عدد ميرسين الأولي

في الرياضيات ، يُعرف عدد ميرسين الأولي بأنه عدد أولي يقل بواحد عن قوة من قوى العدد اثنين . أي أنه عدد أولي على الصورة $M n = 2 n - 1،$ حيث $n$ عدد صحيح . سُميت هذه الأعداد نسبةً إلى مارين ميرسين ، الراهب الفرنسي من طائفة المينيم ، الذي درسها في أوائل القرن السابع عشر. إذا كان $n$ عددًا غير أولي، فإن $2$ $n$ $- 1$ يكون كذلك . لذا، يُمكن تعريف أعداد ميرسين الأولية بأنها الأعداد الأولية على الصورة $M$ $p$ $= 2$ $p$ $- 1،$ حيث $p$ عدد أولي .

الأسس $n$ التي تعطي أعداد ميرسين الأولية هي 2، 3، 5، 7 ، 13، 17، 19، 31، ... (التسلسل A000043 في OEIS ) والأعداد الأولية الناتجة لميرسين هي 3 ، 7 ، 31 ، 127 ، 8191، 131071، 524287، 2147483647 ، ... (التسلسل A000668 في OEIS ) .

الأعداد التي تأخذ الشكل $Mⁿ = 2ⁿ - 1، دون اشتراط كونها أعدادًا أولية ،$ تُسمى أعداد ميرسين . مع ذلك، تُعرَّف أعداد ميرسين أحيانًا بشرط إضافي هو أن يكون $n$ عددًا أوليًا. أصغر عدد ميرسين مُركَّب ذو أس أولي $n$ هو 2¹¹ ^- 1 = 20⁴⁷ = 2³ × 8⁹ .

دُرست أعداد ميرسين الأولية في العصور القديمة لارتباطها الوثيق بالأعداد الكاملة : إذ تنص نظرية إقليدس-أويلر على وجود تطابق تام بين الأعداد الكاملة الزوجية وأعداد ميرسين الأولية. والعديد من أكبر الأعداد الأولية المعروفة هي أعداد ميرسين أولية، لأن التحقق من أولية أعداد ميرسين أسهل.

اعتبارًا من عام 2025يُعرف 52 عددًا أوليًا من أعداد ميرسين. أكبر عدد أولي معروف ، وهو 2^ ^136279841 - 1 ، هو عدد أولي من أعداد ميرسين. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} منذ عام 1997، تم اكتشاف جميع أعداد ميرسين الأولية الجديدة بواسطة مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية على الإنترنت ، وهو مشروع حوسبة موزعة . في ديسمبر 2020، تم تحقيق إنجاز هام في المشروع بعد التحقق من جميع الأسس الأقل من 100 مليون مرة واحدة على الأقل. ^{[ 3 ]}

حول أعداد ميرسين الأولية

تنص نظرية أساسية حول أعداد ميرسين على أنه إذا كان $Mp عددًا$ أوليًا، فإن الأس $p$ يجب أن يكون أوليًا أيضًا. وينتج هذا من المتطابقة

{\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}

وهذا يستبعد أولية أعداد ميرسين ذات الأس المركب، مثل $M 4 = 2 4 - 1 = 15 = 3 \times 5 = (2 2 - 1) \times (1 + 2 2)$ .

على الرغم من أن الأمثلة السابقة قد توحي بأن $M p$ عدد أولي لجميع الأعداد الأولية $p$ ، إلا أن هذا ليس صحيحًا، وأصغر مثال مضاد هو عدد ميرسين.

M 11 = 2 11 - 1 = 2047 = 23 \times 89

.

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

هل يوجد عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية؟

لا تزال العديد من الأسئلة الأساسية حول أعداد ميرسين الأولية دون إجابة. بل إنه من غير المعروف حتى ما إذا كانت مجموعة أعداد ميرسين الأولية منتهية أم غير منتهية.

تنصّ حدسية لينسترا -بوميرانس-واغستاف على وجود عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية، وتتنبأ بترتيب نموها وتكرارها: لكل عدد $n$ ، يجب أن يكون هناك في المتوسط حوالي $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)\approx 5.92$ الأعداد الأولية $p$ ذات $n$ خانة عشرية والتي يكون فيها $M p$ عددًا أوليًا. هنا، $γ$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

من غير المعروف أيضًا ما إذا كانت أعداد ميرسين التي لا نهائية ذات الأسس الأولية أعدادًا مركبة، على الرغم من أن هذا قد يستنتج من فرضيات شائعة حول الأعداد الأولية؛ على سبيل المثال، من العدد اللانهائي لأعداد صوفي جيرمان الأولية المتطابقة مع 3 ( mod 4 ). بالنسبة لهذه الأعداد الأولية $p$ ، فإن $2p$ $+ 1$ $($ وهو عدد أولي أيضًا) يقسم $Mp ،$ على سبيل المثال، $23 | M11 ،$ $47 |$ $M23$ $،$ 167 | $M83$ $،$ 263 $|$ $M131$ ، $359 |$ M179 $،$ $383$ $|$ M191 $،$ $479$ $|$ $M239 ،$ $و$ 503 $| M251$ ( المتتالية $A002515$ في OEIS ) . بالنسبة لهذه الأعداد الأولية $p$ ، $فإن 2p$ $+$ $1$ يطابق 7 mod 8، لذا فإن 2 هو $باقي$ تربيعي mod $2p$ $+ 1$ ، ويجب أن $يكون$ الترتيب الضربي لـ 2 mod $2p$ $+ 1$ قسمة ${\textstyle {\frac {(2p+1)-1}{2}}=p}$ بما أن $p$ عدد أولي، فلا بد أن يكون $p أو 1. لكن لا يمكن أن يكون 1 لأن Φ₁$ $($ 2 $)$ = $1 ،$ والعدد $1$ ليس له عوامل أولية ، لذا لا بد أن يكون $p$ . بالتالي، $2p + 1$ يقسم $Φp (2) = 2p - 1،$ و $2 p - 1 = M.$ $إذن$ $، لا يمكن أن يكون$ $p$ عددًا أوليًا. أول أربعة أعداد أولية لمرسين هي $M₂ = 3 ،$ و $M₃$ $= 7$ ، $و$ $M₅ = 31،$ و $M₇ = 127. ولأن$ أول عدد أولي لمرسين يبدأ من $M₂ ،$ فإن جميع أعداد مرسين الأولية متطابقة مع 3 (mod 4). باستثناء $M₀ = 0 و$ M₁ $= 1 ،$ فإن جميع أعداد مرسين الأخرى متطابقة أيضًا مع 3 (mod 4). وبالتالي، في التحليل الأولي لعدد ميرسين ( $\geq$ $M$ $2$ ) يجب أن يكون هناك عامل أولي واحد على الأقل متطابق مع 3 (mod 4).

تشير الأدلة المتوفرة إلى أن احتمالية كون عدد ميرسين المختار عشوائيًا عددًا أوليًا أكبر بكثير من احتمالية كون عدد فردي عشوائيًا من نفس الحجم. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، يبدو أن القيم الأولية لـ $M p$ تتناقص تدريجيًا مع ازدياد $قيمة p$ . على سبيل المثال، ثمانية من أول 11 عددًا أوليًا $p$ تُنتج عددًا أوليًا لميرسين $M p$ (وهي الحدود الصحيحة في قائمة ميرسين الأصلية)، بينما يكون $M p$ أوليًا لـ 43 عددًا فقط من أول مليوني عدد أولي (حتى 32452843).

نظرًا لأن أعداد ميرسين تنمو بسرعة كبيرة، فإن البحث عن أعداد ميرسين الأولية مهمة صعبة، على الرغم من وجود اختبار بسيط وفعال لتحديد ما إذا كان عدد ميرسين معين أوليًا: اختبار لوكاس-ليمر للأعداد الأولية (LLT)، الذي يُسهّل اختبار أولية أعداد ميرسين مقارنةً بمعظم الأعداد الأخرى من نفس الحجم. ويحظى البحث عن أكبر عدد أولي معروف باهتمام كبير . ونتيجةً لذلك، تم استثمار قدر كبير من قوة الحوسبة في البحث عن أعداد ميرسين الأولية الجديدة، ويتم إنجاز جزء كبير من ذلك الآن باستخدام الحوسبة الموزعة .

تُعدّ العمليات الحسابية بتردد عدد ميرسين فعّالة للغاية على الحواسيب الثنائية ، مما يجعلها خيارًا شائعًا عند الرغبة في استخدام تردد عدد أولي، كما هو الحال في مولد الأرقام العشوائية بارك-ميلر . يتطلب إيجاد متعددة حدود أولية من رتبة عدد ميرسين معرفة تحليل هذا العدد إلى عوامله الأولية، لذا تسمح أعداد ميرسين الأولية بإيجاد متعددات حدود أولية ذات رتبة عالية جدًا. تُستخدم هذه الثلاثيات الحدودية الأولية في مولدات الأرقام شبه العشوائية ذات الدورات الطويلة جدًا، مثل مولد ميرسين تويستر ، ومسجل الإزاحة المعمم، ومولدات فيبوناتشي المتأخرة .

أرقام مثالية

ترتبط أعداد ميرسين الأولية $(M p)$ ارتباطًا وثيقًا بالأعداد الكاملة . في القرن الرابع قبل الميلاد، أثبت إقليدس أنه إذا كان $2 p - 1$ عددًا أوليًا، فإن $2 p - 1 (2 p - 1$ ) عدد كامل. وفي القرن الثامن عشر، أثبت ليونارد أويلر ، على العكس من ذلك، أن جميع الأعداد الكاملة الزوجية لها هذا الشكل. ^{[ 5 ]} تُعرف هذه النظرية باسم نظرية إقليدس-أويلر . ولا يُعرف ما إذا كانت هناك أي أعداد كاملة فردية .

تاريخ

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131
137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311
أول 64 أسًا أوليًا، مع تظليل تلك المقابلة لأعداد ميرسين الأولية باللون السماوي وبخط غامق، وتلك التي يُعتقد أن ميرسين قد فعل ذلك باللون الأحمر وبخط غامق.

تُستمد أعداد ميرسين الأولية اسمها من العالم الفرنسي مارين ميرسين الذي عاش في القرن السابع عشر ، والذي قام بتجميع ما كان من المفترض أن يكون قائمة بأعداد ميرسين الأولية ذات الأسس التي تصل إلى 257. وكانت الأسس التي أدرجها ميرسين في عام 1644 كما يلي:

2، 3، 5، 7، 13، 17، 19، 31، 67، 127، 257.

