تبليط سداسي

في الهندسة ، التبليط السداسي هو تبليط منتظم للمستوى الإقليدي ، حيث تلتقي ثلاثة سداسيات بالضبط عند كل رأس. رمزه في شلافلي هو {6,3} أو {3,6} (كشكل تبليط مثلثي مقطوع ).

أطلق عالم الرياضيات الإنجليزي جون كونواي عليها اسم "هيكستيل" .

الزاوية الداخلية للسداسي هي ١٢٠ درجة، لذا فإن ثلاثة سداسيات متصلة بنقطة واحدة تُشكّل ٣٦٠ درجة كاملة. وهو أحد التبليطات المنتظمة الثلاثة للمستوى . أما التبليطان الآخران فهما التبليط المثلثي والتبليط المربع .

تتكون بنية التبليط السداسي من سداسي منتظم فقط كبلاطة أولية ، ويشترك في رأسين مع رؤوس متطابقة أخرى، وهو مثال على التبليط أحادي السطوح. ^{[ 1 ]} كل رأس في التبليط محاط بثلاثة سداسيات منتظمة، يُشار إليها بـ${\displaystyle 6.6.6}$^{[ 2 ]} من خلال تكوين الرؤوس . ^{[ 3 ]} إن التبليط الثنائي للتبليط السداسي هو التبليط المثلثي ، لأن مركز كل تبليط سداسي يتصل بمركز آخر من نفس النوع، مما يشكل مثلثات متساوية الأضلاع .

يمكن أن تتفاعل كل رأس وحافة وبلاطة متصلة ببعضها في تبليط سداسي بشكل متعدٍّ مع أيٍّ من هذه العناصر الثلاثة الأخرى، وذلك عن طريق تحويل الأول إلى الثاني من خلال عملية التناظر. بعبارة أخرى، هي عناصر متعدية على الرؤوس (تحويل رأس البلاطة إلى رأس بلاطة أخرى)، وعناصر متعدية على الحواف (تحويل الحافة إلى حافة أخرى)، وعناصر متعدية على الأوجه (تحويل بلاطة سداسية منتظمة إلى بلاطة سداسية منتظمة أخرى). وبناءً على ذلك، يُصنَّف التبليط السداسي ضمن ثلاثة أنواع من التبليط المنتظم ؛ أما النوعان المتبقيان فهما ثنائي التبليط والتبليط المربع . ^{[ 4 ]} زمرة التناظر للتبليط السداسي هي p6m. ^{[ 5 ]}

إذا رُسمت دائرة داخل كل سداسي، فإن الشكل الناتج هو الطريقة الأكثر كثافة لترتيب الدوائر في بعدين؛ كثافة التعبئة فيه هي${\textstyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.907}$[ ^{6 ]} تنص نظرية خلية النحل على أن التبليط السداسي هو أفضل طريقة لتقسيم سطح إلى مناطق متساوية المساحة بأقل محيط إجمالي. ^{[ 7 ]} درس اللورد كلفن البنية ثلاثية الأبعاد المثلى لصنع خلايا النحل (أو بالأحرى، فقاعات الصابون) ، وكان يعتقد أن بنية كلفن (أو الشبكة المكعبة ذات المركز الجسمي ) هي الأمثل. ومع ذلك، ^فإن بنية وير-فيلان الأقل انتظامًا أفضل قليلًا.

الجرافين

سياج من شبك الدجاج

يُعدّ التبليط السداسي شائعًا في الطبيعة، كما هو الحال في صفائح الجرافين ذات الروابط الكربونية التساهمية القوية. وقد تمّ تصنيع صفائح جرافين أنبوبية تُعرف باسم أنابيب الكربون النانوية . ^{[ 8 ]} ولها تطبيقات محتملة عديدة، نظرًا لقوة شدّها العالية وخصائصها الكهربائية. ويتشابه السيليسين في بنيته مع الجرافين.

