تكافؤ الفئات

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات المجردة ، يُعرَّف تكافؤ الفئات بأنه علاقة بين فئتين تُثبت أن هاتين الفئتين "متطابقتان جوهريًا". توجد أمثلة عديدة على تكافؤ الفئات في مختلف مجالات الرياضيات. يتطلب إثبات التكافؤ إظهار أوجه تشابه قوية بين البنى الرياضية المعنية. في بعض الحالات، قد تبدو هذه البنى غير مترابطة ظاهريًا أو بديهيًا، مما يجعل المفهوم بالغ الأهمية: فهو يُتيح إمكانية "ترجمة" النظريات بين أنواع مختلفة من البنى الرياضية، مع العلم أن المعنى الجوهري لتلك النظريات يبقى محفوظًا بعد الترجمة.

إذا كانت فئة ما تعادل عكس (أو ثنائي) فئة أخرى، فإن المرء يتحدث عن ثنائية الفئات ، ويقول إن الفئتين متكافئتان ثنائياً .

تتألف تكافؤات الفئات من دالة تربط بين الفئات المعنية، ويشترط أن يكون لهذه الدالة دالة "معكوسة". مع ذلك، وخلافًا للحالة الشائعة في التشاكلات الجبرية، فإن تركيب الدالة و"معكوسها" ليس بالضرورة دالة التطابق. يكفي أن يكون كل عنصر متماثلًا طبيعيًا مع صورته تحت هذا التركيب. بالتالي، يمكن وصف الدوال بأنها "معكوسة حتى التشاكل". يوجد بالفعل مفهوم لتشاكل الفئات يشترط وجود شكل صارم للدالة المعكوسة، لكن هذا المفهوم أقل فائدة عملية بكثير من مفهوم التكافؤ.

بصورة رسمية، إذا أُعطيت فئتان C و D ، فإن تكافؤ الفئات يتكون من دالة F  : C → D ، ودالة G  : D → C ، وتشاكلين طبيعيين ε: FG → I _D و η  : I _C → GF . هنا ، FG : D → D و GF : C → C يرمزان إلى تركيب F و G على التوالي ، و I _C : C → C و I _D : D → D يرمزان إلى دالتي التطابق على C و D ، حيث تُسند كل كائن وتشاكل إلى نفسه. إذا كانت F و G دالتي تباين، فإننا نتحدث عن ازدواجية الفئات .

غالبًا لا يتم تحديد جميع البيانات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، نقول إن الفئتين C و D متكافئتان (أو متكافئتان ثنائيًا ) إذا وُجد تكافؤ (أو ثنائية) بينهما. علاوة على ذلك، نقول إن F "هي" تكافؤ بين الفئات إذا وُجد مُؤثر عكسي G وتشاكلات طبيعية كما ذُكر أعلاه. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن معرفة F عادةً لا تكفي لإعادة بناء G والتشاكلات الطبيعية: فقد يكون هناك العديد من الخيارات (انظر المثال أدناه).

ينتج عن الدالة F  : C → D تكافؤ بين الفئات إذا وفقط إذا كانت في آن واحد:

• كامل ، أي لأي كائنين c ₁ و c ₂ من C ، فإن الخريطة Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc _{2 )} المستحثة بواسطة F شاملة ؛
• مخلص ، أي لأي عنصرين c1 _و c2 من C _{، فإن} التطبيق Hom C ₍ c1 , _c2 ) → Hom _D ( Fc1 , _{Fc2 )} المستحث بواسطة F يكون أحاديًا ؛ و
• بشكل أساسي شامل (كثيف) ، أي ^أن كل كائن d في D متماثل مع كائن من الشكل Fc ، لـ c في C. ^{[ 1} ]

يُعدّ هذا معيارًا مفيدًا وشائع الاستخدام، إذ لا يتطلب بناء معكوس G صراحةً ، ولا التشاكلات الطبيعية بين FG و GF ودوال الهوية. من جهة أخرى، ورغم أن الخصائص المذكورة تضمن وجود تكافؤ فئوي (بافتراض صيغة قوية كافية لبديهية الاختيار في نظرية المجموعات الأساسية، وباستخدام الدوال البديلة بدلًا من الدوال العادية، يمكن إثبات هذه العبارة دون استخدام بديهية الاختيار. بالنسبة للفئات غير العادية، تظل بديهية الاختيار مطلوبة للفئات الصارمة، وتفشل العبارة حتى مع افتراض بديهية الاختيار للفئات الأولية ، ولا تُشترط بديهية الاختيار لإثبات الفئات المشبعة ^{[ 2 ]} )، فإن البيانات المفقودة غير محددة بالكامل، وغالبًا ما يكون هناك العديد من الخيارات. لذا، يُستحسن تحديد الإنشاءات المفقودة صراحةً كلما أمكن. ولهذا السبب، يُطلق على الدالة التي تتمتع بهذه الخصائص أحيانًا اسم " التكافؤ الضعيف للفئات" . (مع الأسف، يتعارض هذا مع مصطلحات نظرية التماثل ).

