تكوين هيس

في الهندسة، يُعرف تكوين هيس بأنه تكوين يتكون من 9 نقاط و12 خطًا، حيث يمر كل خط بثلاث نقاط، ويمر أربعة خطوط بكل نقطة. ويمكن تمثيله بالصيغة (9 ₄ 12 ₃ ) أو مصفوفة التكوين.${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\\\end{smallmatrix}}\right]}$. إنه متناظر (متعدي على النقطة والخط) مع 432 شكلاً ذاتياً .

يمكن تمثيلها في المستوى الإسقاطي المركب كمجموعة نقاط انعطاف لمنحنى إهليلجي ، لكنها لا تُمثَّل في المستوى الإقليدي . وقد قدّمها كولين ماكلورين ودرسها هيسه ( 1844 ) ، ^{[ 1 ]} وتُعرف أيضًا باسم هندسة يونغ ، ^{[ 2 ]} نسبةً إلى أعمال جون ويسلي يونغ اللاحقة في الهندسة المنتهية. ^{[ 3 ] [ 4 ]} 

يتمتع تكوين هيس بنفس علاقات التلاقي التي تربط الخطوط والنقاط في المستوى الأفيني على حقل مكون من 3 عناصر . أي أن نقاط تكوين هيس يمكن تمثيلها بأزواج مرتبة من الأعداد بتردد 3، ويمكن تمثيل خطوط التكوين، بالمقابل، بثلاثيات النقاط ( س ، ص ) التي تحقق المعادلة الخطية أ س + ب ص = ج (بتردد 3) . أو بدلاً من ذلك، يمكن تمثيل نقاط التكوين بمربعات لوحة لعبة إكس-أو ، ويمكن تمثيل الخطوط بخطوط وأقطار اللوحة المتقطعة .

تنتمي كل نقطة إلى أربعة خطوط: في تفسير لعبة إكس أو لهذا التكوين، يكون أحد الخطوط أفقيًا، والآخر رأسيًا، واثنان قطريان أو قطريان متقطعان. يحتوي كل خط على ثلاث نقاط. في لغة التكوينات، يُرمز لتكوين هيس بالرمز (9 ₄ 12 ₃ )، مما يعني وجود 9 نقاط، و4 خطوط لكل نقطة، و12 خطًا، و3 نقاط لكل خط.

باستخدام نقاط مُفهرسة من 1 إلى 9 في شبكة 3x3، يمكن إنشاء جدول تكوين. الأعمدة عبارة عن خطوط، تُفهرس النقاط.

يحتوي تكوين هيس على 18 × 4! = 432 من التشاكلات الذاتية ، مما يضاعف تناظرات مجموعة هيسيان ذات الصلة .

كل زوج من النقاط متصل بخط واحد. ويتضح ذلك في مصفوفة التجاور الكاملة :

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&0&1&1&1&1&1&1\\1&1&0&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&0&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&0&1&1\\1&1&1&1&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&1&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

اتصال الهاتف

يمكن أن يكون للتكوين المزدوج (12 ₃ 9 ₄ )، حيث يتم فهرسة النقاط من 1 إلى 12، جدول تكوين:

تكوين موبيوس-كانتور

يؤدي حذف أي نقطة وخطوطها الأربعة المتصلة بها من تكوين هيس إلى تكوين ثنائي ذاتي (8 ₃ ) أو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}8&3\\3&8\\\end{smallmatrix}}\right]}$، تكوين موبيوس-كانتور . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} يحتوي على 48 شكلاً ذاتياً.

( 8 ₃ ) هو تكوين دوري، يتم تعريفه بواسطة خط مولد واحد على أنه { 0,1,3 } ₈ ، مع الخطوط التالية ذات المؤشرات المتزايدة modulo 8.

تكوين بابوس

في تكوين هيس، يمكن تجميع الخطوط الاثني عشر في أربع مجموعات ثلاثية من الخطوط المتوازية (غير المتقاطعة)، (9 ₃ 3 ₃ +3 ₃ +3 ₃ +3 ₃ ). ويُنظر إلى هذا على أنه خطوط أفقية ورأسية ومجموعتين من الخطوط القطرية.

يؤدي حذف الخطوط الثلاثة التي تنتمي إلى ثلاثية واحدة من تكوين هيس إلى تكوين ثنائي ذاتي (9 ₃ ) أو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&3\\3&9\\\end{smallmatrix}}\right]}$، تكوين بابوس . ^{[ 6 ] [ 7 ]} يحتوي تكوين بابوس على 18 × 3! = 108 من التشاكلات الذاتية.