تضمنت قائمته الأعداد الأولية المعروفة في عصره ذات الأسس التي تصل إلى 19. وكان إدخاله التالي، 31، صحيحًا، لكن القائمة أصبحت بعد ذلك غير دقيقة إلى حد كبير، إذ أدرج ميرسين خطأً العددين $M67$ $و$ M257 $($ وهما عددان مركبان) وأغفل الأعداد $M61 وM89 وM107$ $($ $وهي$ أعداد $أولية$ ) $.$ $ولم$ $يُقدم$ ميرسين أي توضيح يُذكر لكيفية توصله إلى قائمته. ^[⁶^]

أثبت إدوارد لوكاس عام 1876 أن العدد $M 127$ هو عدد أولي بالفعل، كما ادعى ميرسين. وكان هذا أكبر عدد أولي معروف لمدة 75 عامًا حتى عام 1951، عندما اكتشف إيمي فيرير عددًا أوليًا أكبر، وهو $(2 148 + 1)/17$ ، باستخدام آلة حاسبة مكتبية. ^{[ 7 ]}^{: صفحة 22.} وقد حُدِّد أن العدد $M 61$ عدد أولي عام 1883 على يد إيفان ميخيفيتش بيرفوشين ، على الرغم من أن ميرسين ادعى أنه عدد مركب، ولهذا السبب يُطلق عليه أحيانًا اسم عدد بيرفوشين. وكان هذا ثاني أكبر عدد أولي معروف، وظل كذلك حتى عام 1911. وقد أظهر لوكاس خطأً آخر في قائمة ميرسين عام 1876 عندما أثبت أن العدد $M$ $67$ عدد مركب دون إيجاد عامل له. لم يُكتشف أي عامل حتى محاضرة فرانك نيلسون كول الشهيرة عام ١٩٠٣. ^[^٨^] دون أن ينبس ببنت شفة، توجه إلى السبورة ورفع العدد ٢ إلى القوة ٦٧، ثم طرح واحدًا، فكان الناتج العدد ١٤٧٥٧٣٩٥٢٥٨٩٦٧٦٤١٢٩٢٧. على الجانب الآخر من السبورة، ضرب ١٩٣٧٠٧٧٢١ × ٧٦١٨٣٨٢٥٧٢٨٧ فحصل على العدد نفسه، ثم عاد إلى مقعده (وسط تصفيق الحضور) دون أن يتكلم. ^[^٩^] قال لاحقًا إن النتيجة استغرقت منه "ثلاث سنوات من أيام الأحد" للوصول إليها. ^[^١٠^] لم تُستكمل قائمة صحيحة بجميع أعداد ميرسين الأولية في هذا النطاق العددي، ولم تُدقّق بدقة إلا بعد حوالي ثلاثة قرون من نشر ميرسين لقائمته.

البحث عن أعداد ميرسين الأولية

تتوفر خوارزميات سريعة لإيجاد أعداد ميرسين الأولية، وذلك اعتبارًا من أكتوبر 2024 أكبر سبعة أعداد أولية معروفة هي أعداد ميرسين الأولية.

كانت الأعداد الأولية الأربعة الأولى لمرسين $، وهي$ $M₂$ $= 3$ ، و $M₃$ $= 7$ ، و $M₅ = 31، و$ M₇ $= 127، معروفة في العصور القديمة.$ $أما العدد الخامس،$ $M₁₃ = 8191$ ، فقد اكتُشف بشكل مجهول قبل عام 1461؛ واكتُشف العددان التاليان ( $M₁₇$ $و$ M₁₉ $)$ $على$ يد بيترو كاتالدي عام 1588. وبعد قرنين تقريبًا، تم التحقق من أن $M₃₁$ عدد أولي على يد ليونارد أويلر عام 1772. وكان العدد التالي (بحسب الترتيب التاريخي، وليس العددي) هو $M₁₇ ،$ الذي اكتشفه إدوارد لوكاس عام 1876، ثم $M₆₁$ على يد إيفان ميخيفيتش بيرفوشين $عام$ 1883. واكتُشف عددان آخران ( $M₈₉$ و $M₁₀₇$ ) في أوائل القرن العشرين، على يد آر إي باورز $عامي$ $1911$ و1914 على التوالي.

تُعدّ طريقة لوكاس-ليمر لاختبار أولية أعداد ميرسين الطريقة الأكثر فعالية المعروفة حاليًا لاختبار أولية هذه الأعداد . وبالتحديد، يمكن إثبات أنه بالنسبة لأي عدد أولي $p > 2$ ، يكون $العدد Mp$ $= 2p - 1$ أوليًا إذا وفقط إذا $كان$ يقسم $Sp$ $-$ $2$ ، حيث $S0$ $= 4$ $و$ Sk $=$ $($ $Sk$ $-$ $1$ $)$ $2$ $-$ $2$ لـ $k$ $>$ $0$ .

خلال عصر الحساب اليدوي، خضعت جميع الأسس التي لم تُختبر سابقًا حتى 257 لاختبار لوكاس-ليمر، وثبت أنها أعداد مركبة. وقدّم أستاذ الفيزياء المتقاعد من جامعة ييل، هوراس سكودر أولر، إسهامًا بارزًا في هذا المجال، حيث أجرى الحسابات للأسس 157، 167، 193، 199، 227، و229. ^{[ 11 ]} لسوء حظ هؤلاء الباحثين، احتوت الفترة التي كانوا يختبرونها على أكبر فجوة نسبية معروفة بين أعداد ميرسين الأولية: إذ تبيّن أن الأس التالي لعدد ميرسين الأولي، 521، أكبر بأكثر من أربعة أضعاف من الرقم القياسي السابق البالغ 127.

أحدث ظهور الحاسوب الرقمي ثورةً في البحث عن أعداد ميرسين الأولية. بحث آلان تورينج عنها على حاسوب مانشستر مارك 1 عام 1949، ^{[ 12 ]} ولكن أول تحديد ناجح لعدد ميرسين أولي، $وهو M 521$ ، بهذه الطريقة تحقق في تمام الساعة العاشرة مساءً من يوم 30 يناير 1952، باستخدام حاسوب SWAC التابع للمكتب الوطني الأمريكي للمعايير في معهد التحليل العددي بجامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس (UCLA)، تحت إشراف د. هـ. ليمر ، وذلك باستخدام برنامج بحث حاسوبي كتبه وأداره البروفيسور ر. م. روبنسون . كان هذا أول عدد ميرسين أولي يُحدد منذ ثمانية وثلاثين عامًا؛ أما العدد التالي، $M$ $607$ ، فقد عثر عليه الحاسوب بعد أقل من ساعتين. وتم العثور على ثلاثة أعداد أخرى - $M$ $1279$ و $M$ $2203$ و $M$ $2281$ - بواسطة البرنامج نفسه خلال الأشهر القليلة التالية. كان العدد $M$ $4423$ أول عدد أولي يُكتشف بأكثر من 1000 رقم، وكان $M$ $44497$ أول عدد أولي بأكثر من 10000 رقم، وكان $M$ $6972593$ أول عدد أولي بأكثر من مليون رقم. وبشكل عام، فإن عدد الأرقام في التمثيل العشري للعدد $M$ $n$ يساوي $⌊$ $n$ $log$ $10$ $2⌋ + 1$ ، حيث $⌊$ $x$ $⌋$ يرمز إلى دالة الجزء الصحيح (أو بصورة مكافئة $⌊log$ $10$ $M$ $n$ $⌋ + 1$ ).

في سبتمبر 2008، فاز علماء الرياضيات في جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس المشاركون في البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية عبر الإنترنت (GIMPS) بجزء منجائزة قدرها 100 ألف دولار من مؤسسة الحدود الإلكترونية لاكتشافهم عددًا أوليًا من نوع ميرسين يتكون من حوالي 13 مليون رقم. وقد تم تأكيد الجائزة رسميًا في أكتوبر 2009، وهي تُمنح لأول عدد أولي معروف يحتوي على 10 ملايين رقم على الأقل. عُثر على هذا العدد الأولي على جهاز Dell OptiPlex 745 في 23 أغسطس 2008. وكان هذا هو العدد الأولي الثامن من نوع ميرسين الذي تم اكتشافه في جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس. ^{[ 13 ]}

في 12 أبريل 2009، أفاد سجل خادم GIMPS باحتمالية اكتشاف عدد أولي من أعداد ميرسين، ليصبح العدد 47. وقد لُوحظ هذا الاكتشاف لأول مرة في 4 يونيو 2009، وتم التحقق منه بعد أسبوع. يبلغ هذا العدد 2^ ^42643801 - 1. وعلى الرغم من أنه العدد الأولي رقم 47 من أعداد ميرسين المكتشفة، إلا أنه أصغر من أكبر عدد معروف آنذاك، والذي كان العدد 45.

في 25 يناير 2013، اكتشف كورتيس كوبر ، عالم الرياضيات في جامعة سنترال ميسوري ، العدد الأولي رقم 48 لمرسين، وهو 2^ ^57885161 - 1 (عدد ذو17425170 رقمًا ⁾ ، نتيجة لعملية بحث نفذتها شبكة خادم GIMPS. ^[ 14 ^]

في 19 يناير 2016، نشر كوبر اكتشافه للعدد الأولي رقم 49 لمرسين، وهو 2 ^74207281 − 1 (عدد ذو( 22,338,618 رقمًا )، نتيجةً لعملية بحث نُفِّذت بواسطة شبكة خوادم GIMPS. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} كان هذا هو العدد الأولي الرابع لمرسين الذي اكتشفه كوبر وفريقه في السنوات العشر الماضية.

في 2 سبتمبر 2016، انتهى البحث الكبير على الإنترنت عن أعداد ميرسين الأولية من التحقق من جميع الاختبارات التي تقل عن $M 37156667$ ، مما يؤكد رسميًا موقعه كعدد ميرسين الأولي رقم 45. ^{[ 18 ]}

في 3 يناير 2018، أُعلن أن جوناثان بيس، مهندس كهربائي يبلغ من العمر 51 عامًا ويعيش في جيرمانتاون بولاية تينيسي ، قد اكتشف العدد الأولي الخمسين لمرسين، وهو 2 ^77232917 − 1 (عدد ذو(٢٣,٢٤٩,٤٢٥ رقمًا ) ، نتيجةً لعملية بحث نُفِّذت بواسطة شبكة خوادم GIMPS. ^{[ ١٩ ]} وقد تم الاكتشاف بواسطة جهاز كمبيوتر في مكاتب كنيسة في نفس المدينة. ^{[ ٢٠ ]}^{[ ٢١ ]}

في 21 ديسمبر 2018، أُعلن أن مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية على الإنترنت (GIMPS) قد اكتشف عددًا أوليًا جديدًا، وهو 2 ^82589933 − 1 ،24862048 رقماً. تم اكتشاف هذا الرقم بواسطة جهاز كمبيوتر تبرع به باتريك لاروش من أوكالا، فلوريدا، في 7 ديسمبر 2018. ^{[ 22 ]}

في أواخر عام 2020، بدأ مشروع GIMPS باستخدام تقنية جديدة لاستبعاد الأعداد الأولية المحتملة لمرسين، تُسمى اختبار العدد الأولي المحتمل (PRP)، استنادًا إلى تطوير روبرت جيربيتش في عام 2017، وطريقة بسيطة للتحقق من الاختبارات التي طورها كريستوف بيترزاك في عام 2018. ونظرًا لانخفاض معدل الخطأ وسهولة الإثبات، فقد قلل هذا الاختبار وقت الحساب اللازم لاستبعاد الأعداد الأولية المحتملة إلى النصف تقريبًا مقارنةً باختبار لوكاس-ليمر (إذ لم يعد على مستخدمين إجراء الاختبار نفسه لتأكيد نتيجة الآخر)، مع العلم أن الأسس التي تجتاز اختبار PRP لا تزال تتطلب تأكيد أوليتها. ^{[ 23 ]}

في 12 أكتوبر 2024، اكتشف مستخدم يُدعى لوك دورانت من سان خوسيه، كاليفورنيا، أكبر عدد أولي معروف حاليًا من أعداد ميرسين، وهو 2^ ^136279841 - 1 ، والذي يبلغ41,024,320 رقمًا . هذا هو أول عدد أولي من أعداد ميرسين ذو أسٍّ يزيد عن100,000,000 . وقد أُعلن ^عن ذلك في 21 أكتوبر 2024. ^[ 24 ^]

نظريات حول أعداد ميرسين

أرقام ميرسين هي 0، 1، 3، 7، 15، 31، 63، ... (التسلسل A000225 في OEIS ) .

