقيم العرضي ، بينما هو الانحراف المداري ، ويمكن الحصول عليها جميعًا من الأشكال المختلفة للعناصر المدارية المستقلة الستة . ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$${\displaystyle e}$

جميع المدارات المحدودة التي تهيمن عليها جاذبية الجسم المركزي تكون بيضاوية بطبيعتها. وهناك حالة خاصة من هذا المدار وهي المدار الدائري، وهو عبارة عن قطع ناقص لا مركزية له. ويمكن اشتقاق صيغة سرعة الجسم في مدار دائري على مسافة r من مركز جاذبية كتلة M على النحو التالي:

يتطابق تسارع الطرد المركزي مع تسارع الجاذبية.

لذا،$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}={\frac {GM}{r^{2}}}}$$

لذلك،

${\displaystyle \ v={\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}}$

أين ثابت الجاذبية يساوي ${\displaystyle G}$

6.6743 × 10 ⁻¹¹ م ³ /(كجم·ثانية ^مربعة )

لاستخدام هذه الصيغة بشكل صحيح، يجب أن تكون الوحدات متسقة؛ على سبيل المثال، يجب أن تكون بالكيلوجرامات، ويجب أن تكون بالأمتار. ستكون الإجابة بالأمتار في الثانية. ${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

غالبًا ما يطلق على الكمية اسم معامل الجاذبية القياسي ، والذي له قيمة مختلفة لكل كوكب أو قمر في النظام الشمسي . ${\displaystyle GM}$

بمجرد معرفة السرعة المدارية الدائرية، يمكن إيجاد سرعة الهروب بسهولة عن طريق الضرب في : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

للهروب من الجاذبية، يجب أن تتطابق الطاقة الحركية على الأقل مع الطاقة الكامنة السلبية. لذلك،$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}}$$

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

إذا ، فإن مقام معادلة المدارات الحرة يتغير مع الشذوذ الحقيقي ، لكنه يظل موجبًا، ولا يصبح صفرًا أبدًا. وبالتالي، يظل متجه الموضع النسبي محدودًا، ويكون له أصغر قدر عند الحضيض ، والذي يُعطى بواسطة: ${\displaystyle 0<e<1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r_{p}}$

${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$

يتم الوصول إلى القيمة القصوى عندما . تسمى هذه النقطة نقطة الأوج، وإحداثياتها الشعاعية، التي يشار إليها ، هي ${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$${\displaystyle r_{a}}$

${\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}}$

لتكن المسافة المقاسة على طول خط المحراب من نقطة الحضيض إلى نقطة الأوج ، كما هو موضح في المعادلة أدناه: ${\displaystyle 2a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

باستبدال المعادلات أعلاه، نحصل على:

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

a هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص. وبحل المعادلة ، واستبدال النتيجة في صيغة منحنى المقطع المخروطي أعلاه، نحصل على: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

وفقًا للافتراضات القياسية، يمكن حساب الفترة المدارية ( ) لجسم يسافر على طول مدار إهليلجي على النحو التالي: ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

أين:

• ${\displaystyle \mu \,}$هي معامل الجاذبية القياسي ،
• ${\displaystyle a\,\!}$هو طول المحور شبه الرئيسي .

الاستنتاجات:

• الفترة المدارية تساوي تلك الخاصة بالمدار الدائري الذي يكون نصف قطر مداره مساويًا لنصف المحور الرئيسي ( )،${\displaystyle a\,\!}$
• بالنسبة لمحور شبه رئيسي معين، لا تعتمد الفترة المدارية على الانحراف (انظر أيضًا: قانون كبلر الثالث ).

وفقًا للافتراضات القياسية، يمكن حساب السرعة المدارية ( ) لجسم يسافر على طول مدار إهليلجي من معادلة Vis-viva على النحو التالي: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

أين:

• ${\displaystyle \mu \,}$هي معامل الجاذبية القياسي ،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة بين الأجسام المدارية.
• ${\displaystyle a\,\!}$هو طول المحور شبه الرئيسي .

معادلة السرعة لمسار القطع الزائد هي . ${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}}$

وفقًا للافتراضات القياسية، تكون الطاقة المدارية النوعية ( ) للمدار الإهليلجي سلبية ويمكن أن تأخذ معادلة الحفاظ على الطاقة المدارية ( معادلة Vis-viva ) لهذا المدار الشكل: ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

أين:

• ${\displaystyle v\,}$هي سرعة الجسم المداري،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة بين الجسم المداري ومركز كتلة الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle a\,}$هو المحور شبه الرئيسي
• ${\displaystyle \mu \,}$هي معامل الجاذبية القياسي .