وهناك أيضاً علاقة وثيقة بمفهوم الدوال المرافقة${\displaystyle F\dashv G}$حيث نقول ذلك${\displaystyle F:C\rightarrow D}$هو المرافق الأيسر لـ${\displaystyle G:D\rightarrow C}$أو بالمثل، G هي المرافق الأيمن لـ F. عندئذٍ يكون C و D متكافئين (كما هو مُعرَّف أعلاه، حيث توجد تماثلات طبيعية من FG إلى I _D ومن I _C إلى GF ) إذا وفقط إذا${\displaystyle F\dashv G}$وكلا من F و G ممتلئان ومخلصان.

عندما تكون الدوال المرافقة${\displaystyle F\dashv G}$إذا لم تكن كلتاهما كاملة وصادقة، فيمكننا اعتبار علاقة الترافق بينهما تعبيرًا عن "شكل أضعف من التكافؤ" بين الفئات. وبافتراض أن التحويلات الطبيعية للاقترانات مُعطاة، فإن جميع هذه الصيغ تسمح ببناء صريح للبيانات اللازمة، ولا حاجة لمبادئ الاختيار. الخاصية الأساسية التي يجب إثباتها هنا هي أن الوحدة المرافقة للاقتران تكون متماثلة إذا وفقط إذا كان المرافق الأيمن دالة كاملة وصادقة.

• ضع في اعتبارك الفئة${\displaystyle C}$وجود عنصر واحد${\displaystyle c}$وتشكل واحد${\displaystyle 1_{c}}$والفئة${\displaystyle D}$مع غرضين${\displaystyle d_{1}}$،${\displaystyle d_{2}}$وأربعة تحويلات: تحويلان متطابقان${\displaystyle 1_{d_{1}}}$،${\displaystyle 1_{d_{2}}}$وتماثلان${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$و${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$الفئات${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$متكافئتان؛ يمكننا (على سبيل المثال) أن يكون لدينا${\displaystyle F}$رسم خريطة${\displaystyle c}$ل${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle G}$قم برسم كلا الكائنين من${\displaystyle D}$ل${\displaystyle c}$وجميع التشاكلات إلى${\displaystyle 1_{c}}$.
• وعلى النقيض من ذلك، فإن الفئة${\displaystyle C}$لا يُعادل وجود كائن واحد وتشكل واحد الفئة${\displaystyle E}$مع كائنين واثنين فقط من التشكلات التطابقية. الكائنان في${\displaystyle E}$ ليست متماثلة بمعنى أنه لا توجد تماثلات بينها. وبالتالي، فإن أي دالة من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle E}$لن يكون شاملاً بالضرورة.
• لنفترض وجود فئة${\displaystyle C}$مع كائن واحد${\displaystyle c}$واثنين من التشاكلات${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$. يترك${\displaystyle 1_{c}}$ليكن التشاكل المحايد على${\displaystyle c}$وضبط${\displaystyle f\circ f=1}$. بالطبع،${\displaystyle C}$وهو مكافئ لنفسه، ويمكن إثبات ذلك بأخذ${\displaystyle 1_{c}}$بدلاً من التشاكلات الطبيعية المطلوبة بين الدالة${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ونفسها. ومع ذلك، فمن الصحيح أيضاً أن${\displaystyle f}$ينتج عنه تماثل طبيعي من${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$لذا، بالنظر إلى المعلومة التي تفيد بأن دوال الهوية تشكل تكافؤًا بين الفئات، فإنه في هذا المثال لا يزال بإمكان المرء الاختيار بين اثنين من التشاكلات الطبيعية لكل اتجاه.
• تُكافئ فئة المجموعات والدوال الجزئية فئة المجموعات ذات النقاط والخرائط الحافظة للنقاط، ولكنها ليست متماثلة معها. ^{[ 3 ]}
• ضع في اعتبارك الفئة${\displaystyle C}$من فضاءات المتجهات الحقيقية ذات الأبعاد المحدودة ، والفئة${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$من بين جميع المصفوفات الحقيقية (يتم شرح الفئة الأخيرة في المقالة المتعلقة بالفئات الجمعية ). ثم${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$متكافئان: الدالة${\displaystyle G\colon D\to C}$الذي يرسم الكائن${\displaystyle A_{n}}$ل${\displaystyle D}$إلى الفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$والمصفوفات في${\displaystyle D}$إن الخرائط الخطية المقابلة كاملة ودقيقة وشاملة بشكل أساسي.
• من المواضيع المركزية في الهندسة الجبرية ازدواجية فئة المخططات الأفينية وفئة الحلقات التبادلية .${\displaystyle G}$يُقرن لكل حلقة تبديلية طيفها ، وهو المخطط المحدد بواسطة المُثُل الأولية للحلقة. مُرافقها${\displaystyle F}$يرتبط كل مخطط أفيني بحلقة من الأقسام العالمية.
• في التحليل الوظيفي، تُعتبر فئة الجبر التبادلي C* ذي العنصر المحايد مكافئة تباينياً لفئة فضاءات هاوسدورف المدمجة . وبموجب هذه الازدواجية، فإن كل فضاء هاوسدورف مدمج${\displaystyle X}$يرتبط بجبر الدوال المركبة المتصلة على${\displaystyle X}$وكل جبر C* تبادلي مرتبط بفضاء مثالياته القصوى . هذا هو تمثيل جيلفاند .
• في نظرية الشبكات ، توجد عدة ثنائيات، تستند إلى نظريات التمثيل التي تربط فئات معينة من الشبكات بفئات من الفضاءات الطوبولوجية . ولعل أشهر هذه النظريات هي نظرية ستون للتمثيل في الجبر البولياني ، وهي حالة خاصة ضمن المخطط العام لثنائية ستون . كل جبر بولياني${\displaystyle B}$يتم تعيينها إلى بنية محددة على مجموعة المرشحات الفائقة لـ${\displaystyle B}$على النقيض من ذلك، بالنسبة لأي طوبولوجيا، تُنتج المجموعات الفرعية المغلقة والمفتوحة (أي المغلقة والمفتوحة) جبرًا بوليانيًا. ويُستنتج من ذلك ازدواجية بين فئة الجبر البولياني (مع تشاكلاته) وفضاءات ستون (مع التطبيقات المتصلة). ومن الأمثلة الأخرى على ازدواجية ستون نظرية بيركوف للتمثيل التي تنص على ازدواجية بين الترتيبات الجزئية المنتهية والشبكات التوزيعية المنتهية.
• في الطوبولوجيا عديمة الجدوى، من المعروف أن فئة المواقع المكانية تعادل ثنائية فئة الفضاءات الرصينة.
• بالنسبة لحلقتين R و S ، فإن فئة المنتج R - Mod × S - Mod تعادل ( R × S ) - Mod .
• أي فئة تعادل هيكلها الأساسي .

