تعبئة دائرية

في الهندسة ، يُعرف ترتيب الدوائر بدراسة كيفية توزيع الدوائر (المتساوية أو المختلفة الأحجام) على سطح معين بحيث لا يحدث تداخل بينها، ولا يمكن تكبير أي دائرة دون حدوث تداخل. وتُعرف كثافة الترتيب ، η ، بأنها نسبة مساحة السطح التي تغطيها الدوائر. ويمكن تعميم هذه النظرية لتشمل أبعادًا أعلى ، ويُطلق على هذه الحالة اسم ترتيب الكرات ، والذي عادةً ما يقتصر على الكرات المتطابقة.

يهتم فرع الرياضيات المعروف عمومًا باسم "تعبئة الدوائر" بهندسة وتوافقيات تعبئة الدوائر ذات الأحجام التعسفية: وتؤدي هذه إلى نظائر منفصلة للتحويل المطابق ، وأسطح ريمان وما شابه ذلك.

في المستوى الإقليدي ثنائي الأبعاد ، أثبت جوزيف لويس لاغرانج عام 1773 أن أعلى كثافة لتعبئة الدوائر في الشبكة هي التعبئة السداسية ، ^{[ 1 ]} حيث تُرتّب مراكز الدوائر في شبكة سداسية (صفوف متداخلة، مثل خلية النحل )، وتُحاط كل دائرة بست دوائر أخرى. بالنسبة للدوائر ذات القطر D والسداسيات ذات طول الضلع D ، تكون مساحة السداسي ومساحة الدائرة، على التوالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}}$

المساحة التي تغطيها الدوائر داخل كل شكل سداسي هي:

${\displaystyle A_{\mathrm {HC} }=3A_{\mathrm {C} }={\frac {3\pi }{4}}D^{2}}$

وأخيرًا، كثافة التعبئة هي:

$\begin{aligned}\eta = \frac{A_{\mathrm{HC}}{A_{\mathrm{H}}}& = \frac{\frac{3\pi}{4}}D^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}D^2}\\[4pt]& = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}} \approx 0.9069 \end{aligned}}}$

في عام 1890، نشر أكسل ثو برهانًا على أن هذه الكثافة نفسها هي الأمثل بين جميع أنواع التعبئة، وليس فقط التعبئة الشبكية، إلا أن برهانه اعتُبر غير مكتمل من قِبل البعض. يُنسب أول برهان دقيق إلى لازلو فيجيس توث في عام 1942. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

على الرغم من أن الدائرة تتمتع بكثافة تعبئة قصوى منخفضة نسبيًا، إلا أنها لا تمتلك أدنى كثافة تعبئة ممكنة، حتى بين الأشكال المحدبة المتناظرة مركزيًا : فالمثمن المصقول يتمتع بكثافة تعبئة تبلغ حوالي 0.902414، وهي أصغر كثافة تعبئة معروفة للأشكال المحدبة المتناظرة مركزيًا، ويُعتقد أنها الأصغر على الإطلاق. ^{[ 3 ]} ( قد تكون كثافة تعبئة الأشكال المقعرة، مثل المضلعات النجمية ، صغيرة جدًا). ^{​​[ 4 ]}

وعلى النقيض من ذلك، أثبت بوروتسكي وجود ترتيبات ذات كثافة منخفضة بشكل تعسفي للدوائر المعبأة بإحكام. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

توجد إحدى عشرة طريقة لتعبئة الدوائر، مبنية على إحدى عشرة عملية تبليط منتظمة للمستوى. ^{[ 7 ]} في هذه الطرق، يمكن ربط كل دائرة بأي دائرة أخرى عن طريق الانعكاسات والدوران. يمكن ملء الفراغات السداسية بدائرة واحدة، والفراغات الاثني عشرية بسبع دوائر، مما يُنشئ تعبئة ثلاثية منتظمة. يمكن ملء التبليط الثلاثي السداسي المبتور، الذي يحتوي على كلا النوعين من الفراغات، بتعبئة رباعية منتظمة. للتبليط السداسي المقطوع شكلان متطابقان معكوسان.

