هوروسفير

في الهندسة الزائدية ، تُعرف الكرة الأفقية (أو شبه الأفقية ) بأنها سطح فائق محدد في الفضاء الزائدي ذي البعد n . وهي تمثل حدود الكرة الأفقية ، وهي نهاية سلسلة من الكرات المتزايدة التي تشترك (من جانب واحد) في مستوى فائق مماس ونقطة تماسه. وعندما n = 2، تُسمى الكرة الأفقية دائرة أفقية .

يمكن وصف الكرة الأفقية بأنها نهاية الكرات الفائقة التي تشترك في مستوى فائق مماس عند نقطة معينة، عندما تتجه أنصاف أقطارها نحو اللانهاية. في الهندسة الإقليدية، تُعتبر هذه "الكرة الفائقة ذات نصف القطر اللانهائي" مستوىً فائقًا، أما في الهندسة الزائدية فهي كرة أفقية (سطح منحني).

يعود أصل هذا المفهوم إلى فكرة عبّر عنها ف. ل. واختر عام ١٨١٦ في رسالة إلى أستاذه غاوس . إذ لاحظ واختر أنه في الهندسة الإقليدية، تكون نهاية الكرة عندما يؤول نصف قطرها إلى اللانهاية مستوىً، وأكد أنه حتى لو كانت الفرضية الخامسة خاطئة، فستظل هناك هندسة على السطح مطابقة لهندسة المستوى العادي. ^{[ ١ ]} يُنسب مصطلحا "الكرة الأفقية" و "الدائرة الأفقية" إلى لوباتشيفسكي ، الذي أثبت نتائج مختلفة تُظهر أن هندسة الدوائر الأفقية والكرة الأفقية في الفضاء الزائدي تُكافئ هندسة الخطوط والمستوى في الفضاء الإقليدي. ^{[ ٢ ]} يُنسب مصطلح "الكرة الأفقية" إلى ويليام ثورستون ، الذي استخدمه في عمله على المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد . ويُستخدم مصطلحا "الكرة الأفقية" و"الكرة الأفقية" بكثرة في الهندسة الزائدية ثلاثية الأبعاد.

في نموذج الكرة المطابقة ، تُمثَّل الكرة الأفقية بكرة مماسية لكرة الأفق. في نموذج نصف الفضاء العلوي ، يمكن أن تظهر الكرة الأفقية إما ككرة مماسية لمستوى الأفق، أو كمستوى موازٍ له. في نموذج القطع الزائد ، تُمثَّل الكرة الأفقية بمستوى يقع عموده على المخروط التقاربي.

للكرة الأفقية مقدار حرج من الانحناء (المتساوي الخواص): إذا كان الانحناء أكبر من ذلك، فإن السطح سينغلق، مما ينتج عنه كرة، وإذا كان الانحناء أقل من ذلك، فسيكون السطح عبارة عن دورة فائقة الأبعاد ( N  -  1) .

• الملحق، نظرية الفضاء، يانوس بولياي، 1987، ص 143