الدالة المشتقة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ، يمكن اشتقاق دوال معينة للحصول على دوال أخرى وثيقة الصلة بالدوال الأصلية. هذه العملية، على الرغم من كونها مجردة إلى حد ما، توحد عدداً من البنى الرياضية.

لوحظ في سياقات مختلفة تمامًا أن المتتالية التامة القصيرة غالبًا ما تؤدي إلى "متتالية تامة طويلة". وتوضح الدوال المشتقة وتعمم العديد من هذه الملاحظات.

لنفترض أن لدينا دالة يسارية تامة متغيرة مشتركة${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$بين فئتين أبيليتيتين${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$. لو

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

هي متتالية دقيقة قصيرة في${\displaystyle \mathbf {A} }$ثم تطبيق${\displaystyle F}$ينتج عنه التسلسل الدقيق

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$،

ويمكن للمرء أن يسأل كيف يمكن مواصلة هذا التسلسل إلى اليمين لتشكيل تسلسل دقيق طويل.

بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا السؤال غير محدد جيدًا، إذ توجد دائمًا طرق عديدة ومختلفة لمواصلة تسلسل معين إلى اليمين. ومع ذلك، يتضح أنه إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا كان "جيدًا بما فيه الكفاية"، فهناك طريقة واحدة متعارف عليها للقيام بذلك، وهي مُعطاة بواسطة الدوال المشتقة اليمنى لـ${\displaystyle F}$لكل${\displaystyle i\geq 1}$، هناك دالة${\displaystyle R^{i}F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$ويستمر التسلسل المذكور أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to R^{2}F(B)\to \cdots }$

ومن هذا نرى أن${\displaystyle F}$تكون دالة تامة إذا وفقط إذا${\displaystyle R^{1}F=0}$لذا، بمعنى ما، فإن الدوال المشتقة اليمنى لـ${\displaystyle F}$قياس "المدى"${\displaystyle F}$هذا ناتج عن الدقة.

إذا كان الكائن${\displaystyle A}$إذا كانت الدالة في المتتالية التامة القصيرة المذكورة أعلاه أحادية ، فإن المتتالية تنقسم . تطبيق أي دالة جمعية على متتالية منقسمة ينتج عنه متتالية منقسمة، على وجه الخصوص${\displaystyle R^{1}F(A)=0}$الدوال المشتقة اليمنى (لـ${\displaystyle i>0}$) تكون صفرًا على الدوال المتباينة: هذا هو الدافع وراء البناء الموضح أدناه.

الافتراض الحاسم الذي نحتاج إلى وضعه بشأن فئتنا الأبيلية A هو أنها تحتوي على عدد كافٍ من العناصر الحقنية ، مما يعني أنه لكل كائن A في A يوجد شكل أحادي A → I حيث I هو كائن حقني في A.

تُعرَّف الدوال المشتقة اليمنى للدالة المتغايرة اليسرى التامة F  : A → B كما يلي. نبدأ بكائن X من A. ولأن عدد الدوال المتباينة كافٍ، يمكننا بناء متتالية تامة طويلة على الصورة التالية:

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

حيث تكون جميع العناصر I ⁱ أحادية (يُعرف هذا بالتحليل الأحادي لـ X ). بتطبيق الدالة F على هذه المتتالية، وحذف الحد الأول، نحصل على مُركب السلسلة المشتركة 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

ملاحظة: هذه ليست متتالية تامة بشكل عام. لكن يمكننا حساب تماثلها عند الموضع i (نواة التطبيق من F ( Ii ) بتردد صورة التطبيق إلى F ( Ii ))؛ ونسمي النتيجة R i F ( X ) . بالطبع، يجب التحقق من عدة أمور: النتيجة لا تعتمد على التحليل الأحادي المعطى لـ X ، وأي تشاكل X → Y ينتج عنه تشاكل R  i  F ( X ) → R  i F ( Y )، وبالتالي نحصل على دالة. لاحظ أن التمام من اليسار يعني أن 0 → F ( X ) → F ( I  0  ) → F ( I 1 ) تام، لذا R 0 F(X) = F(X ) ، وبالتالي نحصل على شيء ذي أهمية فقط عندما i > 0.

(من الناحية الفنية، لإنتاج مشتقات محددة جيدًا لـ F ، سيتعين علينا تحديد تحليل أحادي لكل عنصر من A. هذا الاختيار للتحليلات الأحادية ينتج عنه دوال R ⁱ F. الخيارات المختلفة للتحليلات تنتج دوال متماثلة بشكل طبيعي ، لذلك في النهاية لا يهم الاختيار حقًا.)

