النصف العلوي من المستوى

في الرياضيات ، النصف العلوي من المستوى المركب ،${\displaystyle {\mathcal {H}},}$هي مجموعة النقاط${\displaystyle (x,y)}$في المستوى الديكارتي مع​${\displaystyle y>0.}$النصف السفلي من المستوى هو مجموعة النقاط${\displaystyle (x,y)}$مع​​${\displaystyle y<0}$بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على أنصاف مستويات ذات اتجاهات عشوائية عن طريق دوران مستوٍ . تُعد أنصاف المستويات مثالاً على نصف الفضاء ثنائي الأبعاد. ويمكن تقسيم نصف المستوى إلى ربعين .

تشمل التحويلات الأفينية للنصف العلوي من المستوى ما يلي:

1. نوبات العمل${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$،${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$، و
2. توسعات${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$،${\displaystyle \lambda >0.}$

الفرضية : ليكن${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$لتكن أنصاف دوائر في النصف العلوي من المستوى، مراكزها على الحدود. عندئذٍ يوجد تحويل تآلفي يأخذ ${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$.

البرهان: أولاً قم بتحريك مركز ⁠${\displaystyle A}$إلى​​${\displaystyle (0,0).}$ثم خذ${\displaystyle \lambda =({\text{قطر}}\ B)/({\text{قطر}}\ A)}$

ثم قم بتوسيعها. ثم قم بتحويلها${\displaystyle (0,0)}$إلى مركز​${\displaystyle B.}$⁠

تعريف:${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$.

⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$يمكن التعرف عليها على أنها دائرة نصف قطرها${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$متمركزة في​${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$ومثل الرسم البياني القطبي لـ ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

اقتراح :${\displaystyle (0,0),}$⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$في​​${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$و​​${\displaystyle (1,\tan \theta )}$هي نقاط تقع على خط مستقيم واحد.

في الحقيقة،${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$هو انعكاس الخط${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$في دائرة الوحدة . في الواقع، القطر من${\displaystyle (0,0)}$إلى​​${\displaystyle (1,\tan \theta )}$طوله مربع${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$، لهذا السبب${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$ هو مقلوب ذلك الطول.

المسافة بين أي نقطتين${\displaystyle p}$و​​${\displaystyle q}$يمكن تعريف ⁠ في النصف العلوي من المستوى بشكل متسق على النحو التالي: المنصف العمودي للقطعة من ⁠${\displaystyle p}$إلى​​${\displaystyle q}$إما أن يتقاطع مع الحدود أو يكون موازياً لها. في الحالة الأخيرة${\displaystyle p}$و​​${\displaystyle q}$تقع على شعاع عمودي على الحد ويمكن استخدام القياس اللوغاريتمي لتحديد مسافة ثابتة تحت التمدد. في الحالة الأولى${\displaystyle p}$و​​${\displaystyle q}$تقع النقاط على دائرة مركزها نقطة تقاطع منصفها العمودي مع حدودها. وبناءً على الافتراض أعلاه، يمكن تحريك هذه الدائرة بحركة تآلفية إلى${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$المسافات على​${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$يمكن تعريفها باستخدام التطابق مع النقاط الموجودة على${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$والقياس اللوغاريتمي على هذا الشعاع. ونتيجةً لذلك، يصبح النصف العلوي من المستوى فضاءً متريًا . ويُعرف هذا الفضاء المتري عمومًا بالمستوى الزائدي . وفي سياق نماذج الهندسة الزائدية ، يُشار إلى هذا النموذج غالبًا بنموذج بوانكاريه لنصف المستوى .

يُعرّف علماء الرياضيات أحيانًا المستوى الديكارتي بالمستوى المركب ، وعندها يتوافق النصف العلوي من المستوى مع مجموعة الأعداد المركبة ذات الجزء التخيلي الموجب :

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

ينشأ المصطلح من تصور شائع للعدد المركب${\displaystyle x+iy}$كنقطة${\displaystyle (x,y)}$في المستوى المزود بالإحداثيات الديكارتية . عندما${\displaystyle y}$إذا كان المحور موجهاً عمودياً، فإن " النصف العلوي من المستوى " يتوافق مع المنطقة الواقعة فوق${\displaystyle x}$المحور وبالتالي الأعداد المركبة التي${\displaystyle y>0}$.

يُعدّ هذا المجال موطنًا للعديد من الدوال المهمة في التحليل المركب ، وخاصة الأشكال النمطية . النصف السفلي من المستوى، المحدد بواسطة${\displaystyle y<0}$يُعدّ هذا الخيار جيدًا بنفس القدر، ولكنه أقل استخدامًا وفقًا للعرف. قرص الوحدة المفتوح${\displaystyle {\mathcal {D}}}$( مجموعة جميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة الأقل من واحد) مكافئة بواسطة تحويل متطابق إلى${\displaystyle {\mathcal {H}}}$( انظر " مقياس بوانكاريه ")، مما يعني أنه من الممكن عادةً الانتقال بين${\displaystyle {\mathcal {H}}}$و​​${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$⁠

كما أنها تلعب دورًا هامًا في الهندسة الزائدية ، حيث يوفر نموذج نصف المستوى لبوانكاريه طريقة لدراسة الحركات الزائدية . ويُقدّم مقياس بوانكاريه مقياسًا زائديًا على الفضاء.

تنص نظرية التوحيد للأسطح على أن النصف العلوي من المستوى هو فضاء التغطية الشامل للأسطح ذات الانحناء الغاوسي السالب الثابت .

النصف العلوي المغلق هو اتحاد النصف العلوي والمحور الحقيقي. وهو إغلاق النصف العلوي.

أحد التعميمات الطبيعية في الهندسة التفاضلية هو القطع الزائد${\displaystyle n}$-مسافة​${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$⁠ المتناظر إلى أقصى حد، والمتصل ببساطة ، ⁠${\displaystyle n}$مشعب ريماني ذو أبعاد n مع انحناء مقطعي ثابت${\displaystyle -1}$في هذا السياق، يُطلق على النصف العلوي من المستوى اسم ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$بما أن لها أبعادًا حقيقية${\displaystyle 2.}$⁠

في نظرية الأعداد ، تهتم نظرية الأشكال النمطية لهيلبرت بدراسة دوال معينة على الضرب المباشر .${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$من​​${\displaystyle n}$نسخ من النصف العلوي للمستوى. ومن الفضاءات الأخرى التي تثير اهتمام علماء نظرية الأعداد فضاء سيجل النصف العلوي .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$وهو مجال الأشكال النمطية لسيجل .

• حي كاسب
• المستوى العلوي المركب الممتد
• مجموعة فوكسيان
• المجال الأساسي
• نصف مساحة
• مجموعة كلاين
• مجموعة معيارية
• مجموعة من المنحنيات الإهليلجية
• سطح ريمان
• نظرية شوارتز-أهلفورس-بيك

• وايسشتاين، إريك دبليو. "النصف العلوي من المستوى" . عالم الرياضيات .