الاستمرار العددي

أحد مكونات الحل${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$النظام غير الخطي${\displaystyle F}$هي مجموعة من النقاط${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$والتي ترضي${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda )=0}$وهي مرتبطة بالحل الأولي${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$عن طريق مسار الحلول${\displaystyle (\mathbf {u} (s)،\lambda (s))}$والتي${\displaystyle (\mathbf {u} (0),\lambda (0))=(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0}),\,(\mathbf {u} (1),\lambda (1))=(\mathbf {u} ,\lambda )}$ و${\displaystyle F(\mathbf {u} (s),\lambda (s))=0}$.

الاستمرار العددي هو خوارزمية تأخذ المدخلات كنظام من المعادلات غير الخطية ذات المعاملات وحل أولي${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$،${\displaystyle F(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})=0}$، وينتج مجموعة من النقاط على مكون الحل${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$.

نقطة منتظمة من${\displaystyle F}$هذه نقطة${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$عندها يكون اليعقوبي لـ${\displaystyle F}$رتبة كاملة${\displaystyle (n)}$.

بالقرب من نقطة منتظمة، يكون مكون الحل عبارة عن منحنى معزول يمر عبر النقطة المنتظمة ( نظرية الدالة الضمنية ). في الشكل أعلاه، النقطة${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$نقطة منتظمة.

نقطة فريدة من نوعها${\displaystyle F}$هذه نقطة${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$حيث لا تكون مصفوفة جاكوبي لـ F كاملة الرتبة.

بالقرب من نقطة شاذة، قد لا يكون مكون الحل منحنىً معزولاً يمر عبر النقطة العادية. يتم تحديد البنية المحلية بواسطة المشتقات العليا لـ${\displaystyle F}$في الشكل أعلاه، النقطة التي يتقاطع عندها المنحنيان الأزرقان هي نقطة مفردة.

مكونات المحلول بشكل عام${\displaystyle \Gamma }$هي منحنيات متفرعة . نقاط التفرع هي نقاط شاذة. يُطلق على إيجاد منحنيات الحل الخارجة من نقطة شاذة اسم تبديل التفرع، ويستخدم تقنيات من نظرية التشعب ( نظرية الشذوذ ، نظرية الكوارث ).

بالنسبة للأنظمة ذات الأبعاد المحدودة (كما هو مُعرَّف أعلاه)، يُمكن استخدام تحليل ليابونوف-شميدت لإنتاج نظامين ينطبق عليهما مبرهنة الدالة الضمنية. يعتمد تحليل ليابونوف-شميدت على تقييد النظام إلى مُتمِّم الفضاء الصفري لمصفوفة جاكوبي ومدى مصفوفة جاكوبي.

إذا كانت أعمدة المصفوفة${\displaystyle \Phi }$هي أساس متعامد للفضاء الصفري لـ

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}F_{x}&F_{\lambda }\\\end{array}}\right]}$

وأعمدة المصفوفة${\displaystyle \Psi }$هي أساس متعامد للفضاء الصفري الأيسر لـ${\displaystyle J}$ثم النظام${\displaystyle F(x,\lambda )=0}$ يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle \left[{\begin{array}{l}(I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta )\\\Psi ^{T}F(x+\Phi \xi +\eta )\\\end{array}}\right]=0,}$

أين${\displaystyle \eta }$يقع في متمم الفضاء الصفري لـ${\displaystyle J}$${\displaystyle (\Phi ^{T}\,\eta =0)}$.

في المعادلة الأولى، التي يتم تحديدها بواسطة الفضاء الصفري للمصفوفة اليعقوبية (${\displaystyle \xi }$)، المصفوفة اليعقوبية بالنسبة إلى${\displaystyle \eta }$هي دالة غير منفردة. لذا تنص نظرية الدالة الضمنية على وجود تطبيق${\displaystyle \eta (\xi )}$بحيث${\displaystyle \eta (0)=0}$و${\displaystyle (I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta (\xi ))=0)}$المعادلة الثانية (مع${\displaystyle \eta (\xi )}$يُطلق على المعادلة (المستبدلة) اسم معادلة التشعب (على الرغم من أنها قد تكون نظامًا من المعادلات).