كقاعدة عامة، يحافظ تكافؤ الفئات على جميع المفاهيم والخصائص "الفئوية". إذا كان F  : C → D تكافؤًا، فإن العبارات التالية صحيحة جميعها:

• يكون الكائن c من المجموعة C كائنًا ابتدائيًا (أو كائنًا نهائيًا ، أو كائنًا صفريًا )، إذا وفقط إذا كان Fc كائنًا ابتدائيًا (أو كائنًا نهائيًا ، أو كائنًا صفريًا ) من المجموعة D
• يكون التشكل α في C أحادي الشكل (أو فوق الشكل ، أو تماثل الشكل )، إذا وفقط إذا كان Fα أحادي الشكل (أو فوق الشكل، أو تماثل الشكل) في D.
• للدالة H  : I → C نهاية (أو نهاية مشتركة) l إذا وفقط إذا كانت للدالة FH : I → D نهاية (أو نهاية مشتركة) Fl . يمكن تطبيق ذلك على الدوال المتساوية ، والضرب ، والضرب المشترك، وغيرها . بتطبيقه على النوى والنوى المشتركة ، نرى أن التكافؤ F دالة تامة . 
• C هي فئة مغلقة ديكارتية (أو طوبولوجيا ) إذا وفقط إذا كانت D فئة مغلقة ديكارتية (أو طوبولوجيا).

الازدواجيات "تقلب جميع المفاهيم": فهي تحول الأشياء الأولية إلى أشياء نهائية، والتشكلات الأحادية إلى تشكلات فوقية، والنوى إلى نوى مشتركة، والنهايات إلى نهايات مشتركة، وما إلى ذلك.

إذا كان F  : C → D تكافؤًا بين الفئات، وكان G ₁ و G ₂ معكوسين لـ F ، فإن G ₁ و G ₂ متماثلان بشكل طبيعي.

إذا كانت F  : C → D تكافؤًا بين فئتين، وكانت C فئة ما قبل الجمع (أو فئة جمعيّة ، أو فئة تبديلية )، فإنه يمكن تحويل D إلى فئة ما قبل الجمع (أو فئة جمعيّة، أو فئة تبديلية) بحيث تصبح F دالة جمعيّة . من جهة أخرى، أي تكافؤ بين فئات جمعيّة هو بالضرورة جمعي. (لاحظ أن العبارة الأخيرة لا تنطبق على التكافؤات بين فئات ما قبل الجمع).

التكافؤ الذاتي للفئة C هو تكافؤ F  : C → C. تشكل التكافؤات الذاتية للفئة C زمرةً تحت التركيب إذا اعتبرنا تكافؤين ذاتيين متماثلين طبيعيًا متطابقين. تُجسد هذه الزمرة "التناظرات" الأساسية للفئة C. (ملاحظة: إذا لم تكن C فئةً صغيرة، فقد تُشكل التكافؤات الذاتية للفئة C فئةً حقيقيةً بدلًا من مجموعة ).

• تعريفات مكافئة للهياكل الرياضية