نموذج قرص بوانكاريه

الموسوعة الحرة
قرص بوانكاريه بخطوط متوازية زائدية
نموذج قرص بوانكاريه للتبليط الثلاثي السباعي المبتور .

في الهندسة ، نموذج قرص بوانكاريه ، والذي يسمى أيضًا نموذج القرص المطابق ، هو نموذج للهندسة الزائدية ثنائية الأبعاد حيث تكون جميع النقاط داخل قرص الوحدة ، والخطوط المستقيمة إما أقواس دائرية موجودة داخل القرص متعامدة مع دائرة الوحدة أو أقطار دائرة الوحدة.

يتم إعطاء مجموعة التماثلات المحافظة على التوجيه لنموذج القرص بواسطة المجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية PSU(1,1) ، وهي خارج قسمة المجموعة الوحدوية الخاصة SU(1,1) على مركزها { I , − I } .

إلى جانب نموذج كلاين ونموذج بوانكاريه لنصف الفضاء ، اقترح يوجينيو بلترامي هذا النموذج مستخدمًا إياه لإثبات أن الهندسة الزائدية متسقة مع الهندسة الإقليدية . سُمّي هذا النموذج نسبةً إلى هنري بوانكاريه ، لأن إعادة اكتشافه لهذا التمثيل بعد أربعة عشر عامًا أصبحت أكثر شهرةً من عمل بلترامي الأصلي. [ 1 ]

يُعد نموذج كرة بوانكاريه نموذجًا مشابهًا للهندسة الزائدية ثلاثية الأبعاد أو ذات الأبعاد n حيث تقع نقاط الهندسة في كرة الوحدة ذات الأبعاد n .

تاريخ

وصف برنارد ريمان نموذج القرص لأول مرة في محاضرة ألقاها عام 1854 (نُشرت عام 1868)، والتي ألهمت ورقة بحثية نشرها يوجينيو بلترامي عام 1868. [ 2 ] استخدمه هنري بوانكاريه في معالجته للدوال الزائدية والقطع المكافئ والقطع الناقص عام 1882، [ 3 ] لكنه أصبح معروفًا على نطاق واسع بعد عرضه في أطروحته الفلسفية " العلم والفرضية " عام 1905. [ 4 ] هناك يصف عالمًا ، يُعرف الآن باسم قرص بوانكاريه، حيث كان الفضاء إقليديًا، ولكنه بدا لسكانه وكأنه يُحقق بديهيات الهندسة الزائدية.

لنفترض، على سبيل المثال، عالماً محصوراً داخل كرة كبيرة ويخضع للقوانين التالية: درجة الحرارة غير منتظمة؛ فهي أعلى ما يمكن في مركز الكرة، وتتناقص تدريجياً كلما اتجهنا نحو محيطها، حيث تصل إلى الصفر المطلق . قانون درجة الحرارة هذا هو كما يلي: إذاR{\displaystyle R}ليكن نصف قطر الكرة، ور{\displaystyle r}كلما زادت المسافة بين النقطة المدروسة والمركز، زادت درجة الحرارة المطلقة.R2-ر2{\displaystyle R^{2}-r^{2}}علاوة على ذلك، سأفترض أن جميع الأجسام في هذا العالم لها نفس معامل التمدد ، بحيث يكون التمدد الخطي لأي جسم متناسبًا مع درجة حرارته المطلقة. وأخيرًا، سأفترض أن الجسم المنقول من نقطة إلى أخرى ذات درجة حرارة مختلفة يكون في حالة توازن حراري فوري مع بيئته الجديدة. ... إذا قاموا ببناء هندسة، فلن تكون مثل هندستنا، التي تدرس حركات أجسامنا الصلبة الثابتة؛ بل ستكون دراسة لتغيرات الموضع التي سيميزونها، وستكون "إزاحات غير إقليدية"، وستكون هذه هي الهندسة غير الإقليدية . لذلك، فإن كائنات مثلنا، نشأت في مثل هذا العالم، لن تمتلك نفس هندستنا. [ 4 ] (ص 65-68)

كان قرص بوانكاريه دليلاً مهماً على الفرضية القائلة بأن اختيار الهندسة المكانية هو أمر تقليدي وليس واقعياً، لا سيما في المناقشات الفلسفية المؤثرة لرودولف كارناب [ 5 ] وهانز رايشنباخ . [ 6 ]

الخطوط والمسافة

قرص بوانكاريه بثلاثة خطوط مستقيمة متوازية للغاية (قطع زائد)

تتكون الخطوط المستقيمة الزائدية أو الجيوديسية من جميع أقواس الدوائر الإقليدية الموجودة داخل القرص والتي تكون متعامدة مع حدود القرص، بالإضافة إلى جميع أقطار القرص.