يتكون سلك الدجاج من شبكة سداسية من الأسلاك، على الرغم من أن شكلها غير منتظم. ^{[ 9 ]}

• 
  يمكن اعتبار أنبوب الكربون النانوي بمثابة تبليط سداسي على سطح أسطواني
• 
  بلاطة فارسية سداسية الشكل ، حوالي عام 1955
• 
  رصيف تراي لينكا سداسي الشكل يتداعى في نيويورك 

يظهر التبليط السداسي في العديد من البلورات. في ثلاثة أبعاد، يُعدّ كلٌّ من التراكيب المكعبة ذات المراكز الوجهية والتعبئة السداسية المتراصة من أكثر التراكيب البلورية شيوعًا. وهما أكثر أنواع التعبئة الكروية كثافةً في ثلاثة أبعاد. من الناحية التركيبية، يتألفان من طبقات متوازية من التبليط السداسي، على غرار بنية الجرافيت. ويكمن الاختلاف بينهما في طريقة تداخل الطبقات، حيث يكون المكعب ذو المراكز الوجهية أكثر انتظامًا. ويُشكّل النحاس النقي ، من بين مواد أخرى، شبكة مكعبة ذات مراكز وجهية.

توجد ثلاثة ألوان موحدة مميزة للتبليط السداسي، جميعها ناتجة عن التناظر الانعكاسي لبنى ويثوف . يُمثل ( h , k ) التكرار الدوري لبلاطة ملونة واحدة، حيث تُحسب المسافات السداسية أولاً h ، ثم k . يُستخدم نفس الحساب في متعددات وجوه غولدبيرغ ، بالرمز { p +,3} _{h , k} ، ويمكن تطبيقه على التبليط الزائدي عندما يكون p  >  6.

k- موحد	1- موحد			2- موحد		3-موحد
التناظر	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		ص6، (632)
صورة
الألوان	1	2	3	2	4	2	7
(ح، ك)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
شلافلي	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
ويثوف	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
كوكسيتر
كونواي	ح	tΔ		cH=t6daH		wH=t6dsH

التبليط ثلاثي الألوان هو تبليط يتم إنشاؤه بواسطة المجسمات التبادلية من الرتبة 3 .

بلاط سداسي مشطوف الحواف

تستبدل البلاطة السداسية المشطوفة الحواف بسداسيات جديدة ، فتتحول إلى بلاطة سداسية أخرى. وفي النهاية، تختفي الأوجه الأصلية، وتتحول السداسيات الجديدة إلى معينات، فتصبح بلاطة معينية .

الأشكال السداسية (H)	سداسيات مشطوفة (cH)			المعين (daH)

يمكن تقسيم الأشكال السداسية إلى مجموعات من 6 مثلثات. تؤدي هذه العملية إلى تبليطين منتظمين ثنائيين ، والتبليط المثلثي :

التبليط المنتظم	تشريح	2-بلاطات موحدة		التبليط المنتظم	أقحم	بلاط مزدوج
إبداعي		تم تشريح ثلثها	تم تشريح ثلثي العينة	تشريح كامل		من E إلى IH إلى FH إلى H

يمكن اعتبار التبليط السداسي تبليطًا معينيًا ممتدًا ، حيث يمتد كل رأس من رؤوس التبليط المعيني إلى حافة جديدة. وهذا مشابه للعلاقة بين تبليط المعين ذي الاثني عشر وجهًا وتبليط المعين السداسي ذي الاثني عشر وجهًا في ثلاثة أبعاد.

تبليط معيني الشكل

تبليط سداسي

تعتمد رياضة المبارزة على هذه العلاقة

من الممكن أيضاً تقسيم البلاطات الأولية لبعض التبليطات السداسية إلى اثنين أو ثلاثة أو أربعة أو تسعة خماسيات متساوية:

التبليط الخماسي من النوع 1 مع طبقات من الأشكال السداسية المنتظمة (يتكون كل منها من شكلين خماسيين).

التبليط الخماسي من النوع 3 مع طبقات من السداسيات المنتظمة (يتكون كل منها من 3 خماسيات).

نوع التبليط الخماسي 4 مع طبقات من الأشكال السداسية شبه المنتظمة (يتكون كل منها من 4 أشكال خماسية).

نوع التبليط الخماسي 3 مع طبقات من حجمين من الأشكال السداسية المنتظمة (تتكون من 3 و 9 أشكال خماسية على التوالي).

طفرات التناظر

يرتبط هذا التبليط طوبولوجيًا كجزء من سلسلة من التبليطات المنتظمة ذات الوجوه السداسية ، بدءًا من التبليط السداسي، مع رمز شلافلي {6، ن}، ومخطط كوكسيتر ، وصولًا إلى ما لا نهاية.

* طفرة التناظر n 62 للتبليطات المنتظمة: {6، n } v ت هـ
كروي	إقليدي	التبليط الزائدي
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

يرتبط هذا التبليط طوبولوجيًا بالمجسمات المنتظمة ذات الشكل الرأسي n ³ ، كجزء من سلسلة تستمر في المستوى الزائدي .