الاستنتاجات:

• بالنسبة لمحور شبه رئيسي معين، فإن الطاقة المدارية النوعية لا تعتمد على الانحراف.

وباستخدام نظرية فيريال نجد:

• متوسط ​​الوقت للطاقة الكامنة المحددة يساوي${\displaystyle 2\epsilon }$
• متوسط ​​الوقت هو${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$
• متوسط ​​الوقت للطاقة الحركية النوعية يساوي${\displaystyle -\epsilon }$

إذا كان الانحراف يساوي 1، فإن معادلة المدار تصبح:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \theta }}}$

أين:

• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من مركز كتلة الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle h\,}$هو الزخم الزاوي النوعي للجسم المداري ،
• ${\displaystyle \theta \,}$هو الشذوذ الحقيقي للجسم المداري،
• ${\displaystyle \mu \,}$هي معامل الجاذبية القياسي .

مع اقتراب الشذوذ الحقيقي θ من 180 درجة، يقترب المقام من الصفر، بحيث يتجه r نحو اللانهاية. وبالتالي، فإن طاقة المسار الذي يكون فيه e = 1 تساوي صفرًا، وتُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$

أين:

• ${\displaystyle v\,}$هي سرعة الجسم المداري.

بعبارة أخرى، السرعة في أي مكان على المسار المكافئ هي:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$

إذا كانت صيغة المدار، ${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+e\cos \theta }}}$

يصف هندسة المدار الزائدي. يتكون النظام من منحنيين متماثلين. يشغل الجسم المداري أحدهما؛ والآخر هو صورته الرياضية الفارغة. من الواضح أن مقام المعادلة أعلاه يصبح صفرًا عندما نشير إلى هذه القيمة للشذوذ الحقيقي ${\displaystyle \cos \theta =-1/e}$

${\displaystyle \theta _{\infty }=\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$

نظرًا لأن المسافة الشعاعية تقترب من اللانهاية مع اقتراب الشذوذ الحقيقي ، يُعرف باسم الشذوذ الحقيقي للمقارب . لاحظ أن يقع بين 90 درجة و180 درجة. ومن المتطابقة المثلثية يتبع ذلك: ${\displaystyle \theta _{\infty }}$${\displaystyle \theta _{\infty }}$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

${\displaystyle \sin \theta _{\infty }={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}}$

وفقًا للافتراضات القياسية، تكون الطاقة المدارية النوعية ( ) لمسار القطع الزائد أكبر من الصفر وتتخذ معادلة الحفاظ على الطاقة المدارية لهذا النوع من المسارات الشكل التالي: ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}}$

أين:

• ${\displaystyle v\,}$هي السرعة المدارية للجسم المداري،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle a\,}$هو المحور شبه الرئيسي السالب للقطع الزائد للمدار ،
• ${\displaystyle \mu \,}$هي معامل الجاذبية القياسي .

وفقًا للافتراضات القياسية، فإن الجسم الذي يسافر على طول مسار قطع زائد سيصل عند اللانهاية إلى سرعة مدارية تسمى السرعة الزائدة القطعية ( ) والتي يمكن حسابها على النحو التالي: ${\displaystyle r=}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

أين:

• ${\displaystyle \mu \,\!}$هي معامل الجاذبية القياسي ،
• ${\displaystyle a\,\!}$هو المحور شبه الرئيسي السالب للقطع الزائد للمدار .

ترتبط السرعة الزائدة الزائدية بالطاقة المدارية المحددة أو الطاقة المميزة من خلال

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

أحد الأساليب المستخدمة لحساب المدارات (المستخدمة بشكل أساسي تاريخيًا) هو استخدام معادلة كيبلر :

${\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E}$.

حيث M هو متوسط ​​الشذوذ ، و E هو الشذوذ المركزي ، و هو الانحراف المركزي . ${\displaystyle \epsilon }$

باستخدام صيغة كيبلر، يتم تقسيم إيجاد زمن الرحلة للوصول إلى زاوية ( شذوذ حقيقي ) من نقطة الحضيض إلى خطوتين: ${\displaystyle \theta }$

1. احسب الشذوذ اللامركزي من الشذوذ الحقيقي${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta }$
2. احسب زمن الرحلة من الشذوذ اللامركزي${\displaystyle t}$${\displaystyle E}$