تتمثل إحدى المشكلات ذات الصلة في تحديد ترتيب النقاط المتفاعلة بشكل متطابق، والتي تقع ضمن سطح معين، بحيث يكون ترتيبها ذا أدنى طاقة. تتناول مسألة طومسون توزيع الشحنات الكهربائية المتطابقة على سطح كرة، وهو توزيع ذو أدنى طاقة. أما مسألة تامس فهي تعميم لهذه المسألة، إذ تتناول تعظيم أقصر مسافة بين الدوائر على سطح الكرة. وهذا يُشابه توزيع الشحنات غير النقطية على سطح الكرة.

يُعدّ رصّ الدوائر في أشكال بسيطة محدودة نوعًا شائعًا من المسائل في الرياضيات الترفيهية . ويُعدّ تأثير جدران الحاوية مهمًا، وعادةً ما لا يكون الرصّ السداسي مثاليًا للأعداد الصغيرة من الدوائر. ومن المسائل المحددة من هذا النوع التي دُرست:

• تعبئة دائرية في دائرة
• تعبئة الدوائر في مربع
• تعبئة الدوائر في مستطيل
• تعبئة الدوائر في مثلث متساوي الأضلاع
• تعبئة الدوائر في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين

راجع المقالات المرفقة للاطلاع على التفاصيل.

توجد أيضًا مجموعة من المسائل التي تسمح بأن تكون أحجام الدوائر غير منتظمة. أحد هذه المسائل هو إيجاد أقصى كثافة ممكنة لنظام يتكون من دائرتين بحجمين محددين ( نظام ثنائي ). تسع نسب أنصاف أقطار محددة فقط تسمح بالتعبئة المتراصة ، وهي الحالة التي يكون فيها كل زوج من الدوائر المتلامسة على اتصال مباشر مع دائرتين أخريين (عند رسم قطع مستقيمة من مركز دائرة متلامسة إلى مركز دائرة أخرى، فإنها تُشكل مثلثًا على السطح). ^{[ 8 ]} لكل نسب أنصاف الأقطار هذه، توجد تعبئة متراصة معروفة تحقق أقصى نسبة تعبئة ممكنة (أعلى من نسبة الأقراص ذات الحجم المنتظم) لمخاليط الأقراص التي لها نسبة نصف القطر تلك. ^{[ 10 ]} جميع النسب التسع لها تعبئات خاصة بها أكثر كثافة من التعبئة السداسية المنتظمة، وكذلك بعض نسب أنصاف الأقطار التي لا تسمح بالتعبئة المتراصة. ^{[ 11 ]}

من المعروف أيضاً أنه إذا كانت نسبة نصف القطر أعلى من 0.742، فإن الخليط الثنائي لا يمكنه التراص بشكل أفضل من الأقراص ذات الحجم الموحد. ^{[ 9 ]} كما تم الحصول على حدود عليا للكثافة التي يمكن الحصول عليها في مثل هذه التراصات الثنائية عند نسب أصغر. ^{[ 12 ]}

تعتمد تقنية تعديل السعة التربيعية على تجميع الدوائر داخل بعضها البعض ضمن فضاء الطور والسعة . ينقل المودم البيانات كسلسلة من النقاط في مستوى ثنائي الأبعاد للطور والسعة. تحدد المسافة بين النقاط مدى تحمل الإرسال للضوضاء، بينما يحدد قطر الدائرة المحيطة قدرة الإرسال المطلوبة. يتم تحقيق أقصى أداء عندما تكون مجموعة نقاط الترميز في مراكز تجميع دائري فعال. عمليًا، تُستخدم غالبًا تجميعات مستطيلة غير مثالية لتبسيط عملية فك التشفير.

أصبح تجميع الدوائر أداة أساسية في تصميم الأوريغامي ، إذ يتطلب كل جزء من أجزاء الشكل دائرة من الورق. ^{[ 13 ]} وقد استخدم روبرت ج. لانغ الرياضيات الخاصة بتجميع الدوائر لتطوير برامج حاسوبية تساعد في تصميم أشكال الأوريغامي المعقدة.

• حشية أبولونية
• تعبئة الدوائر في مستطيل
• تعبئة الدوائر في مربع
• تعبئة دائرية في دائرة
• المسافة العكسية
• تخمين كيبلر
• دوائر مالفاتي
• مشكلة التعبئة والتغليف

• ويلز د (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . نيويورك: كتب بنغوين. الصفحات 30-31، 167. ISBN  0-14-011813-6.
• ستيفنسون، كينيث (ديسمبر 2003). "تعبئة الدوائر: قصة رياضية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 50 (11).