المسافات في هذا النموذج هي مقاييس كايلي-كلاين . بفرض وجود نقطتين مختلفتين p و q داخل القرص، فإن الخط الزائدي الوحيد الذي يربط بينهما يتقاطع مع الحدود عند نقطتين مثاليتين a و b . قم بتسمية هاتين النقطتين بحيث تكونان بالترتيب a ، p ، q ، b ، أي بحيث يكون | aq | > | ap | و | pb | > | qb | .

المسافة الزائدية بين p و q هي [ 7 ]

د(ص،q)=ln⁡|أq||صب||أص||qب|.{\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}

تشير الأشرطة الرأسية إلى الطول الإقليدي للقطعة المستقيمة التي تربط النقاط بينها في النموذج (وليس على طول قوس الدائرة)؛ ln هو اللوغاريتم الطبيعي .

بصورة مكافئة، إذا كان u و v متجهين في فضاء متجهي حقيقي ذي n بُعد R n، مع المعيار الإقليدي المعتاد، وكلاهما له معيار أقل من 1، فيمكننا تعريف ثابت متساوي القياس بواسطة

دلتا(u،v)=2‖u-v‖2(1-‖u‖2)(1-‖v‖2)،{\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert uv\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}\,,}

أين‖⋅‖{\displaystyle \lVert \cdot \rVert }يرمز إلى المعيار الإقليدي المعتاد. عندئذٍ تكون دالة المسافة هي

د(u،v)=أركوش⁡(1+دلتا(u،v))=2أرسينه⁡دلتا(u،v)2=2ln⁡‖u-v‖+‖u‖2‖v‖2-2u⋅v+1(1-‖u‖2)(1-‖v‖2).{\displaystyle {\begin{align}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{محاذاة}}}

تُعرَّف دالة المسافة هذه لأي متجهين معيارهما أقل من واحد، وتحوّل مجموعة هذه المتجهات إلى فضاء متري يُمثّل نموذجًا للفضاء الزائدي ذي الانحناء الثابت -1. ويتمتع هذا النموذج بخاصية التطابق، حيث تكون الزاوية بين منحنيين متقاطعين في الفضاء الزائدي مساوية للزاوية في النموذج.

وبالتفصيل في الحالة التي تكون فيها إحدى النقاط هي نقطة الأصل والمسافة الإقليدية بين النقاط هي r ، فإن المسافة الزائدية هي: ln⁡(1+ر1-ر)=2أرتان⁡ر{\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r}أينأرتان{\displaystyle \operatorname {artanh} }هي الدالة العكسية للدالة الزائدية للظل الزائدي . إذا كانت النقطتان تقعان على نفس نصف القطر والنقطةx′=(ر′،θ){\displaystyle x'=(r',\theta )}يقع بين نقطة الأصل والنقطةx=(ر،θ){\displaystyle x=(r,\theta )}، المسافة الزائدية بينهما هيln⁡(1+ر1-ر⋅1-ر′1+ر′)=2(أرتان⁡ر-أرتان⁡ر′).{\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').} ويؤول هذا إلى الحالة الخاصة السابقة إذار′=0{\displaystyle r'=0}.

القياسات المترية والانحناء

نموذج بوانكاريه " الكرة " لمنظر قرص العسل ذي الشكل العشري الوجوه المنتظم الزائدي ، {3،5،3}

يتم إعطاء موتر القياس المرتبط بنموذج قرص بوانكاريه بواسطة [ 8 ]

دs2=4∑أنادxأنا2(1-∑أناxأنا2)2=4‖دx‖ل2(1-‖x‖ل2)2{\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}}

حيث تمثل xᵢ الإحداثيات الديكارتية للفضاء الإقليدي المحيط. (بالمقارنة، تبدو معادلة المقياس المقابل للإسقاط المجسم للكرة الوحدة مكافئة، باستثناء اختلاف الإشارة في المقام).