إن إيجاد الشذوذ اللامركزي في وقت معين ( المشكلة العكسية ) أكثر صعوبة. معادلة كيبلر متسامية في ، مما يعني أنه لا يمكن حلها جبريًا . يمكن حل معادلة كيبلر تحليليًا عن طريق العكس. ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

الحل لمعادلة كبلر، صالح لجميع القيم الحقيقية هو: ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left[\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

تقييم هذا العائد:

$${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$$

وبدلًا من ذلك، يمكن حل معادلة كيبلر عدديًا. أولاً، يجب تخمين قيمة وحلها لزمن الرحلة؛ ثم إجراء التعديلات حسب الضرورة لتقريب زمن الرحلة المحسوب إلى القيمة المطلوبة حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة. وعادةً ما تُستخدم طريقة نيوتن لتحقيق تقارب سريع نسبيًا. ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

تكمن الصعوبة الرئيسية في هذا النهج في أنه قد يستغرق وقتًا طويلاً للغاية للتقارب بالنسبة للمدارات الإهليلجية المتطرفة. بالنسبة للمدارات شبه المكافئة، يكون الانحراف قريبًا من 1، وعند الاستبدال في صيغة الشذوذ المتوسط، نجد أنفسنا نطرح قيمتين متساويتين تقريبًا، وتعاني الدقة. بالنسبة للمدارات شبه الدائرية، من الصعب العثور على الحضيض في المقام الأول (والمدارات الدائرية الحقيقية ليس لها حضيض على الإطلاق). وعلاوة على ذلك، تم استنباط المعادلة على افتراض وجود مدار إهليلجي، وبالتالي فهي لا تصمد في حالة المدارات المكافئة أو الزائدية. هذه الصعوبات هي التي أدت إلى تطوير صيغة المتغير العالمي ، الموضحة أدناه. ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle E-\sin E}$

بالنسبة للإجراءات البسيطة، مثل حساب دلتا-في لقطع ناقص النقل المستوي، فإن الأساليب التقليدية ^{[ بحاجة لتوضيح ]} فعالة إلى حد ما. أما الأساليب الأخرى، مثل زمن الرحلة، فهي أكثر تعقيدًا، وخاصة بالنسبة للمدارات شبه الدائرية والقطع الزائدي.

إن مدار هوهمان الانتقالي وحده يشكل تقريباً رديئاً للمسارات بين الكواكب لأنه يهمل جاذبية الكواكب ذاتها. فالجاذبية الكوكبية تهيمن على سلوك المركبة الفضائية في محيط كوكب ما، وفي أغلب الحالات يبالغ هوهمان في تقدير قيمة دلتا في بشكل كبير، وينتج وصفات غير دقيقة للغاية لتوقيتات الاحتراق. وهناك طريقة بسيطة نسبياً للحصول على تقريب من الدرجة الأولى لدلتا في تعتمد على تقنية "التقريب المخروطي المرقّع". ويتعين على المرء أن يختار الجسم الجاذبي المهيمن الوحيد في كل منطقة من الفضاء التي سوف يمر بها المسار، وأن يصمم نموذجاً لتأثيرات ذلك الجسم فقط في تلك المنطقة. على سبيل المثال، في مسار من الأرض إلى المريخ، يبدأ المرء بالنظر فقط إلى جاذبية الأرض حتى يصل المسار إلى مسافة حيث لم تعد جاذبية الأرض تهيمن على جاذبية الشمس. وسوف تُعطى المركبة الفضائية سرعة إفلات لإرسالها في طريقها إلى الفضاء بين الكواكب. بعد ذلك، يجب أن نأخذ في الاعتبار جاذبية الشمس فقط حتى يصل المسار إلى جوار المريخ. خلال هذه المرحلة، يكون نموذج مدار النقل مناسبًا. أخيرًا، يتم أخذ جاذبية المريخ فقط في الاعتبار خلال الجزء الأخير من المسار حيث تهيمن جاذبية المريخ على سلوك المركبة الفضائية. ستقترب المركبة الفضائية من المريخ في مدار زائدي، وسيؤدي الحرق التراجعي النهائي إلى إبطاء المركبة الفضائية بما يكفي لالتقاطها بواسطة المريخ. كان فريدريش زاندر من أوائل من طبقوا نهج المخروطيات المرقعة لأغراض الديناميكا الفلكية، عندما اقترح استخدام جاذبية الأجسام الوسيطة للسفر بين الكواكب، فيما يُعرف اليوم باسم مساعدة الجاذبية . ^[3]

