شكل هارمونيك ماس

في الرياضيات ، يُعد شكل ماس الضعيف دالة سلسة${\displaystyle f}$في النصف العلوي من المستوى ، يتحول كشكل نمطي تحت تأثير المجموعة النمطية ، وهو دالة ذاتية لمؤثر لابلاس الزائدي المقابل ، وله نمو أسي خطي على الأكثر عند نقاط التحول . إذا كانت القيمة الذاتية لـ${\displaystyle f}$إذا كان الحد السفلي لمؤثر لابلاس يساوي صفرًا، فإن${\displaystyle f}$يُطلق عليه شكل ماس الضعيف التوافقي ، أو باختصار شكل ماس التوافقي .

يُعد شكل ماس الضعيف الذي يتميز بنمو معتدل عند الرؤوس شكل موجة ماس كلاسيكي .

غالبًا ما تتضمن متسلسلات فورييه لأشكال ماس التوافقية دوال توليدية مثيرة للاهتمام في مجالات التوافقية والحسابية والهندسية. ويمكن استخدام رفع ثيتا المنتظم لأشكال ماس التوافقية لبناء دوال أراكيلوف غرين لقواسم خاصة على أصناف شيمورا المتعامدة .

دالة سلسة ذات قيم مركبة${\displaystyle f}$يُطلق على الشكل H = { z ∈ C : Im ( z ) > 0} في النصف العلوي من المستوى H اسم شكل ماس ضعيف ذو وزن صحيح k (للمجموعة SL(2, Z ) ) إذا كان يحقق الشروط الثلاثة التالية:

(1) لكل مصفوفة${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )}$الوظيفة${\displaystyle f}$يفي بقانون التحويل المعياري

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).}$

(2)${\displaystyle f}$هي دالة ذاتية لمؤثر لابلاس الزائدي ذي الوزن k

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

أين${\displaystyle z=x+iy.}$

(3)${\displaystyle f}$^يكون لها نمو أسي خطي على الأكثر عند نقطة التحول، أي أنه يوجد ثابت C > 0 بحيث يكون f ( z ) = O ( eCy ) عندما${\displaystyle y\to \infty .}$

لو${\displaystyle f}$هي صيغة ماس ضعيفة ذات قيمة ذاتية 0 تحت${\displaystyle \Delta _{k}}$أي إذا${\displaystyle \Delta _{k}f=0}$، ثم${\displaystyle f}$يُطلق عليه شكل ماس الضعيف التوافقي ، أو باختصار شكل ماس التوافقي .

كل شكل ماس توافقي${\displaystyle f}$وزن${\displaystyle k}$له تحليل فورييه على الشكل التالي

${\displaystyle f(z)=\sum \nolimits _{n\geq n^{+}}c^{+}(n)q^{n}+\sum \nolimits _{n\leq n^{-}}c^{-}(n)\Gamma (1-k,-4\pi ny)q^{n},}$

حيث q = e ^2πiz ، و${\displaystyle n^{+},n^{-}}$هي أعداد صحيحة تعتمد على${\displaystyle f.}$علاوة على ذلك،

${\displaystyle \Gamma (s,y)=\int _{y}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt}$

يرمز إلى دالة غاما غير الكاملة (والتي يجب تفسيرها بشكل مناسب عندما n = 0 ). يُسمى الحد الأول الجزء الهولومورفي ، ويُسمى الحد الثاني الجزء غير الهولومورفي من${\displaystyle f.}$

يوجد مؤثر تفاضلي معقد مضاد للخطية${\displaystyle \xi _{k}}$محدد بواسطة

${\displaystyle \xi _{k}(f)(z)=2iy^{k}{\overline {{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z)}}.}$

منذ${\displaystyle \Delta _{k}=-\xi _{2-k}\xi _{k}}$صورة شكل ماس التوافقي هي صورة هولومورفية ضعيفة. ومن ثم،${\displaystyle \xi _{k}}$يُعرّف خريطة من الفضاء المتجهي${\displaystyle H_{k}}$من أشكال الوزن التوافقية للكتلة${\displaystyle k}$إلى الفضاء${\displaystyle M_{2-k}^{!}}$من الأشكال النمطية الهولومورفية الضعيفة للوزن${\displaystyle 2-k.}$أثبت برونير وفونكه ^{[ 1 ]} (للأوزان العشوائية، وأنظمة المضاعفات، ومجموعات التطابق الفرعية) أن هذه الخريطة شاملة. وبالتالي، توجد متتالية تامة