يُعطى إطار متعامد بالنسبة لهذا المقياس الريماني بالصيغة التالية:

هـأنا=12(1-|x|2)∂∂xأنا،{\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}

مع إطار مشترك مزدوج من الأشكال 1

θأنا=21-|x|ل2دxأنا.{\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.}

في بعدين

في بعدين، وبالنسبة لهذه الأطر واتصال ليفي-تشيفيتا ، تُعطى أشكال الاتصال بواسطة المصفوفة المتناظرة المائلة الفريدة للأشكال من الدرجة 1.ω{\displaystyle \omega }أي أنها خالية من الالتواء ، أي أنها تحقق معادلة المصفوفة0=دθ+ω∧θ{\displaystyle 0=d\theta +\omega \wedge \theta }حل هذه المعادلة لـω{\displaystyle \omega }العائد

ω=2(yدx-xدy)1-|x|ل2(01-10)،\displaystyle \omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}

حيث تكون مصفوفة الانحناء

Ω=دω+ω∧ω=دω+0=-4دx∧دy(1-|x|ل2)2(01-10).{\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{{\bigl (}1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}

لذلك، فإن انحناء القرص الزائدي هو

ك=Ω21(هـ1،هـ2)=-1.{\displaystyle K=\Omega _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.}

إنشاء الخطوط

باستخدام البوصلة والمسطرة

الخط الزائدي الفريد الذي يمر بنقطتينP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}يمكن إنشاء الأشكال التي لا تقع على قطر دائرة الحدود عن طريق:

  • يتركP′{\displaystyle P'}ليكن الانعكاس في دائرة الحدود للنقطةP{\displaystyle P}
  • يتركسؤال′{\displaystyle Q'}ليكن الانعكاس في دائرة الحدود للنقطةسؤال{\displaystyle Q}
  • يتركم{\displaystyle M}كن نقطة منتصف القطعةPP′{\displaystyle PP'}
  • يتركشمال{\displaystyle N}كن نقطة منتصف القطعةسؤالسؤال′{\displaystyle QQ'}
  • ارسم خطًام{\displaystyle m}خلالم{\displaystyle M}عمودي على القطعةPP′{\displaystyle PP'}
  • ارسم خطًان{\displaystyle n}خلالشمال{\displaystyle N}عمودي على القطعةسؤالسؤال′{\displaystyle QQ'}
  • يتركج{\displaystyle C}كن حيث الخطم{\displaystyle m}والخطن{\displaystyle n}تتقاطع.
  • رسومج{\displaystyle c}مع المركزج{\displaystyle C}والمرورP{\displaystyle P}(وسؤال{\displaystyle Q}).
  • جزء من الدائرةج{\displaystyle c}الخط الزائدي الموجود داخل القرص.

إذا كانت النقطتان P و Q تقعان على قطر دائرة الحدود، فإن هذا القطر هو الخط الزائدي.

وهناك طريقة أخرى وهي:

  • يتركم{\displaystyle M}كن نقطة منتصف القطعةPسؤال{\displaystyle PQ}
  • ارسم الخط م من خلالم{\displaystyle M}عمودي على القطعةPسؤال{\displaystyle PQ}
  • يتركP′{\displaystyle P'}ليكن الانعكاس في دائرة الحدود للنقطةP{\displaystyle P}
  • يتركشمال{\displaystyle N}كن نقطة منتصف القطعةPP′{\displaystyle PP'}
  • ارسم خطًان{\displaystyle n}خلالشمال{\displaystyle N}عمودي على القطعةPP′{\displaystyle PP'}
  • يتركج{\displaystyle C}كن حيث الخطم{\displaystyle m}والخطن{\displaystyle n}تتقاطع.
  • رسومج{\displaystyle c}مع المركزج{\displaystyle C}والمرورP{\displaystyle P}(وسؤال{\displaystyle Q}).
  • جزء من الدائرةج{\displaystyle c}الخط الزائدي الموجود داخل القرص.