يختلف حجم "الأحياء" (أو مناطق النفوذ ) باختلاف نصف القطر : ${\displaystyle r_{SOI}}$

${\displaystyle r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}}\right)^{2/5}}$

حيث هو المحور شبه الرئيسي لمدار الكوكب بالنسبة للشمس ؛ و هما كتلة الكوكب والشمس على التوالي. ${\displaystyle a_{p}}$${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{s}}$

إن هذا التبسيط كافٍ لحساب تقديرات تقريبية لمتطلبات الوقود، وتقديرات تقريبية لوقت الرحلة، ولكنه لا يكون دقيقًا بشكل عام بما يكفي لتوجيه المركبة الفضائية إلى وجهتها. ولهذا، هناك حاجة إلى أساليب عددية.

لمعالجة أوجه القصور الحسابية في الأساليب التقليدية لحل مشكلة الجسمين، تم تطوير صيغة المتغير الشامل . وهي تعمل بشكل جيد على قدم المساواة في الحالات الدائرية والإهليلجية والمكافئة والزائدية، حيث تتقارب المعادلات التفاضلية بشكل جيد عند دمجها لأي مدار. كما أنها تعمم بشكل جيد على المشكلات التي تتضمن نظرية الاضطراب.

تعمل صيغة المتغير الشامل بشكل جيد مع تقنية تباين المعلمات، إلا أننا الآن، بدلاً من عناصر المدارات الكبلرية الستة، نستخدم مجموعة مختلفة من العناصر المدارية: وهي الموضع الأولي للقمر الصناعي ومتجهات السرعة وفي عصر معين . في محاكاة ذات جسمين، تكون هذه العناصر كافية لحساب موضع القمر الصناعي وسرعته في أي وقت في المستقبل، باستخدام صيغة المتغير الشامل. وعلى العكس من ذلك، في أي لحظة في مدار القمر الصناعي، يمكننا قياس موضعه وسرعته، ثم استخدام نهج المتغير الشامل لتحديد موضعه الأولي وسرعته في العصر. في الحركة المثالية للجسمين، ستكون هذه العناصر المدارية ثابتة (تمامًا مثل عناصر كيبلر). ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle t=0}$

ومع ذلك، تتسبب الاضطرابات في تغير العناصر المدارية بمرور الوقت. وبالتالي، يُكتب عنصر الموضع على النحو التالي وعنصر السرعة على النحو التالي ، مما يشير إلى أنهما يتغيران مع الوقت. تصبح تقنية حساب تأثير الاضطرابات إحدى الطرق لإيجاد تعبيرات، إما دقيقة أو تقريبية، للوظائف و . ${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle v_{0}(t)}$${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle v_{0}(t)}$

فيما يلي بعض التأثيرات التي تجعل المدارات الحقيقية تختلف عن النماذج البسيطة القائمة على الأرض الكروية. ويمكن التعامل مع معظمها في فترات زمنية قصيرة (ربما أقل من بضعة آلاف من المدارات) باستخدام نظرية الاضطرابات لأنها صغيرة نسبيًا مقارنة بتأثيرات الجسمين المقابلة.

• الانتفاخات الاستوائية تسبب تقدم العقدة والحضيض
• تؤدي التوافقيات التسيرالية ^[4] لحقل الجاذبية إلى إحداث اضطرابات إضافية
• تؤدي اضطرابات الجاذبية القمرية والشمسية إلى تغيير المدارات
• يؤدي السحب الجوي إلى تقليل المحور شبه الرئيسي ما لم يتم استخدام الدفع التعويضي

على مدى فترات زمنية طويلة جدًا (ربما ملايين المدارات)، يمكن حتى للاضطرابات الصغيرة أن تهيمن، وقد يصبح السلوك فوضويًا . من ناحية أخرى، يمكن لخبراء الديناميكا الفلكية الأذكياء تنظيم الاضطرابات المختلفة للمساعدة في مهام صيانة المدار، مثل الحفاظ على المحطة ، أو صيانة المسار الأرضي أو تعديله، أو تحديد مراحل الحضيض لتغطية أهداف مختارة على ارتفاع منخفض.

في رحلات الفضاء ، المناورة المدارية هي استخدام أنظمة الدفع لتغيير مدار المركبة الفضائية . بالنسبة للمركبات الفضائية البعيدة عن الأرض - على سبيل المثال تلك الموجودة في مدارات حول الشمس - تسمى المناورة المدارية بمناورة الفضاء العميق (DSM) . ^{[ لم يتم التحقق منها في النص ]}

المدارات الانتقالية هي عادة مدارات بيضاوية تسمح للمركبة الفضائية بالانتقال من مدار (دائري إلى حد كبير) إلى آخر. وعادة ما تتطلب هذه المدارات حرقًا في البداية، وحرقًا في النهاية، وأحيانًا حرقًا واحدًا أو أكثر في المنتصف.

