نظرية خلية النحل

تنص نظرية خلية النحل، التي كانت تُعرف سابقًا بفرضية خلية النحل ، على أن الشبكة السداسية المنتظمة أو خلية النحل لها أصغر محيط إجمالي من أي تقسيم للمستوى إلى مناطق متساوية المساحة. وقد أثبت هذه الفرضية عالم الرياضيات توماس سي . هيلز عام 1999. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle \Gamma }$ليكن أي نظام من المنحنيات الملساء في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، بتقسيم المستوى إلى مناطق (مكونات متصلة من مكمل${\displaystyle \Gamma }$جميعها محدودة ولها مساحة وحدة واحدة. ثم، عند حساب المتوسط ​​على أقراص كبيرة في المستوى، يكون متوسط ​​طول${\displaystyle \Gamma }$تكون قيمة الوحدة لكل وحدة مساحة على الأقل مساوية لقيمة تبليط الشكل السداسي. تنطبق النظرية حتى لو كان مكمل${\displaystyle \Gamma }$يحتوي على مكونات إضافية غير محدودة أو مساحتها ليست واحدًا؛ السماح لهذه المكونات الإضافية لا يمكن أن يقصر${\displaystyle \Gamma }$بصورة رسمية، دع${\displaystyle B(0,r)}$يرمز إلى القرص ذي نصف القطر${\displaystyle r}$مركزها نقطة الأصل، دع${\displaystyle L_{r}}$يشير إلى الطول الإجمالي لـ${\displaystyle \Gamma \cap B(0,r)}$ودع${\displaystyle A_{r}}$تشير إلى المساحة الإجمالية لـ${\displaystyle B(0,r)}$مغطاة بمكونات محدودة المساحة. (إذا كانت هذه هي المكونات الوحيدة، فـ${\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}}$ثم تنص النظرية على أن $${\displaystyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {L_{r}}{A_{r}}}\geq {\sqrt[{4}]{12}}.}$$ القيمة الموجودة على الجانب الأيمن من المتباينة هي الطول المحدد لكل وحدة مساحة من التبليط السداسي.

يعود أول ذكر لهذه الفرضية إلى عام 36  قبل الميلاد، على يد ماركوس تيرينتيوس فارو ، ولكنها تُنسب غالبًا إلى بابوس الإسكندري ( حوالي 290 - حوالي 350 ). ^{[ 2 ]} في القرن السابع عشر، استخدم يان بروزيك نظرية مشابهة لتفسير سبب بناء النحل لأقراص عسل سداسية الشكل . في عام 1943، نشر لازلو فيجيس توث برهانًا لحالة خاصة من الفرضية، حيث يُشترط أن تكون كل خلية مضلعًا محدبًا . ^{[ 3 ]} تم إثبات الفرضية كاملةً في عام 1999 على يد عالم الرياضيات توماس سي. هيلز ، الذي ذكر في بحثه أن هناك ما يدعو للاعتقاد بأن هذه الفرضية ربما كانت حاضرة في أذهان علماء الرياضيات قبل فارو. ^{[ 1 ] [ 2 ]} 

ويرتبط ذلك أيضًا بأعلى كثافة لتعبئة الدوائر في المستوى، حيث تكون كل دائرة مماسية لست دوائر أخرى، والتي تملأ ما يزيد قليلاً عن 90٪ من مساحة المستوى.

تم حل الحالة التي تقتصر فيها المشكلة على شبكة مربعة في عام 1989 بواسطة جاي يونغ تشوي الذي أثبت أن الشكل الأمثل هو شكل سداسي غير منتظم. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• بنية Weaire–Phelan ، مثال مضاد لتخمين Kelvin حول حل المشكلة المماثلة في 3D.