باستخدام الهندسة التحليلية

تتمثل إحدى البنى الأساسية للهندسة التحليلية في إيجاد خط مستقيم يمر بنقطتين معطيتين. في نموذج قرص بوانكاريه، تُعرَّف الخطوط في المستوى بأجزاء من دوائر معادلاتها على الصورة التالية:

x2+y2+أx+بy+1=0،{\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,}

وهو الشكل العام لدائرة متعامدة مع دائرة الوحدة، أو متعامدة مع أقطارها. إذا عُلمت نقطتان u = (u₁ , u₂ ) و v = (v₁ , v₂ ) على القرص ولا تقعان على أي قطر، فيمكننا إيجاد الدائرة التي تحمل هذا الشكل والتي تمر بكلتا النقطتين، فنحصل على

x2+y2+u2(v12+v22+1)-v2(u12+u22+1)u1v2-u2v1x+v1(u12+u22+1)-u1(v12+v22+1)u1v2-u2v1y+1=0.{\displaystyle {\begin{align}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {u_ {2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x\\[8pt]&{}+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+1)-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{محاذاة}}}

إذا كانت النقطتان u و v نقطتين على حدود القرص لا تقعان عند طرفي قطره، فإن ما سبق يتبسط إلى

x2+y2+2(u2-v2)u1v2-u2v1x+2(v1-u1)u1v2-u2v1y+1=0.{\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {2(v_{1}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}

الزوايا

يمكننا حساب الزاوية بين القوس الدائري الذي تُعطى نقطتاه ( النقاط المثالية ) بمتجهي الوحدة u و v ، والقوس الذي تُعطى نقطتاه بـ s و t ، باستخدام صيغة رياضية. وبما أن النقاط المثالية متطابقة في نموذج كلاين ونموذج قرص بوانكاريه، فإن الصيغ الرياضية متطابقة في كلا النموذجين.

إذا كانت خطوط كلا النموذجين أقطارًا، بحيث يكون v = − u و t = − s ، فإننا نجد ببساطة الزاوية بين متجهي وحدة، وصيغة الزاوية θ هي

كوس⁡(θ)=u⋅s.{\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,.}

إذا كانت v = − u ولكن t = − s ، فإن الصيغة تصبح، بدلالة الضرب الخارجي (∧{\displaystyle \wedge })

كوس2⁡(θ)=P2سؤالR،{\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}

أين

P=u⋅(s-ت)،{\displaystyle P=u\cdot (st)\,,}
سؤال=u⋅u،{\displaystyle Q=u\cdot u\,,}
R=(s-ت)⋅(s-ت)-(s∧ت)⋅(s∧ت).{\displaystyle R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}

إذا لم يكن كلا الوترين قطرين، فستكون الصيغة العامة كما يلي:

كوس2⁡(θ)=P2سؤالR،{\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,}

أين

P=(u-v)⋅(s-ت)-(u∧v)⋅(s∧ت)،{\displaystyle P=(uv)\cdot (st)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,}
سؤال=(u-v)⋅(u-v)-(u∧v)⋅(u∧v)،{\displaystyle Q=(uv)\cdot (uv)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,}
R=(s-ت)⋅(s-ت)-(s∧ت)⋅(s∧ت).{\displaystyle R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}

باستخدام متطابقة بينيه-كوشي وحقيقة أن هذه متجهات وحدة، يمكننا إعادة كتابة التعبيرات أعلاه بدلالة الضرب النقطي فقط ، كما يلي:

P=(u-v)⋅(s-ت)+(u⋅ت)(v⋅s)-(u⋅s)(v⋅ت).{\displaystyle P=(uv)\cdot (st)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.}
سؤال=(1-u⋅v)2،{\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,}
R=(1-s⋅ت)2.{\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,.}

دورات

في المستوى الإقليدي، تُمثل الدوائر المعممة (المنحنيات ذات الانحناء الثابت) بالخطوط والدوائر. أما على الكرة ، فتُمثل بالدوائر الكبرى والصغرى . في المستوى الزائدي، توجد أربعة أنواع متميزة من الدوائر المعممة أو الدورات : الدوائر، والدورات الأفقية، والدورات الفائقة، والخطوط الجيوديسية (أو "الخطوط الزائدية"). في نموذج قرص بوانكاريه، تُمثل جميع هذه الأنواع بخطوط مستقيمة أو دوائر.

