بحث رائع على الإنترنت عن عدد ميرسين الأولي

مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية على الإنترنت ( GIMPS ) هو مشروع تعاوني للمتطوعين الذين يستخدمون برامج متاحة مجانًا للبحث عن أعداد ميرسين الأولية .

تأسست شركة GIMPS عام 1996 على يد جورج وولتمان ، الذي كتب أيضًا برنامج Prime95 ونسخته الخاصة بنظام لينكس MPrime. وقد طوّر سكوت كوروفسكي خادم PrimeNet الخلفي لعرض برمجيات الحوسبة التطوعية لشركة Entropia، التي أسسها عام 1997. شركة GIMPS مسجلة باسم Mersenne Research, Inc.، ويشغل كوروفسكي منصب نائب الرئيس التنفيذي وعضو مجلس الإدارة. ويُقال إن GIMPS من أوائل مشاريع الحوسبة التطوعية واسعة النطاق عبر الإنترنت لأغراض البحث العلمي. ^{[ 2 ]}

اعتبارًا من أكتوبر 2024 اكتشف المشروع 18 عددًا أوليًا من أعداد ميرسين، 16 منها كانت أكبر عدد أولي معروف عند اكتشافها. أكبر عدد أولي معروف هو 2^ ^136,279,841  -  1 (أو M^ _136,279,841 اختصارًا)، وقد اكتشفه لوك دورانت في 12 أكتوبر 2024. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وفي 18 يونيو 2025، حقق المشروع إنجازًا هامًا بعد التحقق من جميع الأسس الأقل من 136,279,841 مرة واحدة على الأقل. ^{[ 5 ]}

منذ بدايته وحتى عام 2018، اعتمد المشروع بشكل أساسي على اختبار لوكاس-ليمر للأعداد الأولية (LL)، ^{[ 6 ]} وهي خوارزمية متخصصة في اختبار أعداد ميرسين الأولية، وتتميز بكفاءتها العالية على البنى الحاسوبية الثنائية . قبل تطبيقها على أي عدد ميرسين، كانت هناك مرحلة قسمة تجريبية ، تُستخدم لاستبعاد أعداد ميرسين ذات العوامل الصغيرة بسرعة. كما تُستخدم خوارزمية بولارد p − 1 للبحث عن العوامل السلسة . يعتمد متغير اختبار لوكاس-ليمر المستخدم في التطبيق الرئيسي (Prime95) تحديدًا على التحويل الموزون المنفصل ذي الأساس غير النسبي مع أعداد الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة ، مما يوفر طريقة فعالة لتربيع عدد كبير بتردد 2 ^P − 1. ^{[ 7 ]}    

يُتخذ عناية خاصة لضمان عدم إدخال أخطاء في حسابات LL عند استخدام الأرقام العشرية. يتحقق البرنامج من أن خطأ التقريب لا يتجاوز 0.4 كل 128 تكرارًا، أو ما إذا كان الأسّ المُختَبَر ضمن نطاق 0.5% من الحد الأقصى لحجم الأسّ الذي يمكن معالجته بواسطة حجم FFT المُستخدَم (أو إذا طُلِبَ ذلك باستخدام خيار خاص)، وذلك في كل تكرار. كل 12 ساعة، يُجري البرنامج فحصًا إضافيًا للأخطاء بناءً على رمز جاكوبي ، ^{[ 8 ]} باحتمالية 50% لاكتشاف خطأ. علاوة على ذلك، تُكرَّر كل عملية حساب LL مكتملة بواسطة جهاز مختلف للتحقق المزدوج. استنادًا إلى بيانات التحقق المزدوج السابقة، كان معدل الخطأ في كل عملية حساب LL بدون أي خطأ جسيم 1.5%؛ أما تلك التي سُجِّل فيها خطأ جسيم واحد على الأقل، فكان معدل الخطأ فيها 50%. ^{[ 7 ]}

