الهندسة الجبرية العددية

الهندسة الجبرية العددية هي فرع من فروع الرياضيات الحاسوبية ، وتحديداً الهندسة الجبرية الحاسوبية ، التي تستخدم أساليب من التحليل العددي لدراسة ومعالجة حلول أنظمة المعادلات متعددة الحدود . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تُعدّ طريقة الاستمرار التماثلي الطريقة الحسابية الأساسية المستخدمة في الهندسة الجبرية العددية، حيث يتم تكوين تماثل بين نظامين من كثيرات الحدود، وتُستكمل الحلول المعزولة (النقاط) لأحدهما إلى الآخر. وهي حالة خاصة من طريقة الاستمرار العددي الأكثر عمومية .

يترك${\displaystyle z}$تمثل هذه المتغيرات النظام. ولتبسيط الترميز، ولتسهيل نطاق الفضاءات المحيطة التي يمكن حل النظام عليها، لا نستخدم الترميز المتجهي لـ${\displaystyle z}$وبالمثل بالنسبة للأنظمة متعددة الحدود${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$.

يُطلق على نظام التشغيل اسم النظام الأساسي في التدوين المتعارف عليه حاليًا${\displaystyle g}$والنظام المستهدف، أي النظام المراد حله،${\displaystyle f}$[ ^{5 ] [ 6 ] هناك} تماثل شائع جدًا، وهو التماثل الخطي، بين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يكون $${\displaystyle H(z,t)=(1-t)f(z)+tg(z).}$$

في التماثل المذكور أعلاه، يبدأ المرء متغير المسار عند${\displaystyle t_{\text{start}}=1}$ويستمر باتجاه${\displaystyle t_{\text{end}}=0}$خيار شائع آخر هو الهروب من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle 1}$من حيث المبدأ، يكون الاختيار تعسفيًا تمامًا. أما عمليًا، فيما يتعلق بطرق نهاية اللعبة لحساب الحلول الشاذة باستخدام استمرار التماثل، فإن الوقت المستهدف هو${\displaystyle 0}$يمكن أن يسهل ذلك التحليل بشكل كبير، لذلك تم اعتماد هذا المنظور هنا. ^{[ 7 ]}

بغض النظر عن اختيار أوقات البدء والهدف، فإن${\displaystyle H}$ينبغي صياغتها بحيث${\displaystyle H(z,t_{\text{start}})=g(z)}$، و${\displaystyle H(z,t_{\text{end}})=f(z)}$.

يكون للمرء خيار في${\displaystyle g(z)}$، مشتمل

• جذور الوحدة
• الدرجة الكاملة
• متعدد السطوح
• متعدد التجانس

وبالإضافة إلى ذلك، أنظمة بدء تشغيل محددة تحاكي بشكل وثيق بنية${\displaystyle f}$قد يتم تشكيلها لأنظمة معينة. يؤثر اختيار نظام البداية على وقت الحساب اللازم للحل${\displaystyle f}$بمعنى أن الطرق التي يسهل صياغتها (مثل الدرجة الكلية) تميل إلى امتلاك عدد أكبر من المسارات التي يجب تتبعها، بينما الطرق التي تتطلب جهدًا كبيرًا (مثل طريقة متعدد السطوح) تكون أكثر دقة. ولا توجد حاليًا طريقة جيدة للتنبؤ بأي منها سيؤدي إلى أسرع وقت للحل.

تُجرى عملية الاستمرار الفعلية عادةً باستخدام أساليب التنبؤ والتصحيح ، مع إضافة ميزات إضافية حسب الحاجة. ويتم التنبؤ باستخدام طريقة تنبؤ قياسية للمعادلات التفاضلية العادية ، مثل طريقة رونج-كوتا ، بينما يُستخدم في التصحيح غالبًا تكرار نيوتن-رافسون.

لأن${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$بما أن المعادلات متعددة الحدود، فإن استمرار التماثل في هذا السياق يضمن نظريًا حساب جميع حلولها.${\displaystyle f}$استنادًا إلى نظرية بيرتيني ، لا يتحقق هذا الضمان دائمًا في الواقع العملي، نظرًا للمشاكل الناجمة عن قيود الحاسوب الحديث، وأبرزها الدقة المحدودة. أي أنه على الرغم من قوة حجة الاحتمالية-1 التي تقوم عليها هذه النظرية، فإنه بدون استخدام أساليب تتبع معتمدة مسبقًا، قد تفشل بعض المسارات في التتبع بشكل مثالي لأسباب مختلفة.

مجموعة شهود ${\displaystyle W}$هي بنية بيانات تُستخدم لوصف التنوعات الجبرية . تتكون مجموعة البيانات المرجعية لتنوع أفيني متساوي الأبعاد من ثلاث معلومات. المعلومة الأولى هي نظام من المعادلات${\displaystyle F}$تحدد هذه المعادلات التنوع الجبري${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$هذا ما يجري دراسته. المعلومة الثانية هي فضاء خطي${\displaystyle {\mathcal {L}}}$أبعاد${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هو البعد المشترك لـ${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$، واختيرت لتتقاطع${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$بشكل عرضي. المعلومة الثالثة هي قائمة النقاط في التقاطع${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap {\mathbf {V} }(F)}$يحتوي هذا التقاطع على عدد محدود من النقاط، وعدد هذه النقاط هو درجة التنوع الجبري${\displaystyle {\mathbf {V} }(F)}$وبالتالي، تُشفّر مجموعات الشهود الإجابة على السؤالين الأولين اللذين يُطرحان حول التنوع الجبري: ما هو البُعد، وما هي الدرجة؟ كما تُتيح مجموعات الشهود إجراء تحليل عددي غير قابل للاختزال، واختبارات انتماء المكونات، وأخذ عينات من المكونات. وهذا ما يجعل مجموعات الشهود وصفًا جيدًا للتنوع الجبري.

يمكن التحقق من صحة حلول أنظمة كثيرات الحدود المحسوبة باستخدام الطرق الهندسية الجبرية العددية ، أي أن الحل التقريبي "صحيح". ويمكن تحقيق ذلك بعدة طرق، إما مسبقًا باستخدام متتبع معتمد، ^{[ 8 ] [ 9 ]} أو لاحقًا بإثبات أن النقطة، على سبيل المثال، تقع ضمن نطاق تقارب طريقة نيوتن. ^{[ 10 ]}

تُطبّق العديد من حزم البرامج أجزاءً من البنية النظرية للهندسة الجبرية العددية. وتشمل هذه الحزم، مرتبةً أبجديًا:

• ألفا معتمد ^{[ 10 ]}
• بيرتيني ^{[ 6 ]}
• Hom4PS ^{[ 11 ] [ 12 ]}
• HomotopyContinuation.jl ^{[ 13 ]}
• Macaulay2 (التنفيذ الأساسي لتتبع التماثل وحزمة NumericalAlgebraicGeometry^{[ 3 ]} )
• MiNuS : إطار عمل C++ مُحسَّن لاستمرار التماثل السريع. أسرع حلّ لبعض مسائل المربعات ذات الدرجات من 100 إلى 320 درجة حتى الآن.
• PHCPack ^{[ 14 ]}

• الصفحة الرئيسية لبرتيني
• Hom4PS-3
• HomotopyContinuation.jl
• إطار عمل MiNuS السريع للغة C++