إن الخاصية المذكورة أعلاه، والمتمثلة في تحويل المتتاليات التامة القصيرة إلى متتاليات تامة طويلة، هي نتيجة لفرضية الثعبان . وهذا يدل على أن مجموعة الدوال المشتقة هي دالة دلتا .

إذا كانت X نفسها أحادية، فيمكننا اختيار التحليل الأحادي 0 → X → X → 0، ونحصل على أن R ⁱ F ( X ) = 0 لجميع i ≥ 1. عمليًا، تُستخدم هذه الحقيقة، جنبًا إلى جنب مع خاصية المتتالية التامة الطويلة، غالبًا لحساب قيم الدوال المشتقة اليمنى.

^هناك طريقة مكافئة لحساب RᵢF ( X ) وهي كالتالي: نأخذ تحليلًا أحاديًا لـ X كما ^{سبق ،} ولتكن Ki صورة التطبيق Iᵢ⁻¹ → Iᵢ ( حيث i ⁼ 0، نُعرّف ^Iᵢ⁻¹ = 0 ) ، وهي نفسها نواة ^Iᵢ → ^{Iᵢ⁺¹ .} ولتكن φᵢ _: Iᵢ⁻¹ ^→ Ki التطبيق ^الشامل المقابل. _عندئذٍ ^، تكون RᵢF ( X ) هي النواة المشتركة ^لـ F ( φᵢ ^{) .}  

إذا بدأ المرء بدالة يمينية دقيقة متغيرة${\displaystyle G}$والفئة أ تحتوي على عدد كافٍ من الإسقاطات (أي لكل كائن)${\displaystyle A}$يوجد من A تحويل فوقي${\displaystyle P\rightarrow A}$أين${\displaystyle P}$إذا كان كائنًا إسقاطيًا ، فيمكن تعريف الدوال المشتقة من اليسار بشكل مماثل.${\displaystyle L_{i}G}$بالنسبة للكائن${\displaystyle X}$بالنسبة لـ A، نقوم أولاً بإنشاء تحليل إسقاطي على الشكل التالي

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

حيث${\displaystyle P_{i}}$هي إسقاطية. نطبق${\displaystyle G}$أضف إلى هذه المتتالية الحد الأخير، واحسب التماثل للحصول على${\displaystyle L_{i}G(X)}$كما في السابق،${\displaystyle L_{0}G(X)=G(X)}$.

في هذه الحالة، سينمو التسلسل الدقيق الطويل "إلى اليسار" بدلاً من اليمين:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

يتحول إلى

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

تكون الدوال المشتقة من اليسار مساوية للصفر على جميع الكائنات الإسقاطية.

يمكن للمرء أيضًا أن يبدأ بدالة يسارية دقيقة متغايرة${\displaystyle F}$وبالتالي، فإن الدوال المشتقة من اليمين الناتجة تكون أيضًا متغايرة عكسيًا. المتتالية التامة القصيرة

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

يتم تحويلها إلى التسلسل الدقيق الطويل

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

تكون هذه الدوال المشتقة اليمنى صفراً على الإسقاطات، وبالتالي يتم حسابها عبر التحليلات الإسقاطية.

• لو${\displaystyle A}$إذا كانت فئة أبيلية، فإن فئة التشكلات الخاصة بها${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$وهو أيضاً أبيلي. الدالة${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$الدالة التي تربط كل تشاكل بنواته هي دالة تامة من اليسار. أما الدوال المشتقة من اليمين فهي

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

الدالة المزدوجة${\displaystyle \operatorname {coker} }$هي دالة دقيقة من اليمين، ودوالها المشتقة من اليسار هي

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

هذا أحد مظاهر نظرية الثعبان .

تعتبر الدوال المشتقة والمتتاليات الدقيقة الطويلة "طبيعية" من نواحٍ تقنية متعددة.