في عام 2018، اعتمد برنامج GIMPS اختبار فيرما للأعداد الأولية مع أساس a  =  3 ^{[ a ]} كخيار بديل لاختبار الأعداد الأولية، ^{[ 10 ]} مع الإبقاء على اختبار LL كتحقق إضافي لأعداد ميرسين التي تم اكتشافها كأعداد أولية محتملة بواسطة اختبار فيرما. ^{[ 11 ]} يُطلق على هذا الاختبار الجديد اسم PRP (العدد الأولي المحتمل) في مصطلحات GIMPS. باستخدام طريقة ابتكرها روبرت جيربيتش، يمكن لبرنامج GIMPS أن يكون على يقين بنسبة "99.999+%" من أن نتيجة PRP يتم توليدها بشكل صحيح. ^{[ 7 ]} ونتيجة لذلك، على الرغم من أن اختبار LL حتمي واختبار فيرما احتمالي فقط، ^{[ b ]} فإن احتمال عثور اختبار فيرما على عدد أولي زائف من نوع فيرما ليس أوليًا أقل بكثير من معدل الخطأ في اختبار LL بسبب أخطاء أجهزة الكمبيوتر . ^{[ 12 ]}

في سبتمبر 2020، ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} بدأ برنامج GIMPS بدعم براهين الأعداد الأولية القائمة على دوال التأخير القابلة للتحقق التي ساهم بها كريستوف بيترزاك. ^{[ 16 ]} تُنشأ ملفات البرهان أثناء إجراء اختبار فيرما للأعداد الأولية. توفر هذه البراهين، بالإضافة إلى خوارزمية جيربيتش للتحقق من الأخطاء، ثقة كاملة في صحة نتيجة الاختبار وتُغني عن الحاجة إلى عمليات التحقق المزدوجة (يمكن إجراء التحقق من البرهان في 1/100 من وقت حساب فيرما الأصلي). ^{[ 7 ]} تم إيقاف اختبارات LL لأول مرة في أبريل 2021، ليقتصر استخدام LL على الأعداد الأولية المحتملة التي تم العثور عليها بواسطة اختبار فيرما. ^{[ 17 ]} يتشابه وقت تشغيل كل من PRP وLL؛ ^{[ 18 ]} وتأتي الأفضلية من الثقة الأعلى في نتائج PRP. ^{[ 17 ]}

يضم مشروع GIMPS أيضًا مشاريع فرعية لتحليل أعداد ميرسين وفيرما المركبة المعروفة . وتستخدم هذه المشاريع طريقة تحليل المنحنى الإهليلجي وخوارزمية ويليامز p  +  1. ^{[ 19 ] [ ج ]}

بدأ المشروع في يناير 1996 ^{[ 20 ] [ 21 ]} ببرنامج يعمل على حواسيب i386 . ^{[ 22 ] [ 23 ]} وقد صاغ اسم المشروع لوك ويلش، أحد أوائل الباحثين فيه، والذي شارك في اكتشاف العدد الأولي التاسع والعشرين لمرسين. ^{[ 24 ]} انضم عشرات الأشخاص خلال بضعة أشهر، وتجاوز عددهم الألف بنهاية السنة الأولى. ^{[ 23 ] [ 25 ]} اكتشف جويل أرمينغود، أحد المشاركين، أولية العدد M _1,398,269 في 13 نوفمبر 1996. ^{[ 26 ]} ومنذ ذلك الحين، اكتشف مشروع GIMPS عددًا أوليًا جديدًا لمرسين كل سنة إلى سنتين في المتوسط، لكن أحدث وأكبر عدد أولي، الذي عُثر عليه في أكتوبر 2024، استغرق اكتشافه ما يقرب من ست سنوات.