إذا كان a و p عددين طبيعيين بحيث يكون a ^p − 1 عددًا أوليًا، فإن a = 2 أو p = 1 .
- البرهان : $a \equiv 1 (mod a - 1)$ . إذن $a p \equiv 1 (mod a - 1)$ ، وبالتالي $a p - 1 \equiv 0 (mod a - 1)$ . ومن ثم $، a - 1 يقسم a p - 1.$ مع ذلك، $a p - 1$ عدد أولي، لذا $a - 1 = a p - 1$ أو $a - 1 = \pm1$ . في الحالة الأولى، $a = a p$ ، ومن ثم $a = 0 أو 1$ (وهذا تناقض، لأن −1 و 0 ليسا عددين أوليين) أو $p = 1.$ في الحالة الثانية، $a = 2$ أو $a = 0.$ إذا كان $a = 0$ ، فإن $0 p - 1 = 0 - 1 = -1$ ، وهو ليس عددًا أوليًا. لذلك، $a = 2$ .
إذا كان ^2p − 1 عددًا أوليًا، فإن p عدد أولي.
- البرهان : لنفترض أن $p$ عدد غير أولي، وبالتالي يمكن كتابته على الصورة $p = ab$ حيث $a$ و $b > 1.$ إذن $2p - 1$ $= 2ab - 1$ $= (2a) b - 1$ $= (2a - 1) ((2a) b - 1 + (2a) b - 2 + ... + 2a + 1)$ ، لذا فإن $2p - 1$ عدد غير أولي. وبالاستدلال العكسي، إذا كان $2p$ $-$ $1$ عددًا أوليًا، فإن $p$ عدد أولي أيضًا.
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا، فإن كل عدد أولي q يقسم 2p - 1 يجب أن يكون 1 زائد مضاعفًا لـ 2p . ويبقى هذا صحيحًا حتى عندما يكون 2p - 1 ^عددًا^أوليًا .
- على سبيل المثال، العدد ³¹ هو عدد أولي، حيث 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . ومثال على عدد مركب هو 211 ^- 1 = 23 × 89 ، حيث 23 = 1 + (2 × 11) و 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
- البرهان : بحسب نظرية فيرما الصغرى ، $فإن$ $q$ عاملٌ للعدد $2q⁻¹ - 1.$ $وبما$ أن $q$ عاملٌ للعدد $2p⁻¹$ $،$ $فإنه$ لكل عدد صحيح موجب $c$ ، يكون $q$ أيضًا عاملًا للعدد $2pc⁻¹$ $.$ ولأن $p$ عدد أولي و $q$ ليس عاملًا للعدد $21⁻¹$ ^، فإن $p$ هو أصغر عدد صحيح موجب $x$ بحيث يكون $q$ عاملًا للعدد $2x⁻¹$ . ونتيجةً لذلك، لكل عدد صحيح موجب $x$ ، يكون $q$ عاملًا للعدد $2x⁻¹$ إذا وفقط إذا كان $p$ عاملًا للعدد x $.$ وبالتالي، بما أن $q$ عاملٌ للعدد $2q⁻¹$ $-$ $1$ $،$ $فإن$ p $عاملٌ$ للعدد $q⁻¹،$ $لذا$ $فإن$ q $\equiv$ $1$ $(mod$ $p$ $)$ $.$ علاوة على ذلك، بما أن $q$ عامل من عوامل $2p$ $-$ $1$ ، وهو عدد فردي، فإن $q$ عدد فردي. لذلك، $q$ $\equiv 1 (mod$ $2p$ $)$ .
- هذه الحقيقة تؤدي إلى برهان لنظرية إقليدس ، التي تؤكد على لا نهائية الأعداد الأولية، وهو برهان يختلف عن البرهان الذي كتبه إقليدس: لكل عدد أولي فردي $p$ ، فإن جميع الأعداد الأولية التي تقسم $2 p - 1$ أكبر من $p$ ؛ وبالتالي توجد دائمًا أعداد أولية أكبر من أي عدد أولي معين.
- ويترتب على هذه الحقيقة أنه لكل عدد أولي $p > 2$ ، يوجد على الأقل عدد أولي واحد من الشكل $2 kp + 1$ أقل من أو يساوي $M p$ ، لبعض الأعداد الصحيحة $k$ .
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا، فإن كل عدد أولي q يقسم 2 ^p − 1 يكون متطابقًا مع ±1 (mod 8) .
- البرهان : $2p + 1 \equiv 2 (mod q)$ ، لذا فإن $2 ⁠ 1 / 2 ⁠ (p+1)$ هو الجذر التربيعي لـ $2 mod q$ . وبحسب خاصية التبادل التربيعي ، فإن كل عدد أولي له جذر تربيعي في العدد 2 يكون متطابقًا مع ±1 (mod 8) .
لا يمكن أن يكون عدد ميرسين الأولي عدد ويفريش الأولي .
- البرهان : سنبين أنه إذا كان $p$ $= 2m - 1$ عددًا أوليًا من أعداد ميرسين، فإن التطابق $2p - 1 \equiv 1 (mod p²)$ لا يتحقق. وبحسب نظرية فيرما الصغرى، فإن $m يقسم p - 1.$ بالتالي، يمكن كتابة $p - 1 = mλ$ . إذا تحقق التطابق المعطى، فإن $p² يقسم 2mλ - 1$ ، ومن ثم $0 \equiv$ $2mλ$ $-$ $1$ $/$ $2m$ $- 1$ $=$ $1$ $+ 2m +$ $2$ $(2m$ $+$ $...$ $+ 2$ $($ $λ$ $- 1) )$ $، أي m$ $\equiv λ mod (2m - 1)$ . ومن ثم، فإن $p$ $يقسم λ$ ، وبالتالي $-1 = 0 (mod p)$ ، وهو أمر مستحيل.
إذا كان $m$ و $n$ عددين طبيعيين، فإنهما يكونان $أوليين$ فيما بينهما إذا وفقط إذا كان $2m$ $-$ $1$ و $2n$ $-$ $1 أوليين فيما بينهما. وبالتالي، يقسم أي عدد أولي عددًا واحدًا على الأكثر$ $من$ أعداد ميرسين ذات الأس الأولي. ^[²⁵^] أي أن مجموعة أعداد ميرسين الضارة هي أعداد أولية فيما بينها.
إذا كان كل من p و 2p + 1 أوليين (أي أن p هو عدد أولي من ^نوع^صوفي جيرمان )، وكان p متطابقًا مع 3 (mod 4) ، فإن 2p + 1 يقسم 2p − 1. ^[²⁶ ]
- مثال : 11 و 23 كلاهما عددان أوليان، و 11 = 2 × 4 + 3 ، لذا فإن 23 يقسم 2 ¹¹ − 1 .
- البرهان : ليكن $q$ هو $2p + 1.$ $بحسب$ نظرية فيرما الصغرى، $2p$ $\equiv 1 (mod q)$ ، لذا إما أن $2p$ $\equiv 1 (mod q)$ أو $2p \equiv -1 (mod$ $q). بافتراض صحة الاحتمال الثاني، فإن 2p + 1$ $=$ $($ 2 $1$ $/$ $2$ $($ $p + 1)) 2 \equiv -2 (mod q) ،$ وبالتالي فإن -2 هو باقي تربيعي modulo $q$ $.$ مع ذلك، بما أن $p$ يطابق 3 (mod 4) ، فإن $q$ يطابق 7 (mod 8) ، وبالتالي فإن 2 هو باقي تربيعي modulo $q$ . وبما أن $q$ يطابق 3 (mod 4) ، فإن -1 هو باقي تربيعي modulo $q$ ، وبالتالي فإن -2 هو حاصل ضرب باقي وباقي، ومن ثم فهو باقي، وهذا تناقض. لذا، يجب أن يكون التطابق الأول صحيحًا، و 2 $p + 1$ يقسم $Mp .$
جميع القواسم المركبة لأعداد ميرسين ذات الأسس الأولية هي أعداد شبه أولية قوية للأساس 2.
باستثناء العدد 1، لا يمكن أن يكون عدد ميرسين قوة كاملة. أي، ووفقًا لنظرية ميهايليسكو ، فإن المعادلة $2m -$ $1$ $=$ $nk$ ليس لها حلول حيث $m$ و $n$ و $k$ أعداد صحيحة مع $m$ $> 1$ و $k$ $> 1$ .
تُعدّ متتالية أعداد ميرسين أحد أفراد عائلة متتاليات لوكاس . وهي من النوع $U n$ (3, 2). أي أن عدد ميرسين $m n = 3 m n -1 - 2 m n -2$ حيث $m 0 = 0$ و $m 1 = 1$ .

