تغيير الخواتم

لنفترض أن${\displaystyle M}$هو وحدة نمطية فوق${\displaystyle S}$عندئذٍ يمكن اعتبارها وحدة نمطية فوق${\displaystyle R}$حيث فعل${\displaystyle R}$يتم تقديمها عبر

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle m\cdot f(r)}$يشير إلى الفعل المحدد بواسطة${\displaystyle S}$- بنية الوحدة النمطية${\displaystyle M}$[ ^{1 ]​}

يمكن النظر إلى تقييد الكميات العددية على أنه دالة من${\displaystyle S}$-وحدات إلى${\displaystyle R}$-وحدات.${\displaystyle S}$-التماثل${\displaystyle u:M\to N}$يصبح تلقائياً${\displaystyle R}$-التماثل بين قيود${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$في الواقع، إذا${\displaystyle m\in M}$و${\displaystyle r\in R}$، ثم

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

كدالة، فإن تقييد الكميات القياسية هو المرافق الأيمن لدالة تمديد الكميات القياسية.

لو${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة الأعداد الصحيحة، فهذا مجرد دالة نسيان من الوحدات النمطية إلى المجموعات الأبيلية.

يترك${\displaystyle f:R\to S}$ليكن تماثلاً بين حلقتين، وليكن${\displaystyle M}$كن وحدة نمطية${\displaystyle R}$لنأخذ مثالاً على الضرب الموتري${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$، أين${\displaystyle S}$يُعتبر يسارياً${\displaystyle R}$-وحدة عبر${\displaystyle f}$. منذ${\displaystyle S}$وهي أيضًا وحدة نمطية يمنى فوق نفسها، ويتبادل الإجراءان، أي${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ل${\displaystyle r\in R}$،${\displaystyle s,s'\in S}$(بلغة أكثر رسمية،${\displaystyle S}$هو${\displaystyle (R,S)}$- ثنائي الوحدات )،${\displaystyle M^{S}}$يرث حق التصرف في${\displaystyle S}$يتم تقديمه بواسطة${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ل${\displaystyle m\in M}$،${\displaystyle s,s'\in S}$يقال إن هذه الوحدة تم الحصول عليها من${\displaystyle M}$من خلال توسيع الكميات القياسية .

بصورة غير رسمية، يُعرَّف امتداد الكميات القياسية بأنه "الضرب الموتري لحلقة ووحدة نمطية"؛ وبصورة أكثر دقة، هو حالة خاصة من الضرب الموتري لوحدة نمطية ثنائية ووحدة نمطية - الضرب الموتري لوحدة نمطية R مع${\displaystyle (R,S)}$-bimodule هو وحدة S.

من أبسط الأمثلة على ذلك التعقيد ، وهو امتداد للأعداد القياسية من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد المركبة . وبشكل أعم، لأي امتداد حقل K < L، يمكن امتداد الأعداد القياسية من K إلى L. في لغة الحقول، يُطلق على الوحدة النمطية فوق حقل ما اسم فضاء متجهي ، وبالتالي فإن امتداد الأعداد القياسية يحول فضاءً متجهيًا فوق K إلى فضاء متجهي فوق L. ويمكن تطبيق ذلك أيضًا على جبر القسمة ، كما هو الحال في الرباعية (الامتداد من الأعداد الحقيقية إلى الرباعيات ).  

بشكلٍ أعم، إذا كان لدينا تشاكل من حقل أو حلقة تبديلية R إلى حلقة S، فيمكن اعتبار الحلقة S جبرًا ترابطيًا على R، وبالتالي عند توسيع القيم العددية على وحدة R ، يمكن اعتبار الوحدة الناتجة إما وحدة S ، أو وحدة R مع تمثيل جبري لـ S (كجبر R ). على سبيل المثال، يمكن تفسير نتيجة تحويل فضاء متجهي حقيقي ( R = R ، S = C ) إما كفضاء متجهي معقد (وحدة S ) أو كفضاء متجهي حقيقي ذي بنية معقدة خطية (تمثيل جبري لـ S كوحدة R ).

يُعدّ هذا التعميم مفيدًا حتى في دراسة الحقول، لا سيما أن العديد من الكائنات الجبرية المرتبطة بحقل ما ليست حقولًا بحد ذاتها، بل هي حلقات، مثل الجبر فوق حقل، كما هو الحال في نظرية التمثيل . وكما يمكن تمديد الكميات القياسية على الفضاءات المتجهة، يمكن أيضًا تمديدها على جبر الزمر ، وكذلك على الوحدات النمطية فوق جبر الزمر، أي تمثيلات الزمر . ومن المفيد بشكل خاص ربط كيفية تغير التمثيلات غير القابلة للاختزال عند تمديد الكميات القياسية؛ فعلى سبيل المثال، يُعدّ تمثيل الزمرة الدورية من الرتبة 4، المُعطى بتدوير المستوى بزاوية 90 درجة، تمثيلًا حقيقيًا ثنائي الأبعاد غير قابل للاختزال ، ولكن عند تمديد الكميات القياسية إلى الأعداد المركبة، ينقسم إلى تمثيلين مركبين أحاديي البعد. ويتوافق هذا مع حقيقة أن متعددة الحدود المميزة لهذا المؤثر،${\displaystyle x^{2}+1,}$هو غير قابل للاختزال من الدرجة 2 على الأعداد الحقيقية، ولكنه يتحلل إلى عاملين من الدرجة 1 على الأعداد المركبة - ليس له قيم ذاتية حقيقية، ولكن له قيمتان ذاتيتان مركبتان.

يمكن تفسير امتداد الكميات القياسية على أنه دالة من${\displaystyle R}$-وحدات إلى${\displaystyle S}$-وحدات. يرسل${\displaystyle M}$ل${\displaystyle M^{S}}$كما سبق، و${\displaystyle R}$-التماثل${\displaystyle u:M\to N}$إلى${\displaystyle S}$-التماثل${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$محدد بواسطة${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$.