نظرية بيرتيني

في الهندسة الجبرية ، تُعدّ نظرية بيرتيني نظرية وجود وتعميم للمقاطع المستوية الفائقة المتصلة الملساء للأصناف الإسقاطية الملساء فوق الحقول المغلقة جبريًا ، وقد وضعها يوجينيو بيرتيني . تُعتبر هذه النظرية أبسط وأشمل نظريات بيرتيني التي تنطبق على نظام خطي من القواسم ؛ فهي أبسطها لعدم وجود أي قيد على خاصية الحقل الأساسي، بينما تتطلب الامتدادات خاصية صفرية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ليكن X تنوعًا شبه إسقاطي أملسًا على حقل مغلق جبريًا، مضمنًا في فضاء إسقاطي${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$. يترك${\displaystyle |H|}$يرمز إلى النظام الكامل لقواسم المستوى الفائق في${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$تذكر أنها الفضاء الثنائي${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$ل${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$وهو متماثل مع${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$.

تنص نظرية بيرتيني على أن مجموعة المستويات الفائقة التي لا تحتوي على X والتي لها تقاطع أملس مع X تحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة من النظام الكلي للقواسم${\displaystyle |H|}$تكون المجموعة نفسها مفتوحة إذا كانت X إسقاطية.${\displaystyle \dim(X)\geq 2}$ثم تكون هذه التقاطعات (التي تسمى مقاطع المستوى الفائق لـ X ) متصلة، وبالتالي غير قابلة للاختزال.

وبالتالي تؤكد النظرية أن المقطع الفائق العام الذي لا يساوي X يكون أملسًا، أي أن خاصية النعومة عامة.

على أي حقل k ، توجد مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة من الفضاء الثنائي${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$تُعرّف نقاطها العقلانية مقاطع مستوية فائقة ملساء لـ X. عندما تكون k لانهائية، فإن هذه المجموعة الفرعية المفتوحة تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط العقلانية، ويوجد عدد لا نهائي من المقاطع المستوية الفائقة الملساء في X.

على حقل منتهٍ ، قد لا تحتوي المجموعة الفرعية المفتوحة المذكورة أعلاه على نقاط منطقية، وبشكل عام لا توجد مستويات فائقة ذات تقاطع سلس مع X. ومع ذلك، إذا أخذنا أسطحًا فائقة ذات درجات كبيرة بما فيه الكفاية، فإن نظرية بيرتيني تتحقق. ^{[ 3 ]}

ندرس التليف الفرعي لتنوع المنتج${\displaystyle X\times |H|}$مع الألياف أعلاه${\displaystyle x\in X}$النظام الخطي للمستويات الفائقة التي تتقاطع مع X بشكل غير عرضي عند x .

رتبة التليف في المنتج أقل بواحد من البعد المشترك لـ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{n}}$بحيث يكون للفضاء الكلي بُعد أصغر من${\displaystyle n}$وبالتالي فإن إسقاطها موجود في قاسم النظام الكامل${\displaystyle |H|}$.

على أي حقل لانهائي${\displaystyle k}$ذات خاصية 0، إذا كان X شبه إسقاطي أملس${\displaystyle k}$-التنوع، يكون العنصر العام في نظام خطي من القواسم على X أملسًا بعيدًا عن الموضع الأساسي للنظام. وللتوضيح، هذا يعني أنه بالنظر إلى نظام خطي${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}}$، الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}(H)}$يكون المستوى الفائق H أملسًا - خارج الموضع الأساسي للدالة f - لجميع المستويات الفائقة H في مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة من الفضاء الإسقاطي الثنائي${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$تنطبق هذه النظرية أيضًا في الخاصية p>0 عندما يكون النظام الخطي f غير متفرع. ^{[ 4 ]}

تم تعميم نظرية بيرتيني بطرق مختلفة. على سبيل المثال، تنص نتيجة ستيفن كلايمان على ما يلي (انظر نظرية كلايمان ): بالنسبة لمجموعة جبرية متصلة G ، وأي صنف متجانس X ^من G ، وصنفين Y و Z يُسقطان على X ، ليكن Yσ هو الصنف الناتج عن جعل σ ∈ G يؤثر على Y. عندئذٍ، يوجد مخطط فرعي مفتوح كثيف H من G بحيث يكون σ ∈ H ،${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$إما أن يكون فارغًا أو ذا بُعد (متوقع) بحت هو dim Y + dim Z − dim X. إذا كان Y و Z سلسين ، وكان حقل الأساس ذا خاصية صفرية، فيمكن اختيار H بحيث${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$سلس للجميع${\displaystyle \sigma \in H}$كذلك. تُعدّ نظرية بيرتيني المذكورة أعلاه حالة خاصة حيث${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$يُعبَّر عنه كحاصل قسمة SL _n على المجموعة الفرعية بوريل للمصفوفات المثلثية العلوية، و Z عبارة عن صنف فرعي و Y عبارة عن مستوى فائق. ^{[ 5 ]}

تم تعميم نظرية بيرتيني أيضًا على مجالات التقييم المنفصلة أو الحقول المنتهية، أو بالنسبة للأغطية الإيتالية لـ X.

تُستخدم هذه النظرية غالبًا في خطوات الاستقراء.

• نظرية غروتينديك للاتصال

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• بيرتيني ونظريتاه الأساسيتان بقلم ستيفن ل. كلايمان، حول حياة وأعمال يوجينيو بيرتيني