دائرة إقليدية:

  • الدائرة التي تقع بالكامل داخل القرص هي دائرة زائدية ؛
  • ذلك الموجود داخل القرص والمماس للحدود هو دائرة أفقية ؛
  • الخط الذي يتقاطع مع الحدود بشكل عمودي هو خط زائدي ؛ و
  • إن ما يتقاطع مع الحدود بشكل غير متعامد هو دورة فائقة .

وتر إقليدي لدائرة الحدود:

  • الخط الذي يمر بالمركز هو خط زائدي؛ و
  • ما لا يمر عبر المركز هو دورة فائقة.

دوائر

الدائرة (مجموعة جميع النقاط في مستوى تقع على مسافة محددة من نقطة معينة، مركزها) هي دائرة تقع بالكامل داخل القرص دون أن تلامس حدوده أو تتقاطع معها. لا يتطابق المركز الزائدي للدائرة في النموذج عمومًا مع المركز الإقليدي للدائرة، لكنهما يقعان على نفس نصف قطر قرص بوانكاريه. (يكون المركز الإقليدي دائمًا أقرب إلى مركز القرص من المركز الزائدي).

دورات فائقة

الدائرة الفائقة (مجموعة جميع النقاط في مستوى تقع على جانب واحد وعلى مسافة محددة من خط معين، وهو محورها) هي قوس أو وتر من الدائرة الإقليدية يتقاطع مع الدائرة المحيطة بزاوية موجبة غير قائمة . محورها هو الخط الزائدي الذي يشترك في نفس النقطتين المثاليتين . تُعرف هذه الدائرة أيضًا باسم المنحنى متساوي البعد.

دورات

دائرة زرقاء في نموذج قرص بوانكاريه وبعض المتجهات العمودية الحمراء. تتقارب المتجهات العمودية بشكل مقارب إلى النقطة المثالية المركزية العليا .

الدائرة الأفقية (منحنى تكون خطوطه الجيوديسية العمودية أو المتعامدة عليه خطوطًا متوازية حدية ، تتقارب جميعها تقاربًا مقاربًا إلى نفس النقطة المثالية ) هي دائرة داخل القرص تمس دائرة حدود القرص. النقطة التي تمس عندها دائرة الحدود ليست جزءًا من الدائرة الأفقية، بل هي نقطة مثالية، وهي المركز الزائدي للدائرة الأفقية. وهي أيضًا النقطة التي تتقارب إليها جميع الخطوط الجيوديسية المتعامدة.

في نموذج قرص بوانكاريه، تتقارب النقاط الإقليدية التي تمثل "نهايات" متقابلة لدائرة أفقية نحو مركزها على الدائرة المحيطة، بينما في المستوى الزائدي، تكون كل نقطة من الدائرة الأفقية بعيدة جدًا عن مركزها، ولا تتصل نهاياتها المتقابلة. (قد يكون الحدس الإقليدي مضللًا لأن مقياس النموذج يتزايد إلى ما لا نهاية عند الدائرة المحيطة).

العلاقة بنماذج أخرى للهندسة الزائدية

نموذج قرص بوانكاريه (الخط P )، وعلاقاته بالنماذج الأخرى

العلاقة بنموذج قرص كلاين

يُعدّ كلٌّ من نموذج بلترامي -كلاين (أو نموذج قرص كلاين) وقرص بوانكاريه نموذجين يُسقطان المستوى الزائدي بأكمله على شكل قرص . ويرتبط النموذجان من خلال إسقاط على نموذج نصف الكرة الأرضية أو منه . فنموذج قرص كلاين هو إسقاط متعامد على نموذج نصف الكرة الأرضية، بينما نموذج قرص بوانكاريه هو إسقاط مجسم .