• يتطلب مدار نقل هوهمان الحد الأدنى من دلتا- v .
• قد يتطلب النقل ثنائي القطع الناقص طاقة أقل من نقل هوهمان، إذا كانت نسبة المدارات 11.94 أو أكبر، ^[5] ولكن يأتي ذلك على حساب زيادة وقت الرحلة مقارنة بنقل هوهمان.
• يمكن أن تستخدم عمليات النقل الأسرع أي مدار يتقاطع مع المدار الأصلي والمدار الوجهة، على حساب دلتا-v أعلى.
• باستخدام محركات الدفع المنخفض (مثل الدفع الكهربائي )، إذا كان المدار الأولي متزامنًا مع المدار الدائري النهائي المطلوب، يتم تحقيق مدار النقل الأمثل عن طريق الدفع المستمر في اتجاه السرعة عند الأوج. ومع ذلك، تستغرق هذه الطريقة وقتًا أطول بسبب الدفع المنخفض. ^[6]

في حالة النقل المداري بين مدارات غير مستوية، يجب أن يتم دفع تغيير المستوى عند النقطة التي تتقاطع فيها المستويات المدارية ("العقدة"). ونظرًا لأن الهدف هو تغيير اتجاه متجه السرعة بزاوية تساوي الزاوية بين المستويات، فيجب أن يتم كل هذا الدفع تقريبًا عندما تكون المركبة الفضائية عند العقدة بالقرب من الأوج، عندما يكون حجم متجه السرعة في أدنى مستوياته. ومع ذلك، يمكن إجراء جزء صغير من تغيير الميل المداري عند العقدة بالقرب من الحضيض، عن طريق إمالة دفع حقن مدار النقل قليلاً في اتجاه تغيير الميل المطلوب. يعمل هذا لأن جيب تمام الزاوية الصغيرة يقترب جدًا من الواحد، مما يؤدي إلى أن يكون التغيير الصغير في المستوى "مجانيًا" فعليًا على الرغم من السرعة العالية للمركبة الفضائية بالقرب من الحضيض، حيث يتجاوز تأثير أوبيرث بسبب الدفع المتزايد بزاوية طفيفة تكلفة الدفع في محور المدار العمودي.

في حالة المساعدة بالجاذبية ، تمر المركبة الفضائية بجوار كوكب ثم تغادر في اتجاه مختلف وبسرعة مختلفة. وهذا مفيد لتسريع المركبة الفضائية أو إبطائها بدلاً من حمل المزيد من الوقود.

يمكن تقريب هذه المناورة من خلال تصادم مرن على مسافات كبيرة، على الرغم من أن التحليق بالقرب من الكوكب لا ينطوي على أي اتصال مادي. وبسبب قانون نيوتن الثالث (رد الفعل المتساوي والمعاكس)، فإن أي زخم تكتسبه المركبة الفضائية يجب أن يفقده الكوكب، أو العكس. ومع ذلك، نظرًا لأن الكوكب أضخم بكثير من المركبة الفضائية، فإن التأثير على مدار الكوكب لا يُذكَر.

يمكن استخدام تأثير أوبيرث ، وخاصة أثناء عملية مساعدة الجاذبية. ويتلخص هذا التأثير في أن استخدام نظام الدفع يعمل بشكل أفضل عند السرعات العالية، وبالتالي فإن تغيير المسار يتم بشكل أفضل عند الاقتراب من جسم جاذبي؛ وهذا من شأنه أن يضاعف دلتا-في الفعالة .

من الممكن الآن استخدام أجهزة الكمبيوتر للبحث عن مسارات باستخدام عدم الخطية في جاذبية كواكب وأقمار النظام الشمسي. على سبيل المثال، من الممكن رسم مدار من مدار أرضي مرتفع إلى المريخ، مروراً بالقرب من إحدى نقاط طروادة للأرض . ^{[ بحاجة لمصدر ]} يشار إليها مجتمعة باسم شبكة النقل بين الكواكب ، هذه المسارات المدارية شديدة الاضطراب، وحتى الفوضوية، لا تحتاج من حيث المبدأ إلى وقود يتجاوز ما هو مطلوب للوصول إلى نقطة لاغرانج (في الممارسة العملية، يتطلب الالتزام بالمسار بعض تصحيحات المسار). أكبر مشكلة بها هي أنها يمكن أن تكون بطيئة للغاية، وتستغرق سنوات عديدة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن تكون نوافذ الإطلاق بعيدة جدًا.

