دالة الصورة المباشرة

في الرياضيات ، يصف مُؤثر الصورة المباشر كيفية نقل البيانات المُهيكلة المُخصصة لفضاءٍ ما بشكلٍ منهجي إلى فضاءٍ آخر باستخدام دالة متصلة بينهما. بتعبيرٍ أدق، إذا كان لدينا حزمة - وهي كائن يُشفّر بيانات مثل الدوال أو المقاطع فوق المناطق المفتوحة - مُعرّفة على فضاء X ، ودالة متصلة من X إلى فضاء آخر Y ، فإن مُؤثر الصورة المباشر يُنتج حزمة مُناظرة على Y. يُعد هذا البناء أداةً أساسية في نظرية الحزم، ويُستخدم على نطاقٍ واسع في الطوبولوجيا والهندسة الجبرية لربط البيانات المحلية عبر الفضاءات.

بصورة أدق، إذا كان لدينا حزمة F معرفة على فضاء طوبولوجي X ودالة متصلة f : X → Y ، فيمكننا تعريف حزمة جديدة f _∗ F على Y ، تُسمى حزمة الصورة المباشرة أو حزمة الدفع الأمامي لـ F على طول f ، بحيث تكون المقاطع الكلية لـ f _∗ F مُعطاة بالمقاطع الكلية لـ F. يُنتج هذا التعيين دالة f _∗ من فئة الحزم على X إلى فئة الحزم على Y ، تُعرف بدالة الصورة المباشرة. توجد تركيبات مماثلة في العديد من السياقات الجبرية والهندسية الأخرى، بما في ذلك سياق الحزم شبه المتماسكة والحزم الإيتالية على مخطط .

ليكن f : X → Y تطبيقًا متصلًا للفضاءات الطوبولوجية، وليكن Sh(–) فئة حزم الزمر الأبيلية على فضاء طوبولوجي. دالة الصورة المباشرة

${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$

يرسل حزمة F على X إلى صورتها المباشرة f _∗ F على Y ، المعرفة على المجموعات الفرعية المفتوحة U من Y بواسطة

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).}$

اتضح أن هذا عبارة عن حزمة على Y ، ويسمى حزمة الصورة المباشرة أو حزمة الدفع الأمامي لـ F على طول f .

بما أن تشاكل الحزم φ: F → G على X يؤدي إلى تشاكل الحزم f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) على Y بطريقة واضحة، فإن لدينا بالفعل أن f _∗ دالة.

• إن تشكيل فئات الحزم ووظائف الصورة المباشرة في حد ذاته يحدد وظيفة من فئة الفضاءات الطوبولوجية إلى فئة الفئات: بالنظر إلى الخرائط المستمرة f : X → Y و g : Y → Z ، لدينا ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
• الدالة المباشرة للصورة هي دالة مرافقة يمنى للدالة العكسية للصورة ، مما يعني أنه لأي دالة متصلة${\displaystyle f:X\to Y}$والحزم${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$يوجد تماثل طبيعي على X و Y على التوالي:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• إذا كانت f هي تضمين فضاء جزئي مغلق X ⊆ Y ، فإن f _* تكون تامة . في الواقع، في هذه الحالة ، f _* هي تكافؤ بين فئة الحزم على X وفئة الحزم على Y المدعومة على X. وينتج هذا من حقيقة أن ساق${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$يكون${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$لو${\displaystyle y\in X}$وصفر فيما عدا ذلك (هنا يتم استخدام انغلاق X في Y ).
• إذا كان f هو تشاكل المخططات الأفينية${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R}$يتم تحديده بواسطة تشاكل حلقي${\displaystyle \phi :R\to S}$، ثم يتم تعريف دالة الصورة المباشرة f _∗ على الحزم شبه المتماسكة مع تقييد دالة القياسات على طول φ.

دالة الصورة المباشرة دقيقة من اليسار ، ولكنها عادةً ليست دقيقة من اليمين. لذا، يمكن النظر في الدوال المشتقة من اليمين للصورة المباشرة. تُسمى هذه الدوال بالصور المباشرة العليا ويُرمز لها بـ R ^q f _∗ .

يمكن إثبات وجود تعبير مشابه لما سبق للصور المباشرة العليا: بالنسبة لحزمة F على X ، فإن الحزمة R ^q f _∗ ( F ) هي الحزمة المرتبطة بالحزمة السابقة

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$،

حيث يرمز H ^q إلى علم التماثل الحزمي .

في سياق الهندسة الجبرية والتشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$بالنسبة للمخططات شبه المدمجة وشبه المنفصلة، ​​يمتلك المرء أيضًا الدالة المشتقة اليمنى

${\displaystyle Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)}$

كدالة بين الفئات المشتقة (غير المحدودة) للحزم شبه المتماسكة. في هذه الحالة،${\displaystyle Rf_{*}}$يقبل دائماً وجود مرافق أيمن${\displaystyle f^{\times }}$[ ^{2 ]} يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا، ولكنه لا يُعادل بشكل عام، ^دالة الصورة العكسية الاستثنائية${\displaystyle f^{!}}$، إلا إذا${\displaystyle f}$وهو مناسب أيضاً .

• نظرية تغيير القاعدة الصحيحة

• إيفرسن، بيرجر (1986)، علم الحزم للحزم ، Universitext، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-16389-3، MR 0842190 وخاصة القسم الثاني.4