من مزايا نموذج قرص كلاين أن الخطوط فيه عبارة عن أوتار مستقيمة إقليدية . أما من عيوبه فهو أنه غير متطابق (حيث تتشوه الدوائر والزوايا).

عند إسقاط نفس الخطوط في كلا النموذجين على قرص واحد، يمر كلا الخطين بنفس النقطتين المثاليتين (تبقى النقطتان المثاليتان في نفس المكان). كما أن قطب الوتر في نموذج قرص كلاين هو مركز الدائرة التي تحتوي على القوس في نموذج قرص بوانكاريه.

تُسقط النقطة ( س ، ص ) في نموذج قرص بوانكاريه على(2x1+x2+y2 ، 2y1+x2+y2)\textstyle \left(\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)}في نموذج كلاين.

تُقابل النقطة ( x , y ) في نموذج كلاين ما يلي:(x1+1-x2-y2 ،  y1+1-x2-y2)\textstyle \left(\frac {x}{1+\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}في نموذج قرص بوانكاريه.

للحصول على نقاط مثاليةx2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}وتصبح الصيغx=x ، y=y{\displaystyle x=x\ ,\ y=y}إذن، النقاط ثابتة.

لوu{\displaystyle u}إذا كان متجهًا ذو معيار أقل من واحد يمثل نقطة من نموذج قرص بوانكاريه، فإن النقطة المقابلة في نموذج قرص كلاين تُعطى بالصيغة التالية: s=2u1+u⋅u.{\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}

وعلى العكس من ذلك، من متجهs{\displaystyle s}إذا كان المعيار أقل من واحد ويمثل نقطة في نموذج بلترامي-كلاين، فإن النقطة المقابلة في نموذج قرص بوانكاريه تُعطى بالصيغة التالية: u=s1+1-s⋅s=(1-1-s⋅s)ss⋅s.{\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}

العلاقة بنموذج نصف المستوى لبوانكاريه

يرتبط نموذج قرص بوانكاريه ونموذج نصف مستوى بوانكاريه بتحويل موبيوس . إذاu∈د{\displaystyle u\in \mathbb {D} }إذا كان عددًا مركبًا معياره أقل من واحد يمثل نقطة في نموذج قرص بوانكاريه، فإن النقطة المقابلةz∈ح{\displaystyle z\in \mathbb {H} }يُعطى نصف المستوى العلوي بواسطة معكوس تحويل كايليج:ح→د{\textstyle C:\mathbb {H} \to \mathbb {D} }: ج-1(u)=z=أنا1+u1-u.{\displaystyle C^{-1}(u)=z=i{\frac {1+u}{1-u}}.}تحتج-1{\displaystyle C^{-1}}النقاط{0،1،-أنا،أنا}∈د{\displaystyle \{0,1,-i,i\}\in \mathbb {D} }يتم ربطها بـ{أنا،∞،1،-1}∈ح{\displaystyle \{i,\infty ,1,-1\}\in \mathbb {H} }.

من حيث الإحداثيات الحقيقية، تُقابل النقطة ( س ، ص ) في نموذج القرص ما يلي:(2xx2+(1-y)2 ، 1-x2-y2x2+(1-y)2)\textstyle \left(\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}في نموذج نصف المستوى.

تُسقط النقطة ( x , y ) في نموذج نصف المستوى على(2xx2+(1+y)2 ، x2+y2-1x2+(1+y)2)\textstyle \left(\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,}في نموذج القرص.

العلاقة بنموذج القطع الزائد

يرتبط نموذج قرص بوانكاريه، وكذلك نموذج بلترامي-كلاين ، بنموذج القطع الزائد إسقاطيًا . إذا كانت لدينا نقطة [ t , x1 , ... , xn ] على السطح العلوي للقطع الزائد في نموذج القطع الزائد، وبالتالي تعريف نقطة في نموذج القطع الزائد، فيمكننا إسقاطها على المستوى الفائق t = 0 بتقاطعها مع خط مرسوم عبر [−1, 0, ..., 0 ] . والنتيجة هي النقطة المقابلة في نموذج قرص بوانكاريه.     

