التوزيع المتجانس

في بُعد واحد، الدالة

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{if }}x>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

قابلة للتكامل محليًا على R \ {0 }، وبالتالي تُعرّف توزيعًا. هذا التوزيع متجانس من الدرجة α . وبالمثل${\displaystyle x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }}$و${\displaystyle |x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }}$هي توزيعات متجانسة من الدرجة α .

ومع ذلك، فإن كل توزيع من هذه التوزيعات قابل للتكامل محليًا فقط على كامل R بشرط أن يكون Re( α ) > −1 . ولكن على الرغم من أن الدالة${\displaystyle x_{+}^{\alpha }}$إن التعريف البسيط للصيغة المذكورة أعلاه لا يضمن التكامل المحلي عندما يكون Re α ≤ − 1، فإن التطبيق

${\displaystyle \alpha \mapsto x_{+}^{\alpha }}$

هي دالة تحليلية من النصف الأيمن للمستوى إلى الفضاء الشعاعي الطوبولوجي للتوزيعات المعتدلة. تقبل هذه الدالة امتدادًا ميرومورفيًا فريدًا بأقطاب بسيطة عند كل عدد صحيح سالب α = −1 , −2 , ... . يكون الامتداد الناتج متجانسًا من الدرجة α ، بشرط ألا يكون α عددًا صحيحًا سالبًا، نظرًا لأن العلاقة من جهة أخرى

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]}$

يتحقق ويكون هولومورفي في α > 0. من ناحية أخرى، يمتد كلا الجانبين بشكل ميرومورفي في α ، وبالتالي يظلان متساويين في جميع أنحاء مجال التعريف.

في جميع أنحاء نطاق التعريف، يحقق x ^α ₊ أيضًا الخصائص التالية:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}}$

هناك عدة طرق متميزة لتوسيع تعريف دوال القوة لتشمل التوزيعات المتجانسة على R عند الأعداد الصحيحة السالبة.

χ ^α ₊

يمكن إزالة الأقطاب في x ^α _{+ عند الأعداد الصحيحة السالبة عن طريق إعادة التطبيع. ضع}

${\displaystyle \chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.}$

هذه دالة كاملة لـ α . عند الأعداد الصحيحة السالبة،

${\displaystyle \chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.}$

التوزيعات${\displaystyle \chi _{+}^{a}}$يمتلك الخصائص

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.}$

${\displaystyle {\underline {x}}^{k}}$

ثمة نهج ثانٍ يتمثل في تحديد التوزيع${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$، لـ k = 1، 2، ...،

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\log |x|.}$

من الواضح أن هذه الدوال تحتفظ بالخصائص الأصلية لدوال القوة:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k{\underline {x}}^{-k-1}}$
• ${\displaystyle x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1},\quad {\text{if }}k>1.}$

تتميز هذه التوزيعات أيضاً بتأثيرها على دوال الاختبار

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,}$

وبالتالي تعميم توزيع القيمة الرئيسية لكوشي لـ 1/ x الذي ينشأ في تحويل هيلبرت .

( x ± i0) ^α

يُعطى توزيع متجانس آخر بواسطة حد التوزيع

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.}$

أي العمل على وظائف الاختبار

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\,dx.}$

يُختار فرع اللوغاريتم ليكون ذا قيمة واحدة في النصف العلوي من المستوى المركب، وليتوافق مع اللوغاريتم الطبيعي على طول المحور الحقيقي الموجب. وباعتبارها نهاية للدوال الكاملة، فإن ( x + i0) ^α [ φ ] هي دالة كاملة لـ α . وبالمثل،

${\displaystyle (x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\alpha }}$

كما أنه توزيع محدد جيدًا لجميع قيم α

عندما يكون Re α > 0،

${\displaystyle (x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },}$

وهذا ينطبق بالتالي بالاستمرار التحليلي عندما لا يكون α عددًا صحيحًا سالبًا. وبفضل ثبات العلاقات الدالية،

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.}$

عند الأعداد الصحيحة السالبة، تتحقق المتطابقة (على مستوى التوزيعات على R \ {0})

${\displaystyle (x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

وتلغي النقاط الشاذة بعضها بعضًا، مما يُعطي توزيعًا مُحددًا جيدًا على R. ويتفق متوسط ​​التوزيعين مع${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$:

${\displaystyle {\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\underline {x}}^{-k}.}$

الفرق بين التوزيعين هو مضاعف لدالة دلتا:

${\displaystyle (x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

وهو ما يُعرف بعلاقة قفزة بليميلج .

تنطبق نظرية التصنيف التالية ( جيلفاند وشيلوف 1966 ، §3.11) . ليكن S توزيعًا متجانسًا من الدرجة α على R \ {0} . عندئذٍ${\displaystyle S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }}$لبعض الثوابت a و b . أي توزيع S على R متجانس من الدرجة α ≠ −1 ، −2 ، ... يكون من هذا الشكل أيضًا. ونتيجة لذلك، فإن كل توزيع متجانس من الدرجة α ≠ −1 ، −2 ، ... على R \ {0} يمتد إلى R.

وأخيرًا، فإن التوزيعات المتجانسة من الدرجة − k ، وهو عدد صحيح سالب، على R كلها على الشكل التالي:

${\displaystyle a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.}$