تحتوي معادلة التشعب على متسلسلة تايلور تفتقر إلى الحدين الثابت والخطي. وبإعادة قياس المعادلات والفضاء الصفري لمصفوفة جاكوبي للنظام الأصلي، يمكن إيجاد نظام ذي مصفوفة جاكوبي غير شاذة. يُطلق على الحد الثابت في متسلسلة تايلور لمعادلة التشعب المُعاد قياسها اسم معادلة التشعب الجبرية، وتنص نظرية الدالة الضمنية المطبقة على معادلات التشعب على أنه لكل حل معزول لمعادلة التشعب الجبرية، يوجد فرع من حلول المسألة الأصلية يمر عبر النقطة الشاذة.

نوع آخر من النقاط الشاذة هو تشعب نقطة الانعطاف ، أو تشعب العقدة السرجية ، حيث يكون اتجاه المعلمة${\displaystyle \lambda }$ ينعكس الاتجاه عند اتباع المنحنى. يوضح المنحنى الأحمر في الشكل أعلاه نقطة تحول.

معظم طرق حل أنظمة المعادلات غير الخطية هي طرق تكرارية . بالنسبة لقيمة معينة للمعامل${\displaystyle \lambda _{0}}$يتم تطبيق عملية الربط بشكل متكرر على التخمين الأولي${\displaystyle \mathbf {u} _{0}}$إذا تقاربت الطريقة وكانت متسقة، فإن التكرار في النهاية يقترب من حل لـ${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda _{0})=0}$.

يُعدّ استمرار المعاملات الطبيعية تعديلًا بسيطًا جدًا للخوارزمية التكرارية لحل المسائل ذات المعاملات. الحل عند قيمة واحدة لـ${\displaystyle \lambda }$تُستخدم كقيمة ابتدائية للحل عند${\displaystyle \lambda +\Delta \lambda }$. مع${\displaystyle \Delta \lambda }$إذا كانت القيمة صغيرة بما يكفي، فإن التكرار المطبق على التخمين الأولي يجب أن يتقارب.

تتمثل إحدى مزايا استمرار المعاملات الطبيعية في أنها تستخدم طريقة حل المسألة كصندوق أسود. كل ما هو مطلوب هو تحديد حل أولي (كانت بعض برامج الحل تبدأ دائمًا بتخمين أولي ثابت). وقد بُذلت جهود كبيرة في مجال استمرار المعاملات على نطاق واسع لتطبيق خوارزميات أكثر تطورًا على برامج الحل ذات الصندوق الأسود (انظر على سبيل المثال LOCA ).

مع ذلك، يفشل استمرار المعاملات الطبيعية عند نقاط التحول، حيث ينعطف فرع الحلول. لذا، بالنسبة للمسائل التي تحتوي على نقاط تحول، يجب استخدام طريقة أكثر تطوراً مثل استمرار طول القوس الزائف (انظر أدناه).

يعتمد الاستمرار البسيط، أو الاستمرار الخطي القطعي (Allgower و Georg) على ثلاث نتائج أساسية.

الأول هو

لو${\displaystyle F(x)}$خرائط${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$يوجد مُستكمِل خطي فريد على${\displaystyle (n-1)}$المجسم البسيط ذو الأبعاد n والذي يتوافق مع قيم الدالة عند رؤوس المجسم البسيط.

والنتيجة الثانية هي:

أن${\displaystyle (n-1)}$يمكن اختبار المجسم البسيط ذي الأبعاد n لتحديد ما إذا كان الاستيفاء الخطي الفريد يأخذ القيمة${\displaystyle 0}$داخل المجمع البسيط.

يرجى الاطلاع على المقال الخاص بالاستمرار الخطي القطعي لمزيد من التفاصيل.