بالنسبة للإحداثيات الديكارتية ( t , xᵢ ) على القطع الزائد و( yᵢ ) على المستوى، فإن صيغ التحويل هي:  yأنا=xأنا1+ت{\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}}(ت،xأنا)=(1+∑yأنا2،2yأنا)1-∑yأنا2.{\displaystyle (t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i}^{2}}}}\,.}

قارن بين صيغ الإسقاط المجسم بين الكرة والمستوى.

الإنجازات الفنية

التبليط المثلثي الزائدي (6،4،2) الذي ألهم إم سي إيشر

استكشف إم سي إيشر مفهوم تمثيل اللانهاية على مستوى ثنائي الأبعاد. وقد ألهمت مناقشاته مع عالم الرياضيات الكندي هارولد سكوت ماكدونالد كوكسيتر حوالي عام 1956 اهتمام إيشر بالتبليط الزائدي ، وهو عبارة عن تبليط منتظم للمستوى الزائدي. وتُظهر نقوش إيشر الخشبية " دائرة الحد" من 1 إلى 4 هذا المفهوم بين عامي 1958 و1960، وكان آخرها " دائرة الحد 4: الجنة والجحيم" عام 1960. [ 9 ] ووفقًا لبرونو إرنست، فإن أفضلها هو "دائرة الحد 3" .

تستخدم لعبة HyperRogue ، وهي لعبة من نوع roguelike، المستوى الزائدي لهندسة عالمها، وتستخدم أيضًا نموذج قرص بوانكاريه.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بينروز ، روجر (2004). الطريق إلى الواقع: دليل شامل لقوانين الكون . بريطانيا العظمى: جوناثان كيب. ص 45. ISBN  0-224-04447-8.
  2. ↑ ميلنور، جون دبليو. "الهندسة الزائدية: أول 150 عامًا." نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية 6، العدد 1 (1982): 9-24.
    ب. ريمان، "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen"، Abh. كي جي ويس. غوتنغن 13 (من خطاب تنصيبه عام 1854).
    أوجينيو بلترامي. "النظرية الأساسية لمساحة الانحناء الساحلي"، سجلات الحصة. سر. II 2، 232-255 (Op. Mat. 1، 406-429؛ Ann. École Norm. Sup. 6 (1869)، 345-375).
  3. ^ بوانكاريه، هـ. (1882/12/01). "Théorie des groupes fuchsiens" . اكتا ماثيماتيكا (باللغة الفرنسية). 1 (1): 1– 62. دوى : 10.1007/BF02592124 . ردمك 1871-2509 . S2CID 120406828 .  
  4. 1 2 بوانكاريه، هنري (1905). العلم والفرضية . روبرتس - جامعة تورنتو. لندن دبليو. سكوت.
  5. ↑ كاروس، أ. و.؛ فريدمان، مايكل؛ كينزلر، وولفغانغ؛ ريتشاردسون، آلان؛ شلوتر، سفين (25-06-2019). رودولف كارناب: كتابات مبكرة: الأعمال الكاملة لرودولف كارناب، المجلد 1. مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-106526-2.
  6. ↑ رايشنباخ، هانز (13 مارس 2012). فلسفة المكان والزمان . دار كورير للنشر. رقم ISBN 978-0-486-13803-9.
  7. ↑ بيرغر، مارسيل (1987) [1977]. "9.6 نموذج بوانكاريه". الهندسة 2. ترجمة كول، م.؛ ليفي، س. سبرينغر. ص 339. 
  8. ↑ "مقارنة موترات القياس لنموذجي قرص بوانكاريه وكلاين للهندسة الزائدية" . ستاك إكستشينج . 23 مايو 2015.
  9. ↑ استكشاف حدود دائرة إيشر

للمزيد من القراءة

  • جيمس دبليو أندرسون، الهندسة الزائدية ، الطبعة الثانية، سبرينغر، 2005.
  • أوجينيو بلترامي، تيوريا الأساسية لمساحة الانحناء الساحلي ، أنالي. دي مات.، سر الثاني 2 (1868)، 232-255.
  • سول ستال، نصف مستوى بوانكاريه ، جونز وبارتليت، 1993.
  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بنماذج أقراص بوانكاريه على ويكيميديا ​​كومنز