ومع ذلك، فقد تم استخدامها في مشاريع مثل Genesis . زارت هذه المركبة الفضائية نقطة L ₁ بين الأرض والشمس وعادت باستخدام كمية قليلة جدًا من الوقود.

• ميكانيكا سماوية
• نظرية الفوضى
• مدار كيبلر
• نقطة لاغرانج
• الهندسة الميكانيكية
• مشكلة الجسم N
• حدود روش
• دفع المركبات الفضائية
• صياغة المتغير العالمي

• كورتيس، هوارد د. (2009). ميكانيكا المدارات لطلاب الهندسة، الطبعة الثانية . نيويورك: إلسيفير. رقم ISBN 978-0-12-374778-5.
• بيت، روجر ر.؛ مولر، دونالد د.؛ وايت، جيري إي. (1971). أساسيات الديناميكا الفلكية. نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-60061-0.

• سيلرز، جيري جيه؛ أستور، ويليام جيه؛ جيفن، روبرت بي؛ لارسون، وايلي جيه (2004). كيركباتريك، دوغلاس إتش (محرر). فهم الفضاء: مقدمة في علم الملاحة الفضائية (الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ص 228. رقم ISBN 0-07-242468-0.

• "Air University Space Primer, Chapter 8 - Orbital Mechanics" (PDF) . USAF. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2013-02-14 . تم الاسترجاع في 2007-10-13 .

يتم تناول العديد من الخيارات والإجراءات والنظرية الداعمة في الأعمال القياسية مثل:

• بيت، ر.ر. مولر، د.د. وايت، ج.ي. (1971). أساسيات الديناميكا الفلكية. منشورات دوفر، نيويورك. رقم ISBN 978-0-486-60061-1.
• فالادو، دي إيه (2001). أساسيات الديناميكا الفلكية وتطبيقاتها (الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN 978-0-7923-6903-5.
• باتين، آر إتش (1999). مقدمة في الرياضيات وطرق الديناميكا الفلكية . المعهد الأمريكي للملاحة الجوية والفضائية، واشنطن العاصمة رقم ISBN 978-1-56347-342-5.
• تشوبوتوف، في إيه، محرر (2002). ميكانيكا المدارات (الطبعة الثالثة). المعهد الأمريكي للملاحة الجوية والهندسة، واشنطن العاصمة، رقم ISBN 978-1-56347-537-5.
• هيريك، س. (1971). ديناميكا الفضاء: تحديد المدار، الملاحة الفضائية، الميكانيكا السماوية، المجلد 1. فان نوستراند راينهولد، لندن. ISBN 978-0-442-03370-5.
• هيريك، س. (1972). ديناميكا الفضاء: تصحيح المدار، نظرية الاضطراب، التكامل، المجلد 2. فان نوستراند راينهولد، لندن. ISBN 978-0-442-03371-2.
• كابلان، م. هـ. (1976). ديناميكيات المركبات الفضائية الحديثة والتحكم فيها . وايلي، نيويورك. رقم ISBN 978-0-471-45703-9.
• توم لوجسدون (1997). ميكانيكا المدارات . وايلي-إنترسايس، نيويورك. ISBN 978-0-471-14636-0.
• جون إي. بروسينج وبروس إيه. كونواي (1993). ميكانيكا المدارات. مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك. ISBN 978-0-19-507834-3.
• MJ Sidi (2000). ديناميكيات المركبات الفضائية والتحكم فيها . مطبعة جامعة كامبريدج، نيويورك. ISBN 978-0-521-78780-2.
• WE Wiesel (1996). ديناميكيات الرحلات الفضائية (الطبعة الثانية). McGraw-Hill، نيويورك. ISBN 978-0-07-070110-6.
• JP Vinti (1998). Orbital and Celestial Mechanics . المعهد الأمريكي للملاحة الجوية والفضائية، رستون، فرجينيا. ISBN 978-1-56347-256-5.
• P. Gurfil (2006). Modern Astrodynamics . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-12-373562-1.

• ميكانيكا المدارات (تكنولوجيا الصواريخ والفضاء)
• مجموعة أدوات Java Astrodynamics
• رسم بياني لحركة المرور والأحداث الفضائية استنادًا إلى علم الديناميكا الفلكية