ثنائي الرسم البياني K _3,3

إزالة نصف الثلاثيات من تكوين هيس يترك (9 ₂ 6 ₃ ) أو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&2\\3&6\\\end{smallmatrix}}\right]}$، والذي يُمثَّل في المضلع المركب المنتظم 3{4}2، ذي 9 رؤوس و6 حواف ثلاثية. وهو أيضًا التكوين الثنائي للرسم البياني الثنائي الكامل ، K _3,3 ، والذي يُسمى الرسم البياني للمنفعة (أو رسم تومسن البياني)، (6 ₃ 9 ₂ ) أو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&3\\2&9\\\end{smallmatrix}}\right]}$، مع 2×(3!) ² = 72 من التشاكلات الذاتية.

PG(2,3)

يمكن بدوره زيادة تكوين هيس بإضافة أربع نقاط، نقطة واحدة لكل ثلاثية من الخطوط غير المتقاطعة، وخط واحد يحتوي على النقاط الأربع الجديدة، لتشكيل تكوين ثنائي ذاتي (13 ₄ ) أو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}13&4\\4&13\\\end{smallmatrix}}\right]}$.

وهو متماثل مع PG(2,3)، وهي مجموعة النقاط والخطوط في المستوى الإسقاطي فوق الحقل ثلاثي العناصر. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يحتوي PG(2, k ) على ( k ³ -1)( k ³ - k )( k ³ - k ² )/( k -1) من التشاكلات الذاتية مع العدد الأولي k ، هنا (3 ³ -1)(3 ³ -3)(3 ³ -3 ² )/(2-1)=26⋅24⋅18/2 = 5616 تشاكلًا ذاتيًا، وهو أعلى بمقدار 13 مرة من تكوين هيس.

(13 ₄ ) التكوين

التشخيص-1			أفقي			التشخيص-2			رَأسِيّ			جديد
1	2	3	1	4	7	1	2	3	1	2	3	10
6	4	5	2	5	8	5	6	4	4	5	6	11
8	9	7	3	6	9	9	7	8	7	8	9	12
10	10	10	11	11	11	12	12	12	13	13	13	13

(13 ₄ ) هو أيضًا تكوين دوري، مع "خط" مولد على النحو التالي { 0,1,4,6 } ₁₃ . (تزيد الخطوط المتسلسلة مؤشرات الرؤوس بمقدار 1 modulo 13.)

(13 ₄ ) التكوين الحلقي

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	0
4	5	6	7	8	9	10	11	12	0	1	2	3
6	7	8	9	10	11	12	0	1	2	3	4	5

يمكن تمثيل تكوين هيس في المستوى الإسقاطي المركب على أنه النقاط التسع لانعطاف منحنى إهليلجي والخطوط الاثني عشر المارة بثلاثيات من نقاط الانعطاف. ^{[ 3 ]} إذا كانت مجموعة معينة من تسع نقاط في المستوى المركب هي مجموعة انعطافات منحنى إهليلجي C ، فإنها تمثل أيضًا مجموعة انعطافات كل منحنى في حزمة منحنيات مولدة بواسطة C ومنحنى هيس الخاص بـ C ، أي حزمة هيس . ^{[ 10 ]}

المجسم متعدد السطوح الهيس هو تمثيل لتكوين هيس في المستوى المركب.

تتشابه بنية هيس مع بنية موبيوس-كانتور في خاصية امتلاكها تمثيلاً معقداً، لكنها لا تُمثَّل بنقاط وخطوط مستقيمة في المستوى الإقليدي . في بنية هيس، تتصل كل نقطتين بخط من البنية (وهي الخاصية المميزة لبنية سيلفستر-غالاي )، وبالتالي فإن كل خط يمر بنقطتين منها يحتوي على نقطة ثالثة. أما في المستوى الإقليدي، فإن كل مجموعة منتهية من النقاط إما أن تكون على استقامة واحدة، أو تتضمن زوجاً من النقاط لا يحتوي خطها على أي نقاط أخرى من المجموعة؛ وهذه هي نظرية سيلفستر-غالاي . ولأن بنية هيس لا تنطبق عليها نظرية سيلفستر-غالاي، فليس لها تمثيل إقليدي. يوضح هذا المثال أيضاً أنه لا يمكن تعميم نظرية سيلفستر-غالاي على المستوى الإسقاطي المعقد. مع ذلك، في الفضاءات المعقدة، يجب أن تقع بنية هيس وجميع بنيات سيلفستر-غالاي ضمن فضاء فرعي ثنائي الأبعاد مسطح. ^{[ 11 ]}