قائمة أسس أعداد ميرسين الأولية المعروفة

اعتبارًا من عام 2024، الأعداد الأولية المعروفة لمرسين البالغ عددها 52 هي 2p ⁻ 1 بالنسبة لـ p التالية :

2، 3، 5، 7، 13، 17، 19، 31، 61، 89، 107، 127، 521، 607، 1279، 2203، 2281، 3217، 4253، 4423، 9689، 9941، 11213، 19937، 21701، 23209، 44497، 86243، 110503، 132049، 216091، 756839، 859433، 1257787، 1398269، 2976221، 3021377، 6972593، 13466917، 20996011، 24036583، 25964951، 30402457، 32582657، 37156667، 42643801، 43112609، 57885161، 74207281، 77232917، 82589933، 136279841. (التسلسل A000043 في OEIS )

تحليل أعداد ميرسين المركبة

بما أنها أعداد أولية، فإن أعداد ميرسين الأولية لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. مع ذلك، ليست كل أعداد ميرسين أعدادًا أولية. تُعدّ أعداد ميرسين حالات اختبار ممتازة لخوارزمية غربلة حقل الأعداد الخاصة ، لذا غالبًا ما يكون أكبر عدد يُحلّل باستخدام هذه الخوارزمية عددًا من أعداد ميرسين. (حتى يونيو 2019) العدد $21193 - 1$ هو صاحب الرقم القياسي، $[$ ^{27 ] حيث} تم تحليله باستخدام نسخة معدلة من غربال حقل الأعداد الخاص الذي يسمح بتحليل عدة أعداد في آن واحد. راجع سجلات تحليل الأعداد الصحيحة لمزيد من المعلومات. يستطيع غربال حقل الأعداد الخاص تحليل الأعداد التي تحتوي على أكثر من عامل كبير. إذا كان للعدد عامل كبير واحد فقط، فيمكن لخوارزميات أخرى تحليل الأعداد الأكبر حجمًا عن طريق إيجاد العوامل الصغيرة أولًا، ثم إجراء اختبار أولية على العامل المرافق. اعتبارًا من سبتمبر 2022 أكبر عدد قابل للتحليل الكامل (مع السماح بالعوامل الأولية المحتملة ) هو $2^12720787 - 1 =$ $1119429257 \times$ $175573124547437977 \times$ $8480999878421106991 \times q$ ، حيث $q$ هو عدد صحيح موجب.عدد أولي محتمل مكون من 3,829,294 رقمًا . اكتشفه أحد المشاركين في مسابقة GIMPS الملقب بـ "Funky Waddle". ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} اعتبارًا من سبتمبر 2022 يُعدّ عدد ميرسين M ₁₂₇₇ أصغر عدد ميرسين مركب لا توجد له عوامل معروفة؛ إذ لا توجد له عوامل أولية أقل من 2^ ⁶⁸ ، ^{[ 30 ]} ومن غير المرجح أن يكون له أي عوامل أقل من 10^ ⁶⁵ (حوالي 2^ ²¹⁶ ). ^{[ 31 ]}

يوضح الجدول أدناه تحليلات أول 20 عددًا مركبًا من أعداد ميرسين حيث يكون الأس $p$ عددًا أوليًا (المتتالية A244453 في OEIS ) .

$ص$	$م ص$	أرقام	تحليل $M p$
11	2047	4	23 × 89
23	8388607	7	47 × 178481
29	536870911	9	233 × 1103 × 2089
37	137438953471	12	223 × 616318177
41	2199023255551	13	13367 × 164511353
43	8796093022207	13	431 × 9719 × 2099863
47	140737488355327	15	2351 × 4513 × 13264529
53	9007199254740991	16	6361 × 69431 × 20394401
59	576460752303423487	18	179951 × 3203431780337 (13 رقمًا)
67	147573952589676412927	21	193707721 × 761838257287 (12 رقمًا)
71	2361183241434822606847	22	228479 × 48544121 × 212885833
73	9444732965739290427391	22	439 × 2298041 × 9361973132609 (13 رقمًا)
79	604462909807314587353087	24	2687 × 202029703 × 1113491139767 (13 رقمًا)
83	9671406556917033397649407	25	167 × 57912614113275649087721 (23 رقمًا)
97	158456325028528675187087900671	30	11447 × 13842607235828485645766393 (26 رقمًا)
101	2535301200456458802993406410751	31	7432339208719 (13 رقمًا) × 341117531003194129 (18 رقمًا)
103	10141204801825835211973625643007	32	2550183799 × 3976656429941438590393 (22 رقمًا)
109	649037107316853453566312041152511	33	745988807 × 870035986098720987332873 (24 رقمًا)
113	10384593717069655257060992658440191	35	3391 × 23279 × 65993 × 1868569 × 1066818132868207 (16 رقمًا)
131	2722258935367507707706996859454145691647	40	263 × 10350794431055162386718619237468234569 (38 رقمًا)

يمكن العثور على عدد العوامل لأول 500 عدد من أعداد ميرسين في (التسلسل A046800 في OEIS ) .

أرقام ميرسين في الطبيعة وفي أماكن أخرى

في مسألة برج هانوي الرياضية، يتطلب الحل الأمثل للغز ذي البرج المكون ^من $n قرصًا$ $M n$ خطوة. ^{[ 32 ]} يبلغ عدد حبات الأرز على رقعة الشطرنج بأكملها في مسألة القمح ورقعة الشطرنج $M 64.$ ^[³³ ]

يُطلق على الكويكب الذي يحمل الرقم 8191 اسم 8191 ميرسين نسبة إلى مارين ميرسين، لأن 8191 هو عدد أولي من أعداد ميرسين. ^{[ 34 ]}

في الهندسة ، يُولّد المثلث القائم الزاوية الصحيح $،$ وهو مثلث أولي يكون فيه ضلعه الزوجي قوةً للعدد 2 ( $\geq$ $4 )$ $،$ مثلثًا قائم الزاوية فريدًا يكون نصف قطره الداخلي دائمًا عددًا من أعداد ميرسين. على سبيل المثال، إذا كان الضلع الزوجي هو $2n$ $+$ $1$ ^، ولأنه مثلث أولي، فإنه يُقيّد طول الضلع الفردي ليكون $4n$ $-$ $1$ $،$ وطول الوتر ليكون $4n$ $+$ $1$ $،$ ونصف قطره الداخلي ليكون $2n$ $-$ $1.$ ^[³⁵ ]

في الهندسة أيضًا، يساوي عدد المضلعات التي تُشكّل عائلة المضلعات الناتجة عن عملية اقتطاع لمضلع منتظم أساسي ومضلعه الثنائي (باستثناء التناوب) $Mⁿ ،$ حيث $n$ هو بُعد المضلع الأساسي. على سبيل المثال، يحتوي المكعب الفائق ( التيسيراكت) ومضلعه الثنائي ( الهيكساديكاتشورون) على $M⁴ = 15 مضلعًا$ مختلفًا في عائلتهما الناتجة عن عمليات الاقتطاع. ^{[ 36 ]}

أعداد ميرسين-فيرما الأولية

يُعرَّف عدد ميرسين-فيرما على أنه ⁠ 2 $pr$ $-$ $1$ $/$ $2$ $pr$ $-$ $1$ $-$ $1$ $⁠$ $حيث$ p $عدد$ أولي، $و r$ عدد طبيعي، ويمكن كتابته على الصورة $MF($ $p$ $,$ $r$ $)$ . عندما $r$ $= 1$ ، يكون عددًا ميرسين. وعندما $p$ $= 2$ ، يكون عددًا فيرما . الأعداد الأولية الوحيدة المعروفة لميرسين-فيرما التي يكون فيها $r$ $> 1$ هي

MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2),

و

MF(59, 2)

. ^{[ 37 ]}

في الواقع، $MF(p, r) = Φ p r (2)$ ، حيث $Φ$ هي متعددة الحدود الدائرية .

التعميمات

أبسط أعداد ميرسين الأولية المعممة هي الأعداد الأولية من الشكل $f$ $(2n) ،$ حيث $f (x)$ دالة كثيرة الحدود منخفضة الدرجة ذات معاملات صحيحة صغيرة . ^{[ 38 ]} مثال على ذلك هو $264 - 232 + 1$ ، في هذه الحالة، $n = 32$ ، و $f (x) = x² - x + 1 ؛ مثال$ آخر هو $2192 - 264 - 1$ ، في هذه الحالة، $n = 64$ $،$ و $f (x) = x³ - x - 1$ .

من الطبيعي أيضًا محاولة تعميم الأعداد الأولية من الشكل $2n - 1$ إلى أعداد أولية من الشكل $bn - 1$ (حيث $b$ $\neq 2$ و $n$ $> 1$ ). مع ذلك (انظر أيضًا قسم نظريات أعداد ميرسين أعلاه)، فإن $bn$ $- 1$ يقبل القسمة دائمًا على $b$ $- 1$ ، لذا ما لم يكن الأخير عددًا صحيحًا ( $أي$ $1 )$ ، فإن الأول ليس عددًا أوليًا. يمكن معالجة هذا الأمر بالسماح لـ b بأن يكون عددًا صحيحًا جبريًا بدلًا من عدد صحيح.

الأعداد المركبة

في حلقة الأعداد الصحيحة (على الأعداد الحقيقية )، إذا كان $b - 1$ هو العدد المحايد ، فإن $b$ إما أن يكون 2 أو 0. لكن $2n - 1$ هي أعداد ميرسين الأولية المعتادة، والصيغة $0n - 1$ لا تؤدي إلى أي نتيجة مهمة (لأنها دائمًا −1 لجميع $n > 0$ ). لذا، يمكننا اعتبار حلقة "الأعداد الصحيحة" على الأعداد المركبة بدلًا من الأعداد الحقيقية ، مثل الأعداد الصحيحة الغاوسية وأعداد أيزنشتاين .

أعداد ميرسين الأولية الغاوسية

إذا نظرنا إلى حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، فسنحصل على الحالة $b = 1 + i$ و $b = 1 - i$ ، ويمكننا أن نسأل ( بدون فقدان العمومية ) عن العدد $الذي$ $يكون فيه (1 + i) n - 1$ عددًا أوليًا غاوسيًا ، والذي سيُطلق عليه حينها اسم عدد ميرسين الأولي الغاوسي . ^{[ 39 ]}

$(1 + i) n - 1$ هو عدد أولي غاوسي للعدد $n$ التالي :

2، 3، 5، 7، 11، 19، 29، 47، 73، 79، 113، 151، 157، 163، 167، 239، 241، 283، 353، 367، 379، 457، 997، 1367، 3041، 10141، 14699، 27529، 49207، 77291، 85237، 106693، 160423، 203789، 364289، 991961، 1203793، 1667321، 3704053، 4792057، ... (التسلسل A057429 في OEIS )

مثل سلسلة الأسس للأعداد الأولية المعتادة لمرسين، تحتوي هذه السلسلة فقط على أعداد أولية (نسبية).

أما بالنسبة لجميع الأعداد الأولية الغاوسية، فإن معايير هذه الأعداد (أي مربعات القيم المطلقة) هي أعداد أولية نسبية:

5، 13، 41، 113، 2113، 525313، 536903681، 140737471578113، ... (التسلسل A182300 في OEIS ) .

أعداد أيزنشتاين ميرسين الأولية

قد يصادف المرء حالات يكون فيها عدد ميرسين الأولي هو أيضاً عدد أيزنشتاين أولي ، ويكون على الصورة $b = 1 + ω$ و $b = 1 - ω$ . في هذه الحالات، تُسمى هذه الأعداد أعداد أيزنشتاين ميرسين الأولية .