اعتبارًا من يوليو 2022 يتمتع نظام GIMPS بمعدل إنتاجية إجمالي مستدام يبلغ حوالي 4.71 بيتافلوب (أو PFLOPS) . ^{[ 27 ]} في نوفمبر 2012، حافظ GIMPS على 95 تيرافلوب، ^{[ 28 ]} مما أهّله نظريًا للحصول على المرتبة 330 ضمن قائمة أقوى 500 نظام حاسوبي في العالم . ^{[ 29 ]} كان المركز السابق آنذاك من نصيب نظام "HP Cluster Platform 3000 BL460c G7" من شركة هيوليت-باكارد . ^{[ 30 ]} اعتبارًا من نتائج قائمة TOP500 لشهر يوليو 2021، لم تعد أرقام GIMPS الحالية تؤهله للظهور في القائمة.

كان هذا حوالي 50 تيرافلوب في أوائل عام 2010، و30 تيرافلوب في منتصف عام 2008، و20 تيرافلوب في منتصف عام 2006، و14 تيرافلوب في أوائل عام 2004.

جميع أعداد ميرسين الأولية تأخذ الشكل M _p = 2 ^p − 1 ، حيث p عدد أولي. أصغر عدد أولي من أعداد ميرسين في هذا الجدول هو 2 ^1398269 − 1.

العمود الأول هو رتبة عدد ميرسين الأولي في التسلسل (المرتب) لجميع أعداد ميرسين الأولية؛ ^{[ 36 ]} وجد برنامج GIMPS جميع أعداد ميرسين الأولية المعروفة بدءًا من العدد 35.

^{^ †} اعتبارًا من252026 يُعدّ العدد 81,307,409 أكبر أسٍّ تمّ فحص جميع الأسس الأولية الأخرى تحته مرتين، لذا لم يتمّ التحقق من وجود أيّ أعداد أولية ميرسين غير مكتشفة بين العددين 50 (M _77232917 ) و52 (M _136279841 ) في هذا الجدول؛ وبالتالي فإنّ الترتيب مؤقت. علاوة على ذلك، يُعدّ العدد 141,081,007 أكبر أسٍّ تمّ اختبار جميع الأسس الأولية الأخرى تحته مرة واحدة على الأقل، لذا فقد تمّ اختبار جميع أعداد ميرسين التي تقلّ عن العدد الأولي ميرسين 52. ^{[ 38 ]}

^{^ ‡} يحتوي العدد M_136279841على 41,024,320 رقمًا عشريًا. لتسهيل تصور حجم هذا العدد، إذا تم حفظه على القرص، فسيكون حجم ملف النص الناتج حوالي 42 ميجابايت (معظم الكتب بصيغة نصية عادية لا تتجاوز 2 ميجابايت).معالج النصوص(50 سطرًا في الصفحة، 75 رقمًا في السطر) 10,940 صفحة لعرضه. إذا تم طباعته باستخدام ورق طباعة عادي، على وجه واحد، فسيتطلب ذلك حوالي 22رزمة(22 × 500 = 11,000 ورقة).

كما ذُكر سابقًا، تخضع كل نتيجة من نتائج خوارزمية لوكاس-ليمر لفحص مزدوج لتجنب النتائج الإيجابية والسلبية الخاطئة. وتُخضع النتائج الإيجابية لمزيد من التدقيق. وقد تجلّت أهمية ذلك في عام 2003، عندما تم الإبلاغ عن نتيجة إيجابية خاطئة للخادم على أنها عدد أولي من أعداد ميرسين، لكن عملية التحقق فشلت. ^{[ 39 ]}

يُعتبر "تاريخ الاكتشاف" الرسمي لعدد أولي هو التاريخ الذي لاحظ فيه شخص ما نتيجته لأول مرة، وقد يختلف هذا التاريخ عن تاريخ الإبلاغ عن النتيجة إلى الخادم. على سبيل المثال، تم الإبلاغ عن العدد M _74207281 إلى الخادم في 17 سبتمبر 2015، ولكن تم تجاهل التقرير حتى 7 يناير 2016. ^{[ 40 ]}

• البنية التحتية المفتوحة للحوسبة الشبكية في بيركلي
• قائمة مشاريع الحوسبة التطوعية
• برايم جريد

• الموقع الرسمي