* طفرة التناظر n 32 للتبليطات المنتظمة: { n ,3} v ت هـ
كروي				إقليدي	مُختصرة زائدة.		باراكو.	القطع الزائد غير المضغوط
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

وهي ترتبط بشكل مماثل بالمجسمات متعددة السطوح المقطوعة المنتظمة ذات الشكل الرأسي n .6.6.

* طفرة التناظر n 32 للتبليطات المبتورة: n .6.6 v ت هـ
Sym. * n 42 [n,3]	كروي				إقليدس.	صغير الحجم		باراك.	القطع الزائد غير المضغوط
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	* ∞ 32 [ ∞ ,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
أرقام مختصرة
التكوين	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞ .6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
شخصيات فرقة إن-كيس
التكوين	الإصدار 2.6.6	الإصدار 3.6.6	الإصدار 4.6.6	الإصدار 5.6.6	الإصدار 6.6.6	الإصدار 7.6.6	الإصدار 8.6.6	V ∞ .6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

يُعدّ هذا التبليط جزءًا من سلسلة من المجسمات المعينية المقطوعة والتبليطات ذات تناظر مجموعة كوكسيتر [n,3] . يمكن اعتبار المكعب سداسي الأوجه معينيًا، حيث تكون المعينات مربعة. تحتوي الأشكال المقطوعة على مضلعات منتظمة ذات n ضلعًا عند رؤوسها المقطوعة، ووجوه سداسية غير منتظمة.

تحولات التناظر للتبليطات شبه المنتظمة المزدوجة: V(3.n) 2
*n32	كروي			إقليدي	القطع الزائد
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	* ∞ 32
تبليط
مؤتمر	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3. ∞ ) 2

توجد ثلاثة أنواع من التبليطات السداسية المحدبة أحادية السطوح. ^{[ 10 ]} جميعها متساوية السطوح . لكل منها اختلافات بارامترية ضمن تناظر ثابت. يحتوي النوع الثاني على انعكاسات انزلاقية ، وهو متساوي السطوح من الدرجة الثانية، مما يحافظ على الأزواج الكيرالية متميزة.

ثلاثة أنواع من التبليطات السداسية المحدبة أحادية السطوح

1	2		3
ص2، 2222	pgg، 22×	ص2، 2222	ص3، 333
ب = هـ ب + ج + د = 360°	ب = هـ، د = و ب + ج + هـ = 360°		أ = و، ب = ج، د = هـ ب = د = و = 120°
شبكة من بلاطتين	شبكة من 4 بلاطات		شبكة من 3 بلاطات

يوجد أيضًا 15 شكلًا من أشكال التبليط الخماسي المحدب أحادي السطوح ، بالإضافة إلى جميع الأشكال الرباعية والمثلثات.

يمكن إنشاء تبليطات سداسية بنفس بنية {6,3} المستخدمة في التبليط المنتظم (3 سداسيات حول كل رأس). مع الأوجه متساوية السطوح، يوجد 13 اختلافًا. يفترض التناظر المذكور أن جميع الأوجه لها نفس اللون. تمثل الألوان هنا مواقع الشبكة. ^{[ 11 ]} الشبكات أحادية اللون (بلاطة واحدة) هي سداسيات متوازية الأضلاع.

13 شكلًا سداسيًا متماثلًا

صفحة (××)		ص2 (2222)	ص3 (333)	pmg (22*)
pgg (22×)			ص31م (3*3)	ص2 (2222)	سم (2*22)	p6m (*632)

تُعتبر التبليطات السداسية الطوبولوجية الأخرى ذات التبليط متساوي الأوجه بمثابة أشكال رباعية وخماسية ليست متصلة من حافة إلى حافة، ولكن يتم تفسيرها على أنها حواف متجاورة على خط مستقيم:

الأشكال الرباعية المبلطة بشكل متساوي الأوجه

pmg (22*)		pgg (22×)			سم (2*22)	ص2 (2222)
متوازي الأضلاع	شبه منحرف	متوازي الأضلاع	المستطيل	متوازي الأضلاع	المستطيل	المستطيل

الخماسيات المبلطة بشكل متساوي الأوجه

ص2 (2222)	pgg (22×)	ص3 (333)