باستخدام هاتين العمليتين، يسهل صياغة خوارزمية الاستمرار هذه (مع أن التنفيذ الفعال يتطلب بالطبع منهجًا أكثر تعقيدًا. انظر [B1]). يُفترض وجود مُبسط أولي مُعطى، من تحليل تبسيطي مرجعي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يجب أن يحتوي المُعقّد الأولي على وجه واحد على الأقل يحتوي على صفر الدالة الخطية المُستكمَلة الفريدة على ذلك الوجه. ثم تُفحص الوجوه الأخرى للمُعقّد، وعادةً ما يكون هناك وجه إضافي يحتوي على صفر داخلي. بعد ذلك، يُستبدل المُعقّد الأولي بالمُعقّد الذي يقع على أي من الوجهين اللذين يحتويان على صفر، وتُكرر العملية.

المراجع: يقدم Allgower و Georg [B1] وصفًا واضحًا وموجزًا ​​للخوارزمية.

تعتمد هذه الطريقة على ملاحظة أن التمثيل "المثالي" للمنحنى هو طول القوس. يُعد طول القوس الزائف تقريبًا لطول القوس في الفضاء المماسي للمنحنى. وتُجري طريقة الاستمرار الطبيعي المُعدلة الناتجة خطوة في طول القوس الزائف (بدلاً من${\displaystyle \lambda }$يتطلب الحل التكراري إيجاد نقطة عند طول القوس الزائف المحدد، الأمر الذي يستلزم إضافة قيد إضافي (قيد طول القوس الزائف) إلى${\displaystyle n}$بواسطة${\displaystyle n+1}$جاكوبيان. ينتج جاكوبيان مربع، وإذا كانت خطوة الحجم صغيرة بما فيه الكفاية، فإن جاكوبيان المعدل يكون كامل الرتبة.

طُوِّرت تقنية استمرار طول القوس الزائف بشكل مستقل من قِبَل إدوارد ريكس وجيرالد ويمبنر لتطبيقات العناصر المحدودة في أواخر الستينيات، ونُشِرَت في المجلات العلمية في أوائل السبعينيات من قِبَل إتش بي كيلر. ويُقدَّم شرحٌ مُفصَّلٌ لهذه التطورات المبكرة في كتاب إم إيه كريزفيلد: التحليل غير الخطي للعناصر المحدودة للمواد الصلبة والهياكل، المجلد الأول: المفاهيم الأساسية، وايلي، 1991. وكان كريزفيلد من أكثر المطورين نشاطًا لهذه الفئة من الطرق، والتي أصبحت الآن إجراءات قياسية في برامج العناصر المحدودة غير الخطية التجارية.

الخوارزمية هي طريقة تنبؤ وتصحيح. تحدد خطوة التنبؤ النقطة${\displaystyle (u,\lambda )=(u_{0},\lambda _{0})+\Delta s\cdot ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$(في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$) وهو حجم الخطوة${\displaystyle \Delta s}$على طول متجه المماس${\displaystyle ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$يتم تصحيح التنبؤ بالبحث في الاتجاه العرضي لمتجه المماس. عادةً ما تُستخدم طريقة نيوتن لحل النظام غير الخطي

${\displaystyle {\begin{array}{l}F(u,\lambda )=0\\{\dot {u}}_{0}(u-u_{0})+{\dot {\lambda }}_{0}(\lambda -\lambda _{0})=\Delta s\\\end{array}}}$

مع التخمين الأولي${\displaystyle (u,\lambda )=(u_{0},\lambda _{0})+\Delta s\cdot ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$مصفوفة جاكوبي لهذا النظام هي المصفوفة ذات الحدود

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}F_{u}&F_{\lambda }\\{\dot {u}}^{*}&{\dot {\lambda }}\\\end{array}}\right]}$

عند النقاط المنتظمة، حيث تكون رتبة مصفوفة جاكوبي الأصلية كاملة، يمتد متجه المماس على الفضاء الصفري للصف العلوي من مصفوفة جاكوبي الجديدة. ويمكن اعتبار إضافة متجه المماس كصف أخير بمثابة تحديد معامل المتجه الصفري في الحل العام لنظام نيوتن (الحل الخاص مضافًا إليه مضاعف اختياري للمتجه الصفري).

