المستوى الإسقاطي المركب

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُشار عادةً إلى المستوى الإسقاطي المركب بـ ⁠P2(ج){\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}أو​​جP2،{\displaystyle \mathbb {CP} ^{2},}هو الفضاء الإسقاطي المركب ثنائي الأبعاد. وهو فضاء متعدد الشعب مركب ذو بُعد مركب 2، موصوف بثلاثة إحداثيات مركبة.

(Z1،Z2،Z3)∈ج3،(Z1،Z2،Z3)≠(0،0،0){\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)}

أما حيث يتم تحديد الثلاثيات التي تختلف عن طريق إعادة التحجيم الكلي:

(Z1،Z2،Z3)≡(λZ1،λZ2،λZ3)؛λ∈ج،λ≠0.{\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}

أي أن هذه إحداثيات متجانسة بالمعنى التقليدي للهندسة الإسقاطية .

الطوبولوجيا

أعداد بيتي للمستوى الإسقاطي المركب هي

1، 0، 1، 0، 1، 0، 0، .....

يُفسَّر البُعد الأوسط 2 بواسطة فئة التماثل للخط الإسقاطي المركب، أو كرة ريمان ، الواقعة في المستوى. أما مجموعات التماثل غير التافهة للمستوى الإسقاطي المركب فهيπ2=π5=Z{\displaystyle \pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z} }. المجموعة الأساسية تافهة وجميع مجموعات التماثل الأعلى الأخرى هي تلك الخاصة بالكرة الخماسية، أي الالتواء.

الهندسة الجبرية

في الهندسة الثنائية النسبية ، يُعرَّف السطح النسبي المركب بأنه أي سطح جبري مكافئ ثنائيًا نسبيًا للمستوى الإسقاطي المركب. ومن المعروف أن أي تنوع نسبي غير شاذ يُستخلص من المستوى عن طريق سلسلة من تحويلات النفخ وعكسها (النفخ لأسفل) للمنحنيات، والتي يجب أن تكون من نوع خاص جدًا. وكحالة خاصة، يكون السطح التربيعي المركب غير الشاذ في ⁠P3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}يتم الحصول على ⁠ من المستوى عن طريق تحويل نقطتين إلى منحنيات، ثم تحويل الخط المار بهاتين النقطتين إلى أسفل؛ ويمكن رؤية عكس هذا التحويل عن طريق أخذ نقطة P على السطح التربيعي Q ، وتحويلها، وإسقاطها على مستوى عام في ⁠P3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}عن طريق رسم خطوط تمر عبرالنقطة P.

مجموعة التشاكلات الثنائية النسبية للمستوى الإسقاطي المركب هي مجموعة كريمونا .

الهندسة التفاضلية

باعتبارها فضاءً ريمانيًا ، فإن المستوى الإسقاطي المركب هو فضاء رباعي الأبعاد، يكون انحناؤه المقطعي منقبضًا بمقدار الربع، ولكن ليس تمامًا. أي أنه يقع ضمن كلا الحدين، وبالتالي لا يكون كرة، كما تقتضي نظرية الكرة . تتمثل الصيغتان البديلتان في انقباض الانحناء بين 1/4 و1؛ أو بين 1 و4. بالنسبة للصيغة الأولى، يكون للسطح المضمن المحدد بالخط الإسقاطي المركب انحناء غاوسي يساوي 1. أما بالنسبة للصيغة الثانية، فيكون للمستوى الإسقاطي الحقيقي المضمن انحناء غاوسي يساوي 1.

يتم تقديم عرض توضيحي صريح لموترات ريمان وريتشي في القسم الفرعي n = 2 من المقالة حول مقياس فوبيني-ستودي .

انظر أيضاً

مراجع

  • CE Springer (1964) هندسة وتحليل الفضاءات الإسقاطية ، الصفحات 140-143، WH Freeman and Company .