${\displaystyle 0\to M_{k}^{!}\to H_{k}\to M_{2-k}^{!}\to 0,}$

توفير صلة بالنظرية الجبرية للأشكال النمطية. فضاء فرعي مهم من${\displaystyle H_{k}}$هل المساحة${\displaystyle H_{k}^{+}}$من تلك الأشكال التوافقية لماس التي يتم ربطها بأشكال الحدبة تحت${\displaystyle \xi _{k}}$.

إذا تم تفسير أشكال ماس التوافقية على أنها مقاطع توافقية لحزمة خطية من الأشكال النمطية للوزن${\displaystyle k}$إذا تم تزويد هذا المؤثر التفاضلي بمقياس بيترسون على المنحنى المعياري، فإنه يُمكن اعتباره تركيبًا لمؤثر هودج النجمي والتفاضل المضاد للهولومورفي. ويُعمم مفهوم أشكال ماس التوافقية بشكل طبيعي ليشمل مجموعات التطابق الفرعية العشوائية وأنظمة المضاعفات (القياسية والمتجهة).

• كل شكل نمطي ضعيف الشكل هو شكل ماس توافقي.
• سلسلة أيزنشتاين غير الهولومورفية

${\displaystyle E_{2}(z)=1-{\frac {3}{\pi y}}-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{1}(n)q^{n}}$

الوزن 2 هو شكل توافقي لماس للوزن 2.

• متسلسلة أيزنشتاين لزاغير E _3/2 ذات الوزن 3/2 ^{[ 2 ]} هي شكل ماس توافقي ذو وزن 3/2 (للمجموعة Γ ₀ (4) ). صورتها تحت${\displaystyle \xi _{3/2}}$هو مضاعف غير صفري لدالة جاكوبي ثيتا

${\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n^{2}}.}$

• إن مشتق سلسلة أيزنشتاين غير المتماسكة ذات الوزن 1 المرتبطة برتبة تربيعية تخيلية ^{[ 3 ]} هو شكل ماس توافقي ذو وزن 1.
• الشكل النمطي الزائف ^{[ 4 ]} هو الجزء الهولومورفي من شكل ماس التوافقي.
• تُعدّ متسلسلات بوانكاريه المبنية باستخدام دالة إم- ويتاكر أشكال ماس ضعيفة. ^{[ 5 ] [ 6 ]} وعندما يتم تخصيص المعامل الطيفي للنقطة التوافقية، فإنها تؤدي إلى أشكال ماس توافقية.
• يمكن استخدام تقييم دالة زيتا لـ Weierstrass ^عند تكامل Eichler للوزن 2 الشكل الجديد المقابل لمنحنى إهليلجي نسبي E لربط شكل Maass التوافقي للوزن 0 بـ E. ^{[ 7} ]
• إن سلسلة التوليد المتزامنة للقيم على قواسم هيجنر والتكاملات على طول الدورات الجيوديسية لدالة كلاين J (المُعَيَّرة بحيث يتلاشى الحد الثابت) هي شكل ماس توافقي من الوزن 1/2. ^{[ 8 ]}

قدّم برونييه وفونكه التعريف المجرد المذكور أعلاه لأشكال ماس التوافقية، بالإضافة إلى دراسة منهجية لخصائصها الأساسية. ^{[ 1 ]} مع ذلك، كانت العديد من الأمثلة، مثل متسلسلات أيزنشتاين ومتسلسلات بوانكاريه، معروفةً سابقًا. وبشكل مستقل، طوّر زويغرز نظرية الأشكال النمطية الزائفة التي ترتبط أيضًا بأشكال ماس التوافقية. ^{[ 4 ]}

قام كانديلوري بتطوير نظرية جبرية لأشكال ماس التوافقية ذات الوزن المتكامل على غرار كاتز . ^{[ 9 ]}