هذه الطريقة هي شكلٌ مُعدَّل من أشكال استمرار طول القوس الزائف. فبدلاً من استخدام المماس عند النقطة الابتدائية في قيد طول القوس، يُستخدم المماس عند الحل الحالي. وهذا يُكافئ استخدام المعكوس الزائف لمصفوفة جاكوبي في طريقة نيوتن، ويسمح بإجراء خطوات أطول. [B17]

[B1] " مقدمة في طرق الاستمرار العددي "، يوجين إل. ألجوور وكورت جورج، كلاسيكيات SIAM في الرياضيات التطبيقية 45. 2003.

[B2] " الأساليب العددية لتشعبات التوازنات الديناميكية "، ويلي جيه إف جوفيرتس، SIAM 2000.

[B3] " طرق ليابونوف-شميدت في التحليل غير الخطي والتطبيقات "، نيكولاي سيدوروف، بوريس لوجينوف، ألكسندر سينيتسين، وميخائيل فالالييف، كلوير أكاديميك بابليشرز، 2002.

[B4] " أساليب نظرية التشعب "، شوي-ني تشاو وجاك ك. هيل، سبرينغر-فيرلاغ 1982.

[B5] " عناصر نظرية التشعب التطبيقية "، يوري أ. كونيتسوف، سبرينغر-فيرلاغ للعلوم الرياضية التطبيقية 112، 1995.

[B6] "التذبذبات غير الخطية، والأنظمة الديناميكية، وتشعبات حقول المتجهات"، جون جوكنهايمر وفيليب هولمز ، سبرينغر-فيرلاغ للعلوم الرياضية التطبيقية 42، 1983.

[B7] " الاستقرار الأولي ونظرية التشعب "، جيرارد إيوس ودانيال د. جوزيف، سبرينغر-فيرلاغ نصوص جامعية في الرياضيات ، 1980.

[B8] " نظرية التفرد ومقدمة لنظرية الكوارث "، يونغ-تشين لو، سبرينغر-فيرلاغ، 1976.

[B9] " التشعبات العالمية والفوضى، الأساليب التحليلية "، إس. ويغينز، سبرينغر-فيرلاغ للعلوم الرياضية التطبيقية 73، 1988.

[B10] " المفردات والمجموعات في نظرية التشعب، المجلد الأول "، مارتن جولوبيتسكي وديفيد جي. شيفر، سبرينغر-فيرلاغ للعلوم الرياضية التطبيقية 51، 1985.

[B11] " المفردات والمجموعات في نظرية التشعب، المجلد الثاني "، مارتن جولوبيتسكي ، إيان ستيوارت وديفيد جي. شيفر، سبرينغر-فيرلاغ للعلوم الرياضية التطبيقية 69، 1988.

[B12] " حل أنظمة متعددة الحدود باستخدام الاستمرارية للمشاكل الهندسية والعلمية "، ألكسندر مورغان، برنتيس هول، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي 1987.

[B13] " مسارات الحلول، النقاط الثابتة والتوازنات "، سي بي غارسيا و دبليو آي زانغويل، برنتيس هول، 1981.

[B14] " نظرية الدالة الضمنية: التاريخ والنظرية والتطبيقات "، ستيفن جي. كرانز وهارولد آر. باركس ، بيركهاوزر، 2002.

[B15] " التحليل الوظيفي غير الخطي "، جي تي شوارتز، جوردون وبريتش ساينس بابليشرز، ملاحظات حول الرياضيات وتطبيقاتها، 1969.

[B16] " مواضيع في التحليل الوظيفي غير الخطي "، لويس نيرنبرغ (ملاحظات بقلم رالف أ. أرتينو)، محاضرات AMS Courant في الرياضيات 6، 1974.