تتمتع التبليطات المنتظمة الثنائية والثلاثية بدرجة حرية دورانية تشوه ثلثي الأشكال السداسية، بما في ذلك حالة خطية يمكن اعتبارها أيضًا تبليطًا غير متجاور للأشكال السداسية والمثلثات الأكبر حجمًا. ^{[ 12 ]}

يمكن أيضًا تشويهها إلى نمط منسوج ثلاثي الاتجاهات رباعي الألوان حلزوني ، مما يؤدي إلى تحويل بعض الأشكال السداسية إلى متوازيات أضلاع . يتميز النمط المنسوج ذو الوجهين الملونين بتناظر دوراني 632 (p6) . أما نمط الشيفرون فيتميز بتناظر pmg (22*)، والذي ينخفض ​​إلى p1 (°) مع 3 أو 4 بلاطات ملونة.

عادي	دوار	عادي	منسوج	شيفرون
p6m, (*632)	ص6، (632)	p6m (*632)	ص6 (632)	p1 (°)
p3m1, (*333)	ص3، (333)	p6m (*632)	ص2 (2222)	p1 (°)

يمكن استخدام التبليط السداسي كنمط تعبئة دائرية ، بوضع دوائر متساوية القطر في مركز كل نقطة. تتلامس كل دائرة مع ثلاث دوائر أخرى في التعبئة ( عدد التلامس ). ^{[ 13 ]} تسمح الفجوة داخل كل سداسي بوضع دائرة واحدة، مما يُنشئ أعلى كثافة تعبئة مقارنةً بالتبليط المثلثي ، حيث تتلامس كل دائرة مع ست دوائر كحد أقصى.

يوجد شكلان منتظمان معقدان غير متماثلين ، يشتركان في رؤوس التبليط السداسي. تحتوي الأشكال المنتظمة المعقدة غير المتماثلة على رؤوس وحواف، حيث يمكن أن تحتوي الحواف على رأسين أو أكثر. تخضع الأشكال المنتظمة غير المتماثلة p { q } r للقيد التالي: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. تحتوي الحواف على p رأسًا، وتكون أشكال الرؤوس r- مضلعة. ^{[ 14 ]}

يتكون الشكل الأول من ضلعين، ثلاثة حول كل رأس، أما الثاني فيتكون من ثلاثة أضلاع سداسية حول كل رأس. وهناك شكل ثالث معقد ذو أضلاع غير منتظمة، يشترك في نفس الرؤوس، وهو شبه منتظم، ويتناوب فيه الضلعان والضلعان السداسيان.

2{12}3 أو	6{4}3 أو

• شبكة سداسية
• قرص العسل المنشوري السداسي
• تبليط المضلعات المنتظمة
• قائمة التبليطات الموحدة
• قائمة متعددات الوجوه المنتظمة
• بلاط سداسي على شكل قرص العسل
• تصميم لعبة لوحية على خريطة سداسية

• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8صفحة  296، الجدول الثاني: خلايا النحل العادية
• غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جي سي (1987). التبليط والأنماط . نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 0-7167-1193-1.(الفصل 2.1: التبليط المنتظم والموحد ، الصفحات  58-65)
• ويليامز، روبرت ( 1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر، ص 35. ISBN  0-486-23729-X.

• جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الشبكة السداسية" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة المنتظمة" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة المنتظمة" . عالم الرياضيات .
• كليتزينغ، ريتشارد. "تبليطات إقليدية ثنائية الأبعاد o3o6x – سداسي – O3" .

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$/${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	تبليط موحد	0 [3]	δ 3	h δ 3	q δ 3	سداسي
E 3	قرص العسل المحدب المنتظم	0 [4]	δ 4	h δ 4	q δ 4
E 4	قرص عسل رباعي منتظم	0 [5]	δ 5	h δ 5	q δ 5	قرص العسل ذو 24 خلية
E 5	قرص عسل موحد من 5	0 [6]	δ 6	h δ 6	q δ 6
E 6	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 [7]	δ 7	h δ 7	q δ 7	2 22
E 7	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 [8]	δ 8	h δ 8	q δ 8	1 33 • 3 31
E 8	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 [9]	δ 9	h δ 9	q δ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	قرص عسل موحد مكون من 9 خلايا	0 [10]	δ 10	h δ 10	q δ 10
E 10	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 [11]	δ 11	h δ 11	q δ 11
E n −1	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 [ ن ]	δ n	h δ n	q δ n	1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21