$(1 + ω) n - 1$ هو عدد أولي من نوع أيزنشتاين للعدد $n$ التالي :

2، 5، 7، 11، 17، 19، 79، 163، 193، 239، 317، 353، 659، 709، 1049، 1103، 1759، 2029، 5153، 7541، 9049، 10453، 23743، 255361، 534827، 2237561، ... (التسلسل A066408 في OEIS )

معايير (أي مربعات القيم المطلقة) هذه الأعداد الأولية من نوع أيزنشتاين هي أعداد أولية نسبية:

7، 271، 2269، 176419، 129159847، 1162320517، ... (التسلسل A066413 في OEIS )

قسمة عدد صحيح

إعادة بناء الأعداد الأولية

أما الطريقة الأخرى للتعامل مع حقيقة أن $b n - 1$ يقبل القسمة دائمًا على $b - 1$ ، فهي ببساطة إخراج هذا العامل والسؤال عن قيم $n$ التي تجعل

{\frac {b^{n}-1}{b-1}}

ليكن عددًا أوليًا. (يمكن أن يكون العدد الصحيح $b$ موجبًا أو سالبًا). على سبيل المثال، إذا أخذنا $b = 10$ ، فسنحصل على $n$ قيمة لـ:

2، 19، 23، 317، 1031، 49081، 86453، 109297، 270343، ... (التسلسل A004023 في OEIS ) ، والذي يتوافق مع الأعداد الأولية 11، 11111111111111111111، 111111111111111111111111، ... (التسلسل A004022 في OEIS ) .

تُسمى هذه الأعداد الأولية بالأعداد الأولية المتكررة. مثال آخر هو عندما نأخذ $b = -12$ ، نحصل على $n$ قيمة لـ:

2، 5، 11، 109، 193، 1483، 11353، 21419، 21911، 24071، 106859، 139739، ... (التسلسل A057178 في OEIS ) ، الموافق للأعداد الأولية -11، 19141، 57154490053، ....

من المفترض أنه لكل عدد صحيح $b$ ليس قوة كاملة ، توجد قيم لا نهائية لـ $n$ بحيث يكون $b($ $n$ $-$ $1$ $)/$ $b$ $-1$ $عددًا$ أوليًا. (عندما يكون $b$ قوة كاملة، يمكن إثبات أنه توجد قيمة واحدة على الأكثر لـ $n$ بحيث يكون $b$ $($ $n$ $-1)$ $/$ $b$ $-1$ $عددًا$ أوليًا).

أصغر عدد $n$ بحيث يكون $⁠$ $b$ $n$ $- 1$ $/$ $b$ $- 1$ $⁠$ عددًا أوليًا هو (بدءًا من $b$ $= 2$ ، $0 إذا لم يكن هناك$ $عدد n$ كهذا )

2، 3، 2، 3، 2، 5، 3، 0، 2، 17، 2، 5، 3، 3، 2، 3، 2، 19، 3، 3، 2، 5، 3، 0، 7، 3، 2، 5، 2، 7، 0، 3، 13، 313، 2، 13، 3، 349، 2، 3، 2، 5، 5، 19، 2، 127، 19، 0، 3، 4229، 2، 11، 3، 17، 7، 3، 2، 3، 2، 7، 3، 5، 0، 19، 2، 19، 5، 3، 2، 3، 2، ... (التسلسل A084740 في OEIS )

بالنسبة للأساسات السالبة $b$ ، تكون (بدءًا من $b = -2$ ، $0$ إذا لم يكن هناك $n$ من هذا القبيل )

3، 2، 2، 5، 2، 3، 2، 3، 5، 5، 2، 3، 2، 3، 3، 7، 2، 17، 2، 3، 3، 11، 2، 3، 11، 0، 3، 7، 2، 109، 2، 5، 3، 11، 31، 5، 2، 3، 53، 17، 2، 5، 2، 103، 7، 5، 2، 7، 1153، 3، 7، 21943، 2، 3، 37، 53، 3، 17، 2، 7، 2، 3، 0، 19، 7، 3، 2، 11، 3، 5، 2، ... (متسلسلة) A084742 في OEIS ) (لاحظ أن تسلسل OEIS هذا لا يسمح بـ

n = 2

)

أصغر أساس $b$ بحيث يكون $⁠$ $b$ $prime($ $n$ $)$ $- 1$ $/$ $b$ $- 1$ $⁠$ عددًا أوليًا هو

2، 2، 2، 2، 5، 2، 2، 2، 10، 6، 2، 61، 14، 15، 5، 24، 19، 2، 46، 3، 11، 22، 41، 2، 12، 22، 3، 2، 12، 86، 2، 7، 13، 11، 5، 29، 56، 30، 44، 60، 304، 5، 74، 118، 33، 156، 46، 183، 72، 606، 602، 223، 115، 37، 52، 104، 41، 6، 338، 217، ... (التسلسل A066180 في OEIS )

بالنسبة للقواعد السالبة $b$ ، فإنها

3، 2، 2، 2، 2، 2، 2، 2، 2، 7، 2، 16، 61، 2، 6، 10، 6، 2، 5، 46، 18، 2، 49، 16، 70، 2، 5، 6، 12، 92، 2، 48، 89، 30، 16، 147، 19، 19، 2، 16، 11، 289، 2، 12، 52، 2، 66، 9، 22، 5، 489، 69، 137، 16، 36، 96، 76، 117، 26، 3، ... (التسلسل A103795 في OEIS )

أعداد ميرسين الأولية المعممة الأخرى

عدد ميرسين المعمم الآخر هو

{\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}}

مع $a$ و $b$ أي عددين صحيحين أوليين فيما بينهما $، a > 1 و -a < b < a$ $. (بما أن aⁿ -$ bⁿ $يقبل القسمة$ دائمًا $على a - b ،$ فإن $القسمة ضرورية لوجود$ أي $فرصة$ $لإيجاد أعداد أولية$ ). ^{[ أ ]} يمكننا أن نسأل ما هو $n$ $الذي$ يجعل هذا العدد أوليًا. يمكن إثبات أن $n$ يجب أن يكون أوليًا أو يساوي 4، ويمكن أن يكون $n$ يساوي 4 إذا وفقط إذا كان $a + b = 1$ و $a² + b² عدد أولي$ . ^{[ ب ]} من المفترض أنه لأي زوج $(a, b)$ بحيث لا $يكون$ $كل من a$ و $b$ قوتين كاملتين من $الرتبة$ $r لأي$ $قيمة$ $لـ r،$ و $-4ab$ ليس قوة رابعة كاملة ، توجد قيم لا نهائية لـ $n بحيث يكون aⁿ$ $-$ bⁿ $/$ $a$ $-$ $b$ $عددًا$ $أوليًا$ $.$ $[$ ج ^]^ومع^ذلك ، لم يتم إثبات ذلك لأي قيمة واحدة لـ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ .

للمزيد من المعلومات، انظر ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}
$أ$	$ب$	الأعداد $n$ التي يكون فيها $⁠$ $a$ $n$ $-$ $b$ $n$ $/$ $a$ $-$ $b$ $⁠$ عددًا أوليًا (بعض الحدود الكبيرة هي أعداد أولية محتملة فقط، ويتم التحقق من هذه الأعداد $n$ حتى 100000 لـ $\|$ $b$ $\|$ $\leq 5$ أو $\|$ $b$ $\|$ $=$ $a$ $- 1$ ، و 20000 لـ $5 <$ $\|$ $b$ $\|$ $<$ $a$ $- 1$ )	تسلسل OEIS
2	1	2، 3، 5، 7، 13، 17، 19، 31، 61، 89، 107، 127، 521، 607، 1279، 2203، 2281، 3217، 4253، 4423، 9689، 9941، 11213، 19937، 21701، 23209، 44497، 86243، 110503، 132049، 216091، 756839، 859433، 1257787، 1398269، 2976221، 3021377، 6972593، 13466917، 20996011، 24036583، 25964951، 30402457، 32582657، 37156667، 42643801، 43112609، 57885161، ...، 74207281، ...، 77232917، ...، 82589933، ...، 136279841، ...	A000043
2	-1	3، 4 ^* ، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 31، 43، 61، 79، 101، 127، 167، 191، 199، 313، 347، 701، 1709، 2617، 3539، 5807، 10501، 10691، 11279، 12391، 14479، 42737، 83339، 95369، 117239، 127031، 138937، 141079، 267017، 269987، 374321، 986191، 4031399، ... 13347311، 13372531، ...	A000978
3	2	2، 3، 5، 17، 29، 31، 53، 59، 101، 277، 647، 1061، 2381، 2833، 3613، 3853، 3929، 5297، 7417، 90217، 122219، 173191، 256199، 336353، 485977، 591827، 1059503، ...	A057468
3	1	3، 7، 13، 71، 103، 541، 1091، 1367، 1627، 4177، 9011، 9551، 36913، 43063، 49681، 57917، 483611، 877843، ...	A028491
3	-1	2 ^* ، 3، 5، 7، 13، 23، 43، 281، 359، 487، 577، 1579، 1663، 1741، 3191، 9209، 11257، 12743، 13093، 17027، 26633، 104243، 134227، 152287، 700897، 1205459، ...	A007658
3	-2	3، 4 ^* ، 7، 11، 83، 149، 223، 599، 647، 1373، 8423، 149497، 388897، ...	A057469
4	3	2، 3، 7، 17، 59، 283، 311، 383، 499، 521، 541، 599، 1193، 1993، 2671، 7547، 24019، 46301، 48121، 68597، 91283، 131497، 148663، 184463، 341233، ...	A059801
4	1	2 (لا غيرهما)
4	-1	2 ^* ، 3 (لا غير)
4	-3	3، 5، 19، 37، 173، 211، 227، 619، 977، 1237، 2437، 5741، 13463، 23929، 81223، 121271، ...	A128066
5	4	3، 43، 59، 191، 223، 349، 563، 709، 743، 1663، 5471، 17707، 19609، 35449، 36697، 45259، 91493، 246497، 265007، 289937، ...	A059802
5	3	13، 19، 23، 31، 47، 127، 223، 281، 2083، 5281، 7411، 7433، 19051، 27239، 35863، 70327، ...	A121877
5	2	2، 5، 7، 13، 19، 37، 59، 67، 79، 307، 331، 599، 1301، 12263، 12589، 18443، 20149، 27983، ...	A082182
5	1	3، 7، 11، 13، 47، 127، 149، 181، 619، 929، 3407، 10949، 13241، 13873، 16519، 201359، 396413، 1888279، ...	A004061
5	-1	5، 67، 101، 103، 229، 347، 4013، 23297، 30133، 177337، 193939، 266863، 277183، 335429، ...	A057171
5	-2	2 ^* ، 3، 17، 19، 47، 101، 1709، 2539، 5591، 6037، 8011، 19373، 26489، 27427، ...	A082387
5	-3	2 ^* ، 3، 5، 7، 17، 19، 109، 509، 661، 709، 1231، 12889، 13043، 26723، 43963، 44789، ...	A122853
5	-4	4 ^* ، 5، 7، 19، 29، 61، 137، 883، 1381، 1823، 5227، 25561، 29537، 300893، ...	A128335
6	5	2، 5، 11، 13، 23، 61، 83، 421، 1039، 1511، 31237، 60413، 113177، 135647، 258413، ...	A062572
6	1	2، 3، 7، 29، 71، 127، 271، 509، 1049، 6389، 6883، 10613، 19889، 79987، 608099، ...	A004062
6	-1	2 ^* ، 3، 11، 31، 43، 47، 59، 107، 811، 2819، 4817، 9601، 33581، 38447، 41341، 131891، 196337، ...	A057172
6	-5	3، 4 ^* ، 5، 17، 397، 409، 643، 1783، 2617، 4583، 8783، ...	A128336
7	6	2، 3، 7، 29، 41، 67، 1327، 1399، 2027، 69371، 86689، 355039، ...	A062573
7	5	3، 5، 7، 113، 397، 577، 7573، 14561، 58543، ...	A128344
7	4	2، 5، 11، 61، 619، 2879، 2957، 24371، 69247، ...	A213073
7	3	3، 7، 19، 109، 131، 607، 863، 2917، 5923، 12421، ...	A128024
7	2	3، 7، 19، 79، 431، 1373، 1801، 2897، 46997، ...	A215487
7	1	5، 13، 131، 149، 1699، 14221، 35201، 126037، 371669، 1264699، ...	A004063
7	-1	3، 17، 23، 29، 47، 61، 1619، 18251، 106187، 201653، ...	A057173
7	-2	2 ^* ، 5، 23، 73، 101، 401، 419، 457، 811، 1163، 1511، 8011، ...	A125955
7	-3	3، 13، 31، 313، 3709، 7933، 14797، 30689، 38333، ...	A128067
7	-4	2 ^* ، 3، 5، 19، 41، 47، 8231، 33931، 43781، 50833، 53719، 67211، ...	A218373
7	-5	2 ^* ، 11، 31، 173، 271، 547، 1823، 2111، 5519، 7793، 22963، 41077، 49739، ...	A128337
7	-6	3، 53، 83، 487، 743، ...	A187805
8	7	7، 11، 17، 29، 31، 79، 113، 131، 139، 4357، 44029، 76213، 83663، 173687، 336419، 615997، ...	A062574
8	5	2، 19، 1021، 5077، 34031، 46099، 65707، ...	A128345
8	3	2، 3، 7، 19، 31، 67، 89، 9227، 43891، ...	A128025
8	1	3 (لا غيرهم)
8	-1	2 ^* (لا غير)
8	-3	2 ^* ، 5، 163، 191، 229، 271، 733، 21059، 25237، ...	A128068
8	-5	2 ^* ، 7، 19، 167، 173، 223، 281، 21647، ...	A128338
8	-7	4 ^* ، 7، 13، 31، 43، 269، 353، 383، 619، 829، 877، 4957، 5711، 8317، 21739، 24029، 38299، ...	A181141
9	8	2، 7، 29، 31، 67، 149، 401، 2531، 19913، 30773، 53857، 170099، ...	A059803
9	7	3، 5، 7، 4703، 30113، ...	A273010
9	5	3، 11، 17، 173، 839، 971، 40867، 45821، ...	A128346
9	4	2 (لا غيرهما)
9	2	2، 3، 5، 13، 29، 37، 1021، 1399، 2137، 4493، 5521، ...	A173718
9	1	(لا أحد)
9	-1	3، 59، 223، 547، 773، 1009، 1823، 3803، 49223، 193247، 703393، ...	A057175
9	-2	2 ^* ، 3، 7، 127، 283، 883، 1523، 4001، ...	A125956
9	-4	2 ^* ، 3، 5، 7، 11، 17، 19، 41، 53، 109، 167، 2207، 3623، 5059، 5471، 7949، 21211، 32993، 60251، ...	A211409
9	-5	3، 5، 13، 17، 43، 127، 229، 277، 6043، 11131، 11821، ...	A128339
9	-7	2 ^* ، 3، 107، 197، 2843، 3571، 4451، ...، 31517، ...	A301369
9	-8	3، 7، 13، 19، 307، 619، 2089، 7297، 75571، 76103، 98897، ...	A187819
10	9	2، 3، 7، 11، 19، 29، 401، 709، 2531، 15787، 66949، 282493، ...	A062576
10	7	2، 31، 103، 617، 10253، 10691، ...	A273403
10	3	2، 3، 5، 37، 599، 38393، 51431، ...	A128026
10	1	2، 19، 23، 317، 1031، 49081، 86453، 109297، 270343، ...	A004023
10	-1	5، 7، 19، 31، 53، 67، 293، 641، 2137، 3011، 268207، ...	A001562
10	-3	2 ^* ، 3، 19، 31، 101، 139، 167، 1097، 43151، 60703، 90499، ...	A128069
10	-7	2 ^* ، 3، 5، 11، 19، 1259، 1399، 2539، 2843، 5857، 10589، ...
10	-9	4 ^* ، 7، 67، 73، 1091، 1483، 10937، ...	A217095
11	10	3، 5، 19، 311، 317، 1129، 4253، 7699، 18199، 35153، 206081، ...	A062577
11	9	5، 31، 271، 929، 2789، 4153، ...	A273601
11	8	2، 7، 11، 17، 37، 521، 877، 2423، ...	A273600
11	7	5، 19، 67، 107، 593، 757، 1801، 2243، 2383، 6043، 10181، 11383، 15629، ...	A273599
11	6	2، 3، 11، 163، 191، 269، 1381، 1493، ...	A273598
11	5	5، 41، 149، 229، 263، 739، 3457، 20269، 98221، ...	A128347
11	4	3، 5، 11، 17، 71، 89، 827، 22307، 45893، 63521، ...	A216181
11	3	3، 5، 19، 31، 367، 389، 431، 2179، 10667، 13103، 90397، ...	A128027
11	2	2، 5، 11، 13، 331، 599، 18839، 23747، 24371، 29339، 32141، 67421، ...	A210506
11	1	17، 19، 73، 139، 907، 1907، 2029، 4801، 5153، 10867، 20161، 293831، ...	A005808
11	-1	5، 7، 179، 229، 439، 557، 6113، 223999، 327001، ...	A057177
11	-2	3، 5، 17، 67، 83، 101، 1373، 6101، 12119، 61781، ...	A125957
11	-3	3، 103، 271، 523، 23087، 69833، ...	A128070
11	-4	2 ^* ، 7، 53، 67، 71، 443، 26497، ...	A224501
11	-5	7، 11، 181، 421، 2297، 2797، 4129، 4139، 7151، 29033، ...	A128340
11	-6	2 ^* ، 5، 7، 107، 383، 17359، 21929، 26393، ...
11	-7	7، 1163، 4007، 10159، ...
11	-8	2 ^* ، 3، 13، 31، 59، 131، 223، 227، 1523، ...
11	-9	2 ^* ، 3، 17، 41، 43، 59، 83، ...
11	-10	53، 421، 647، 1601، 35527، ...	A185239
12	11	2، 3، 7، 89، 101، 293، 4463، 70067، ...	A062578
12	7	2، 3، 7، 13، 47، 89، 139، 523، 1051، ...	A273814
12	5	2، 3، 31، 41، 53، 101، 421، 1259، 4721، 45259، ...	A128348
12	1	2، 3، 5، 19، 97، 109، 317، 353، 701، 9739، 14951، 37573، 46889، 769543، ...	A004064
12	-1	2 ^* ، 5، 11، 109، 193، 1483، 11353، 21419، 21911، 24071، 106859، 139739، ...	A057178
12	-5	2 ^* ، 3، 5، 13، 347، 977، 1091، 4861، 4967، 34679، ...	A128341
12	-7	2 ^* ، 3، 7، 67، 79، 167، 953، 1493، 3389، 4871، ...
12	-11	47، 401، 509، 8609، ...	A213216

^* ملاحظة: إذا كان $b < 0$ وكان $n$ زوجيًا، فإن الأرقام $n$ لا يتم تضمينها في تسلسل OEIS المقابل.

عندما يكون $a = b + 1$ ، فإن $(b + 1) n - b n$ ، وهو الفرق بين قوتين كاملتين متتاليتين من الرتبة $n$ ، وإذا كان $a n - b n$ عددًا أوليًا ، فإن $a$ يجب أن يكون $b + 1$ ، لأنه يقبل القسمة على $a - b$ .

أصغر عدد $n$ بحيث يكون $(b + 1) n - bn عددًا$ أوليًا هو

2، 2، 2، 3، 2، 2، 7، 2، 2، 3، 2، 17، 3، 2، 2، 5، 3، 2، 5، 2، 2، 229، 2، 3، 3، 2، 3، 3، 2، 2، 5، 3، 2، 3، 2، 2، 3، 3، 2، 7، 2، 3، 37، 2، 3، 5، 58543، 2، 3، 2، 2، 3، 2، 2، 3، 2، 5، 3، 4663، 54517، 17، 3، 2، 5، 2، 3، 3، 2، 2، 47، 61، 19، ... (متسلسلة) A058013 في OEIS )

أصغر عدد $b$ بحيث يكون $(b + 1) prime(n) - b prime(n)$ عددًا أوليًا هو

1، 1، 1، 1، 5، 1، 1، 1، 5، 2، 1، 39، 6، 4، 12، 2، 2، 1، 6، 17، 46، 7، 5، 1، 25، 2، 41، 1، 12، 7، 1، 7، 327، 7، 8، 44، 26، 12، 75، 14، 51، 110، 4، 14، 49، 286، 15، 4، 39، 22، 109، 367، 22، 67، 27، 95، 80، 149، 2، 142، 3، 11، ... (التسلسل A222119 في OEIS )

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ هذا الرقم هو نفسه رقم لوكاس $Un (a + b, ab)$ ، لأن $a$ و $b$ هما جذور المعادلة التربيعية $x 2 - (a + b) x + ab$ $=$ $0$ .
بما أن $a⁠⁴$ $-$ $b⁴$ $/$ $a$ $-$ $b$ $⁠$ $= ($ $a$ $+$ $b$ $)($ $a²$ $+$ $b²$ $)$ $،$ فإن الزوج $($ $a$ $,$ $b$ $)$ في هذه الحالة يجب أن يكون $($ $x$ $+$ $1, -x$ $)$ $،$ $ويجب$ أن $يكون x²$ $+$ $($ $x$ $+ 1)$ $²$ $عددًا$ أوليًا. أي أن $x$ يجب أنينتمي إلى المتتالية A027861 في OEIS $.$
↑ عندما $يكون كل من a$ و $b$ قوى مثالية $من الرتبة r$ لبعض $r > 1$ أو عندما $يكون -4 ab$ قوة مثالية من الرتبة الرابعة، يمكن إثبات أن هناك قيمتين على الأكثر لـ $n$ بهذه الخاصية: في هذه الحالات، $يمكن تحليل ⁠$ $a$ $n$ $-$ $b$ $n$ $/$ $a$ $-$ $b$ $⁠$ جبريًا.