[B17] " طرق نيوتن للمسائل غير الخطية - الثبات الأفيني والخوارزميات التكيفية "، بي. دويفلهارد، سلسلة الرياضيات الحسابية 35، سبرينغر، 2006.

[A1] " خوارزمية للتقريب الخطي القطعي للأسطح ثنائية الأبعاد المعرفة ضمنيًا "، يوجين إل. ألجوور وستيفان جنوتزمان، مجلة SIAM للتحليل العددي، المجلد 24، العدد 2، 452-469، 1987.

[A2] " الأساليب التبسيطية والاستمرارية للتقريبات والنقاط الثابتة وحلول أنظمة المعادلات "، إي إل ألغوير وك. جورج، مراجعة SIAM، المجلد 22، 28-85، 1980.

[A3] " خوارزمية للتقريب الخطي القطعي لمتشعب معرف ضمنيًا "، يوجين إل. ألجوور وفيليب إتش. شميدت، مجلة SIAM للتحليل العددي، المجلد 22، العدد 2، 322-346، أبريل 1985.

[A4] " تتبع المحيط بواسطة التقريبات الخطية القطعية "، ديفيد ب. دوبكين ، سيلفيو ف. ليفي، ويليام ب. ثورستون وألان ر. ويلكس، معاملات ACM في الرسومات، 9(4) 389-423، 1990.

[A5] " الحل العددي لمسائل التشعب والقيم الذاتية غير الخطية "، إتش بي كيلر، في "تطبيقات نظرية التشعب"، بي رابينوفيتز محرر، أكاديميك برس، 1977.

[A6] " عملية استمرار محلية المعلمة "، WC Rheinboldt و JV Burkardt، معاملات ACM في البرمجيات الرياضية، المجلد 9، 236-246، 1983.

[A7] " الأرقام غير الخطية " إي. دوديل، المجلة الدولية للتفرع والفوضى ، 7(9):2127-2143، 1997.

[A8] " الحوسبة غير الخطية "، ر. سيدل، المجلة الدولية للتفرع والفوضى ، 7(9):2105-2126، 1997.

[A9] " حول خوارزمية الإطار المتحرك وتثليث مشعبات التوازن "، دبليو سي راينبولدت، في تي. كوبر، آر. سيدل، وإتش. تروجر (محررون)، "ISNM79: التشعب: التحليل، الخوارزميات، التطبيقات"، الصفحات 256-267. بيركهاوزر، 1987.

[A10] " حول حساب مشعبات الحلول متعددة الأبعاد للمعادلات ذات المعلمات "، WC Rheinboldt، Numerishe Mathematik، 53، 1988، الصفحات 165-181.

[A11] " حول التقريب التبسيطي للمشعبات ثنائية الأبعاد المعرفة ضمنيًا "، ML Brodzik و WC Rheinboldt، الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات، 28(9): 9-21، 1994.

[A12] " حساب التقريبات التبسيطية للمتشعبات p المحددة ضمنيًا "، ML Brodzik، الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات، 36(6):93-113، 1998.

[A13] " خوارزمية جديدة للاستمرار العددي ثنائي الأبعاد "، ر. ميلفيل ود.س. ماكي، الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات، 30(1):31-46، 1995.

[A14] " استمرار المعلمات المتعددة: حساب مشعبات k المحددة ضمنيًا "، إم إي هندرسون، IJBC 12[3]:451-76، 2003.

[A15] " MANPACK: مجموعة من الخوارزميات للحسابات على المشعبات المعرفة ضمنيًا "، WC Rheinboldt، Comput. Math. Applic. 27 الصفحات 15-9، 1996.

[A16] " CANDYS/QA - نظام برمجي للتحليل النوعي للأنظمة الديناميكية غير الخطية "، Feudel، U. و W. Jansen، Int. J. Bifurcation and Chaos، المجلد 2 العدد 4، الصفحات  773-794، World Scientific، 1992.