أولاً، بالنظر إلى مخطط تبادلي من الشكل

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(حيث تكون الصفوف متطابقة تمامًا)، فإن المتتاليتين الطويلتين المتطابقتين الناتجتين مرتبطتان بمربعات متبادلة:

ثانيًا، لنفترض أن η  : F → G هو تحويل طبيعي من الدالة التامة اليسرى F إلى الدالة التامة اليسرى G. عندئذٍ ، تُستحث التحويلات الطبيعية Ri ^η  : Ri ^F → Ri ^G ، وبالفعل تصبح Ri ^دالة من فئة الدوال لجميع الدوال التامة اليسرى من A إلى B إلى فئة الدوال الكاملة لجميع الدوال من A إلى B. علاوة على ذلك، تتوافق هذه الدالة مع المتتاليات التامة الطويلة بالمعنى التالي: إذا $${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$$ إذا كانت متتالية تامة قصيرة، فإن مخطط التبادل يكون

يتم تحفيزه.

تنبع هاتان الخاصيتان الطبيعيتان من طبيعية التسلسل الذي توفره نظرية الثعبان .

وعلى العكس من ذلك، فإن التوصيف التالي للدوال المشتقة صحيح: بالنظر إلى عائلة من الدوال R ⁱ : A → B ، التي تحقق ما سبق ، أي تعيين المتتاليات التامة القصيرة إلى المتتاليات التامة الطويلة ، بحيث يكون لكل كائن حقني I من A ، R ⁱ ( I )=0 لكل i موجب ، فإن هذه الدوال هي الدوال المشتقة اليمنى لـ R ⁰ .

يستخدم النهج الأكثر حداثة (والأكثر عمومية) للدوال المشتقة لغة الفئات المشتقة .

في عام ١٩٦٨، طوّر كويلين نظرية فئات النماذج ، التي تُقدّم نظامًا نظريًا مجردًا للفئات، يشمل التليفات والتليفات المشتركة والتكافؤات الضعيفة. عادةً ما يكون الاهتمام منصبًا على فئة التماثل الأساسية المُستنتجة من خلال التموضع مقابل التكافؤات الضعيفة. يُعرَّف اقتران كويلين بأنه اقتران بين فئات النماذج، ويؤدي إلى اقتران بين فئات التماثل. على سبيل المثال، تقبل كلٌّ من فئة الفضاءات الطوبولوجية وفئة المجموعات التبسيطية هياكل نموذجية لكويلين، حيث يُعطي اقتران العصب والتحقيق اقتران كويلين، وهو في الواقع تكافؤ بين فئات التماثل. تتمتع الكائنات المحددة في هيكل النموذج بـ"خصائص مميزة" (تتعلق بوجود عمليات رفع مقابل تشاكلات محددة)، وهي الكائنات "الليفية" و"المتليفة المشتركة"، وكل كائن مكافئ ضعيفًا لـ"حل" ليفي-متليف مشترك.

على الرغم من أن بنى نموذج كويلين طُوِّرت في الأصل للتعامل مع فئة الفضاءات الطوبولوجية، إلا أنها تظهر في مواضع عديدة في الرياضيات؛ ولا سيما فئة سلاسل المركبات من أي فئة أبيلية (الوحدات، وحزم الوحدات على فضاء أو مخطط طوبولوجي ، وما إلى ذلك) التي تقبل بنية نموذجية تكون فيها التكافؤات الضعيفة هي تلك التشاكلات بين سلاسل المركبات التي تحافظ على التماثل. غالبًا ما يكون لدينا دالة بين فئتين نموذجيتين من هذا القبيل (مثل دالة المقاطع العامة التي تُرسِل مُركبًا من الحزم الأبيلية إلى المُركب الواضح من الزمر الأبيلية) تحافظ على التكافؤات الضعيفة ضمن الفئة الفرعية للكائنات "الجيدة" (الليفية أو المترافقة) . من خلال أخذ تحليل ليفي أو مترافق لكائن ما أولًا، ثم تطبيق تلك الدالة، نكون قد نجحنا في توسيعها لتشمل الفئة بأكملها بطريقة تحافظ دائمًا على التكافؤات الضعيفة (وبالتالي تنحدر إلى دالة من فئة التماثل). هذه هي "الدالة المشتقة". تُعدّ "الدوال المشتقة" في علم التماثل الحزمي، على سبيل المثال، تماثلات ناتج هذه الدالة المشتقة. عند تطبيقها على حزمة من الزمر الأبيلية، التي تُفسَّر بشكلٍ بديهي على أنها مُركَّب مُركَّز في التماثل، فإنها تقيس فشل دالة المقاطع العامة في الحفاظ على التكافؤات الضعيفة لهذه الزمر، أي فشلها في "الدقة". تُظهر النظرية العامة لبنى النماذج تفرد هذا البناء (أي أنه لا يعتمد على اختيار التحليل الليفي أو التحليل المتماثل، وما إلى ذلك).