مراجع

↑ «برنامج جيمبس يكتشف أكبر عدد أولي معروف: 2^ ^136,279,841 - 1» . شركة ميرسين للأبحاث . 21 أكتوبر 2024. مؤرشف من الأصل في 4 نوفمبر 2024. تم الاطلاع عليه في 21 أكتوبر 2024 .
↑ «مشروع GIMPS يكتشف أكبر عدد أولي معروف: 2 ^82,589,933 − 1» . شركة Mersenne Research، 21 ديسمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
↑ "تقرير مراحل مشروع GIMPS" . Mersenne.org . شركة Mersenne Research. مؤرشف من الأصل في 3 سبتمبر 2016. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2020 .
↑ كالدول، كريس. "الأساليب الاستدلالية: استنتاج حدسية واغستاف ميرسين" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2018-03-05 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2015-09-22 .
↑ كريس ك. كالدويل، أعداد ميرسين الأولية: التاريخ والنظريات والقوائم. مؤرشف بتاريخ 13 مارس 2019 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
↑ الصفحات الأولية، حدسية ميرسين مؤرشفة في 2018-03-15 في آلة Wayback .
↑ هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1959). مقدمة في نظرية الأعداد ( الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة أكسفورد.
↑ كول، إف إن (1 ديسمبر 1903). "حول تحليل الأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 10 (3): 134-138 . doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01079-9 .
↑ بيل، إي تي والجمعية الرياضية الأمريكية (1951). الرياضيات، ملكة العلم وخادمته . ماكجرو هيل، نيويورك.ص 228.
↑ "h2g2: أرقام ميرسين" . بي بي سي نيوز . مؤرشف من الأصل في 5 ديسمبر 2014.
↑ هوراس س. أولر (1952). "تاريخ موجز لأبحاث أعداد ميرسين وأحدث الأعداد الأولية الهائلة" . سكريبت ماثيماتيكا . 18 : 122-131 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2016-12-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2016-04-21 .
↑ برايان نابير، قسم الرياضيات و Mark 1 مؤرشف في 2009-02-04 في Wayback Machine .
↑ ماو الثاني، توماس هـ. (27 سبتمبر 2008). "علماء رياضيات من جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس يكتشفون عددًا أوليًا مكونًا من 13 مليون رقم" . صحيفة لوس أنجلوس تايمز . تاريخ الاسترجاع: 21 مايو 2011 .
↑ تيا غوز. "اكتشاف أكبر عدد أولي" . مجلة ساينتفك أمريكان . مؤرشف من الأصل بتاريخ 6 فبراير 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 فبراير 2013 .
↑ كوبر، كورتيس (7 يناير 2016). "اكتشاف عدد ميرسين الأولي - ^274207281 - 1 هو عدد أولي!" . شركة ميرسين للأبحاث . مؤرشف من الأصل في 7 أبريل 2019. تم الاطلاع عليه في 22 يناير 2016 .
↑ بروك، روبرت (19 يناير 2016). "العدد الأولي الذي يحتوي على 22 مليون رقم هو الأكبر على الإطلاق" . مجلة نيو ساينتست . مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2016. تم الاطلاع عليه في 19 يناير 2016 .
↑ تشانغ، كينيث (21 يناير 2016). "أكبر عدد أولي جديد = 2 أس 74 مليون ... إنه عدد كبير" . صحيفة نيويورك تايمز . مؤرشف من الأصل في 13 فبراير 2019. تم الاطلاع عليه في 22 يناير 2016 .
↑ "المعالم البارزة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2016-09-03.
↑ "اكتشاف أعداد ميرسين الأولية – ^277232917 - 1 هو عدد أولي!" . www.mersenne.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 17 أكتوبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 يناير 2018 .
↑ «تم العثور على أكبر عدد أولي معروف على جهاز كمبيوتر تابع لكنيسة» . christianchronicle.org . ١٢ يناير ٢٠١٨. مؤرشف من الأصل في ١٥ مايو ٢٠٢١. تم الاطلاع عليه في ١٥ مايو ٢٠٢١ .
↑ "تم العثور على: عدد أولي خاص وكبير بشكل مذهل" . 5 يناير 2018.
↑ "برنامج جيمبس يكتشف أكبر عدد أولي معروف: 2^ ^82,589,933 - 1" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 22 ديسمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 يناير 2019 .
↑ "GIMPS – The Math – PrimeNet" . www.mersenne.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يونيو 2021 .
↑ «اكتشاف عدد ميرسين الأولي – 2^ ^136279841 - 1 عدد أولي!» . www.mersenne.org . مؤرشف من الأصل في 4 نوفمبر 2024. تم الاطلاع عليه في 21 أكتوبر 2024 .
↑ إيدجنجتون، ويل (14 أكتوبر 2014). "صفحة ميرسين لويل إيدجنجتون" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 أكتوبر 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 أكتوبر 2014 .
↑ كالدول، كريس ك. "برهان على نتيجة أويلر ولاغرانج على قواسم ميرسين" . الصفحات الأولية .
^ كلينجونج ، ثورستن. بوس، جوبي دبليو؛ لينسترا، آرجين ك. (2014). “مصنع ميرسين للتخصيم”. التقدم في علم التشفير – ASIACRYPT 2014 . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد. 8874. الصفحات من 358 إلى 377. دوى : 10.1007/978-3-662-45611-8_19 . رقم ISBN 978-3-662-45607-1.
↑ ليفتشيتز، هنري؛ ليفتشيتز، رينو. "أفضل تسجيلات PRP" . تم الاسترجاع في 2022-09-05 .
↑ "تفاصيل أسّ عدد ميرسين M12720787" . www.mersenne.ca . تاريخ الاطلاع: 5 سبتمبر 2022 .
↑ "حالة الأس للمعادلة M1277" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 يوليو 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يوليو 2021 .
↑ "تفاصيل أسّ عدد ميرسين M1277" . www.mersenne.ca . تاريخ الاطلاع: 24 يونيو 2022 .
↑ بيتكوفيتش، ميودراغ (2009). ألغاز شهيرة لعلماء رياضيات عظماء . مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 197. ISBN 978-0-8218-4814-2.
↑ وايسشتاين، إريك و. "مسألة القمح ورقعة الشطرنج" . ماث وورلد. وولفرام . مؤرشف من الأصل بتاريخ 29-02-2000 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-02-2023 .
↑ آلان تشامبرلين. "متصفح قاعدة بيانات الأجسام الصغيرة في مختبر الدفع النفاث" . Ssd.jpl.nasa.gov. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10 يونيو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 مايو 2011 .
↑ "OEIS A016131" . الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة. مؤرشفة من الأصل بتاريخ 2018-09-07 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 2018-09-07 .
↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1999). جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة . منشورات دوفر. ص. الفصل 3: بناء ويثوف للمضلعات المنتظمة. ISBN 978-0-486-40919-1.
↑ "بحث في أعداد ميرسين وفيرما الأولية" .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
↑ سولينس، جيروم أ. (1 يناير 2011). "عدد ميرسين الأولي المعمم". في: تيلبورغ، هينك سي أ فان؛ جاجوديا، سوشيل (محرران). موسوعة التشفير والأمن . سبرينغر الولايات المتحدة. ص 509-510 . doi : 10.1007/978-1-4419-5906-5_32 . ISBN 978-1-4419-5905-8.
↑ كريس كالدويل: معجم الأعداد الأولية: غاوسيان ميرسين، مؤرشف بتاريخ 2014-10-06 في آلة Wayback (جزء من صفحات الأعداد الأولية )
↑ $(x, 1)$ و $(x, -1)$ لـ $x$ = 2 إلى 50
↑ $(x, 1)$ لـ $x$ = 2 إلى 160
↑ $(x, -1)$ من أجل $x$ = 2 إلى 160
↑ " $($ $x$ $+ 1,$ $x$ $)$ لـ $x$ = 1 إلى 160" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 أغسطس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2015 .
↑ " $($ $x$ $+ 1, -x$ $)$ $لـ$ x $=$ 1 إلى 40" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 أغسطس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2015 .
↑ " $($ $x$ $+ 2,$ $x$ $)$ للأعداد الفردية $x$ = 1 إلى 107" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 أغسطس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2015 .
↑ $(x, -1)$ من $x$ = 2 إلى 200
↑ "سجلات PRP، ابحث عن $($ $a$ $n$ $-$ $b$ $n$ $)/$ $c$ ، أي $($ $a$ $,$ $b$ $)$ " . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-11-2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 20-11-2016 .
↑ "سجلات PRP، ابحث عن $($ $a$ $n$ $+$ $b$ $n$ $)/$ $c$ ، أي $($ $a$ $, -$ $b$ $)$ " . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-11-2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 20-11-2016 .

روابط خارجية

"عدد ميرسين" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
الصفحة الرئيسية لبرنامج جيمبس
تقرير مراحل مشروع GIMPS – تعرض صفحة الحالة إحصائيات متنوعة حول تقدم البحث، ويتم تحديثها عادةً أسبوعيًا، بما في ذلك التقدم المحرز نحو إثبات ترتيب أكبر أعداد ميرسين الأولية المعروفة.
برنامج GIMPS، العوامل المعروفة لأعداد ميرسين
$M q = (8 x) 2 - (3 qy) 2$ خاصية أعداد ميرسين ذات الأس الأولي المركبة (PDF)
$M q = x 2 + d \cdot y 2$ أطروحة رياضية (PS)
غرايم، جيمس. "31 وأعداد ميرسين الأولية" . نمبرفايل . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 31 مايو 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أبريل 2013 .
قائمة مراجع أعداد ميرسين الأولية مع روابط تشعبية للمنشورات الأصلية
تقرير عن أعداد ميرسين الأولية - الكشف عنها بالتفصيل (باللغة الألمانية)
ويكي جيمبس
صفحة ميرسين لويل إيدجنجتون – تحتوي على عوامل أعداد ميرسين الصغيرة
العوامل المعروفة لأعداد ميرسين
الأرقام العشرية والأسماء الإنجليزية لأعداد ميرسين الأولية
التحف الرئيسية: 2305843009213693951
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt مؤرشف بتاريخ 5 نوفمبر 2014 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt مؤرشف بتاريخ 2013-05-02 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)
متتالية OEIS A250197 (الأعداد n بحيث يكون الجزء الأولي الأيسر من 2^n+1 في مصفوفة أوريفويل أوليًا) – تحليل أعداد ميرسين $M$ $n$ ( $n$ حتى 1280)
تحليل أعداد ميرسين المحللة بالكامل
مشروع كننغهام، تحليل $b n \pm 1، b = 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، 12$
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm مؤرشف بتاريخ 2016-02-02 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)

روابط MathWorld

[40] هذا الرقم هو نفسه رقم لوكاس $Un (a + b, ab)$ ، لأن $a$ و $b$ هما جذور المعادلة التربيعية $x 2 - (a + b) x + ab$ $=$ $0$ .

[41] بما أن $a⁠⁴$ $-$ $b⁴$ $/$ $a$ $-$ $b$ $⁠$ $= ($ $a$ $+$ $b$ $)($ $a²$ $+$ $b²$ $)$ $،$ فإن الزوج $($ $a$ $,$ $b$ $)$ في هذه الحالة يجب أن يكون $($ $x$ $+$ $1, -x$ $)$ $،$ $ويجب$ أن $يكون x²$ $+$ $($ $x$ $+ 1)$ $²$ $عددًا$ أوليًا. أي أن $x$ يجب أنينتمي إلى المتتالية A027861 في OEIS $.$

[42] عندما $يكون كل من a$ و $b$ قوى مثالية $من الرتبة r$ لبعض $r > 1$ أو عندما $يكون -4 ab$ قوة مثالية من الرتبة الرابعة، يمكن إثبات أن هناك قيمتين على الأكثر لـ $n$ بهذه الخاصية: في هذه الحالات، $يمكن تحليل ⁠$ $a$ $n$ $-$ $b$ $n$ $/$ $a$ $-$ $b$ $⁠$ جبريًا.

[GIMPS-2024-1] «برنامج جيمبس يكتشف أكبر عدد أولي معروف: 2^ ^136,279,841 - 1» . شركة ميرسين للأبحاث . 21 أكتوبر 2024. مؤرشف من الأصل في 4 نوفمبر 2024. تم الاطلاع عليه في 21 أكتوبر 2024 .

[GIMPS-2018-2] «مشروع GIMPS يكتشف أكبر عدد أولي معروف: 2 ^82,589,933 − 1» . شركة Mersenne Research، 21 ديسمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )

[3] "تقرير مراحل مشروع GIMPS" . Mersenne.org . شركة Mersenne Research. مؤرشف من الأصل في 3 سبتمبر 2016. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2020 .

[Wagstaff-4] كالدول، كريس. "الأساليب الاستدلالية: استنتاج حدسية واغستاف ميرسين" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2018-03-05 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2015-09-22 .

[5] كريس ك. كالدويل، أعداد ميرسين الأولية: التاريخ والنظريات والقوائم. مؤرشف بتاريخ 13 مارس 2019 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[6] الصفحات الأولية، حدسية ميرسين مؤرشفة في 2018-03-15 في آلة Wayback .

[7] هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1959). مقدمة في نظرية الأعداد ( الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة أكسفورد.

[8] كول، إف إن (1 ديسمبر 1903). "حول تحليل الأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 10 (3): 134-138 . doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01079-9 .

[9] بيل، إي تي والجمعية الرياضية الأمريكية (1951). الرياضيات، ملكة العلم وخادمته . ماكجرو هيل، نيويورك.ص 228.

[10] "h2g2: أرقام ميرسين" . بي بي سي نيوز . مؤرشف من الأصل في 5 ديسمبر 2014.

[11] هوراس س. أولر (1952). "تاريخ موجز لأبحاث أعداد ميرسين وأحدث الأعداد الأولية الهائلة" . سكريبت ماثيماتيكا . 18 : 122-131 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2016-12-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2016-04-21 .

[12] برايان نابير، قسم الرياضيات و Mark 1 مؤرشف في 2009-02-04 في Wayback Machine .

[13] ماو الثاني، توماس هـ. (27 سبتمبر 2008). "علماء رياضيات من جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس يكتشفون عددًا أوليًا مكونًا من 13 مليون رقم" . صحيفة لوس أنجلوس تايمز . تاريخ الاسترجاع: 21 مايو 2011 .

[14] تيا غوز. "اكتشاف أكبر عدد أولي" . مجلة ساينتفك أمريكان . مؤرشف من الأصل بتاريخ 6 فبراير 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 فبراير 2013 .

[GIMPS-2016-15] كوبر، كورتيس (7 يناير 2016). "اكتشاف عدد ميرسين الأولي - ^274207281 - 1 هو عدد أولي!" . شركة ميرسين للأبحاث . مؤرشف من الأصل في 7 أبريل 2019. تم الاطلاع عليه في 22 يناير 2016 .

[16] بروك، روبرت (19 يناير 2016). "العدد الأولي الذي يحتوي على 22 مليون رقم هو الأكبر على الإطلاق" . مجلة نيو ساينتست . مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2016. تم الاطلاع عليه في 19 يناير 2016 .

[NYT-20160121-17] تشانغ، كينيث (21 يناير 2016). "أكبر عدد أولي جديد = 2 أس 74 مليون ... إنه عدد كبير" . صحيفة نيويورك تايمز . مؤرشف من الأصل في 13 فبراير 2019. تم الاطلاع عليه في 22 يناير 2016 .

[18] "المعالم البارزة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2016-09-03.

[19] "اكتشاف أعداد ميرسين الأولية – ^277232917 - 1 هو عدد أولي!" . www.mersenne.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 17 أكتوبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 يناير 2018 .

[20] «تم العثور على أكبر عدد أولي معروف على جهاز كمبيوتر تابع لكنيسة» . christianchronicle.org . ١٢ يناير ٢٠١٨. مؤرشف من الأصل في ١٥ مايو ٢٠٢١. تم الاطلاع عليه في ١٥ مايو ٢٠٢١ .

[21] "تم العثور على: عدد أولي خاص وكبير بشكل مذهل" . 5 يناير 2018.

[22] "برنامج جيمبس يكتشف أكبر عدد أولي معروف: 2^ ^82,589,933 - 1" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 22 ديسمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 يناير 2019 .

[23] "GIMPS – The Math – PrimeNet" . www.mersenne.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يونيو 2021 .

[24] «اكتشاف عدد ميرسين الأولي – 2^ ^136279841 - 1 عدد أولي!» . www.mersenne.org . مؤرشف من الأصل في 4 نوفمبر 2024. تم الاطلاع عليه في 21 أكتوبر 2024 .

[25] إيدجنجتون، ويل (14 أكتوبر 2014). "صفحة ميرسين لويل إيدجنجتون" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 أكتوبر 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 أكتوبر 2014 .

[26] كالدول، كريس ك. "برهان على نتيجة أويلر ولاغرانج على قواسم ميرسين" . الصفحات الأولية .

[27] كلينجونج ، ثورستن. بوس، جوبي دبليو؛ لينسترا، آرجين ك. (2014). “مصنع ميرسين للتخصيم”. التقدم في علم التشفير – ASIACRYPT 2014 . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد. 8874. الصفحات من 358 إلى 377. دوى : 10.1007/978-3-662-45611-8_19 . رقم ISBN 978-3-662-45607-1.

[28] ليفتشيتز، هنري؛ ليفتشيتز، رينو. "أفضل تسجيلات PRP" . تم الاسترجاع في 2022-09-05 .

[29] "تفاصيل أسّ عدد ميرسين M12720787" . www.mersenne.ca . تاريخ الاطلاع: 5 سبتمبر 2022 .

[30] "حالة الأس للمعادلة M1277" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 يوليو 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يوليو 2021 .

[31] "تفاصيل أسّ عدد ميرسين M1277" . www.mersenne.ca . تاريخ الاطلاع: 24 يونيو 2022 .

[32] بيتكوفيتش، ميودراغ (2009). ألغاز شهيرة لعلماء رياضيات عظماء . مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 197. ISBN 978-0-8218-4814-2.

[33] وايسشتاين، إريك و. "مسألة القمح ورقعة الشطرنج" . ماث وورلد. وولفرام . مؤرشف من الأصل بتاريخ 29-02-2000 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-02-2023 .

[34] آلان تشامبرلين. "متصفح قاعدة بيانات الأجسام الصغيرة في مختبر الدفع النفاث" . Ssd.jpl.nasa.gov. مؤرشف من الأصل بتاريخ 10 يونيو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 مايو 2011 .

[35] "OEIS A016131" . الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة. مؤرشفة من الأصل بتاريخ 2018-09-07 . تم الاطلاع عليها بتاريخ 2018-09-07 .

[36] كوكسيتر، إتش إس إم (1999). جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة . منشورات دوفر. ص. الفصل 3: بناء ويثوف للمضلعات المنتظمة. ISBN 978-0-486-40919-1.

[37] "بحث في أعداد ميرسين وفيرما الأولية" .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )

[38] سولينس، جيروم أ. (1 يناير 2011). "عدد ميرسين الأولي المعمم". في: تيلبورغ، هينك سي أ فان؛ جاجوديا، سوشيل (محرران). موسوعة التشفير والأمن . سبرينغر الولايات المتحدة. ص 509-510 . doi : 10.1007/978-1-4419-5906-5_32 . ISBN 978-1-4419-5905-8.

[39] كريس كالدويل: معجم الأعداد الأولية: غاوسيان ميرسين، مؤرشف بتاريخ 2014-10-06 في آلة Wayback (جزء من صفحات الأعداد الأولية )

[43] $(x, 1)$ و $(x, -1)$ لـ $x$ = 2 إلى 50

[44] $(x, 1)$ لـ $x$ = 2 إلى 160

[45] $(x, -1)$ من أجل $x$ = 2 إلى 160

[46] " $($ $x$ $+ 1,$ $x$ $)$ لـ $x$ = 1 إلى 160" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 أغسطس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2015 .

[47] " $($ $x$ $+ 1, -x$ $)$ $لـ$ x $=$ 1 إلى 40" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 أغسطس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2015 .

[48] " $($ $x$ $+ 2,$ $x$ $)$ للأعداد الفردية $x$ = 1 إلى 107" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 أغسطس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2015 .

[49] $(x, -1)$ من $x$ = 2 إلى 200

[50] "سجلات PRP، ابحث عن $($ $a$ $n$ $-$ $b$ $n$ $)/$ $c$ ، أي $($ $a$ $,$ $b$ $)$ " . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-11-2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 20-11-2016 .

[51] "سجلات PRP، ابحث عن $($ $a$ $n$ $+$ $b$ $n$ $)/$ $c$ ، أي $($ $a$ $, -$ $b$ $)$ " . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-11-2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 20-11-2016 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

)

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ ١٩ ]

[ ٢٠ ]

[ ٢١ ]

[ 22 ]

[ 23 ]

عن

[

نوع

27 ] حيث

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

من

[ 32 ]

[ 34 ]

،

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ أ ]

[ ب ]

]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