نموذج القطع الزائد

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 69 صور
الموسوعة الحرة
القوس الدائري الأحمر هو خط جيوديسي في نموذج قرص بوانكاريه ؛ وهو يسقط على الخط الجيوديسي البني على القطع الزائد الأخضر.
رسوم متحركة لتقسيم جزئي {7,3} للقطع الزائدي الذي تم تدويره إلى منظور بوانكاريه.

في الهندسة ، يُعرف نموذج القطع الزائد ، أو نموذج مينكوفسكي نسبةً إلى هيرمان مينكوفسكي ، بأنه نموذج للهندسة الزائدية ذات البعد n ، حيث تُمثَّل النقاط بنقاط على الورقة الأمامية S + لقطع زائد ثنائي الأوراق في فضاء مينكوفسكي ذي البعد ( n +1) ، أو بمتجهات الإزاحة من نقطة الأصل إلى تلك النقاط. أما المستويات m ، فتُمثَّل بتقاطعات ( m +1) مستوىً تمر بنقطة الأصل في فضاء مينكوفسكي مع S +، أو بضرب متجهات m خارجاً. يُضمَّن الفضاء الزائدي بشكل متساوي القياس في فضاء مينكوفسكي؛ أي أن دالة المسافة الزائدية تُورَث من فضاء مينكوفسكي، على غرار كيفية توريث المسافة الكروية من المسافة الإقليدية عندما تُضمَّن الكرة n في الفضاء الإقليدي ذي البعد ( n +1).

يمكن اعتبار نماذج أخرى للفضاء الزائدي بمثابة إسقاطات خرائطية لـ S + : نموذج بلترامي-كلاين هو إسقاط S + عبر نقطة الأصل على مستوى عمودي على متجه من نقطة الأصل إلى نقطة محددة في S +، وهو مشابه للإسقاط الزنوموني للكرة؛ نموذج قرص بوانكاريه هو إسقاط S + عبر نقطة على الورقة الأخرى S- على مستوى عمودي، وهو مشابه للإسقاط المجسم للكرة؛ نموذج غانز هو الإسقاط المتعامد لـ S + على مستوى عمودي على نقطة محددة في S + ، وهو مشابه للإسقاط المتعامد ؛ نموذج الشريط للمستوى الزائدي هو إسقاط "أسطواني" متطابق مشابه لإسقاط ميركاتور للكرة؛ إحداثيات لوباتشيفسكي هي إسقاط أسطواني مشابه للإسقاط المستطيل المتساوي (خط الطول، خط العرض) للكرة.

الشكل التربيعي لمينكوفسكي

إذا كان ( x₀ , x₁ , ..., xₙ ) متجهًا في فضاء الإحداثيات ذي الأبعاد ( n + 1) Rₙ₊₁ ، فإن الصيغة التربيعية لمينكوفسكي تُعرَّف على النحو التالي :

سؤال(x0،x1،...،xن)=-x02+x12+...+xن2.{\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}

تشكل المتجهات v ∈ R n +1 التي تحقق Q ( v ) = −1 سطحًا زائديًا ذا n بُعد S يتكون من مكونين متصلين ، أو ورقتين : الورقة الأمامية، أو المستقبلية، S + ، حيث x 0 >0 والورقة الخلفية، أو الماضية، S − ، حيث x 0 <0. نقاط نموذج السطح الزائدي ذي n بُعد هي النقاط الموجودة على الورقة الأمامية S + .

المقياس على السطح الزائدي هودs2=سؤال(دx0،دx1،...،دxن)=-دx02+دx12+...+دxن2.{\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}إن الشكل الثنائي الخطي لمينكوفسكي B هو استقطاب الشكل التربيعي لمينكوفسكي Q ،

ب(u،v)=(سؤال(u+v)-سؤال(u)-سؤال(v))/2.{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}

(يُكتب هذا أحيانًا باستخدام ترميز الضرب القياسي)u⋅v.{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}) بشكل صريح،

ب((x0،x1،...،xن)،(y0،y1،...،yن))=-x0y0+x1y1+...+xنyن.{\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}

المسافة الزائدية بين نقطتين u و v على S + تُعطى بالصيغة التالية

د(u،v)=أركوش⁡(-ب(u،v))،{\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}

حيث أن arcosh هي الدالة العكسية لجيب التمام الزائدي .

اختيار التوقيع المتري

الشكل الثنائي الخطيب{\displaystyle B}كما يعمل كموتر متري على الفضاء. في فضاء مينكوفسكي ذي الأبعاد n +1، يوجد خياران للمقياس ذي الإشارة المعاكسة ، في الحالة ثلاثية الأبعاد إما (+, −, −) أو (−, +, +).

إذا تم اختيار الإشارة (−, +, +)، فإن مربع المسافة بين الأوتار في نقاط مختلفة على نفس سطح القطع الزائد سيكون موجبًا، وهو ما يتوافق بشكل أكبر مع التعريفات والتوقعات التقليدية في الرياضيات. عندئذٍ، يصبح الفضاء الزائدي ذو البعد n فضاءً ريمانيًا ، ويمكن تعريف المسافة أو الطول على أنه الجذر التربيعي لمربع المسافة. أما إذا تم اختيار الإشارة (+, −, −)، فإن مربع المسافة بين نقاط مختلفة على القطع الزائد سيكون سالبًا، مما يستدعي تعديل تعريفات مختلفة للمصطلحات الأساسية، وهو ما قد يكون غير عملي. مع ذلك، فإن الإشارة (+, −, −, −) شائعة أيضًا لوصف الزمكان في الفيزياء. (انظر: اصطلاح الإشارة#الإشارة المترية ).

خطوط مستقيمة

يُنمذج الخط المستقيم في الفضاء الزائدي ذي البعد n بواسطة خط جيوديسي على السطح الزائدي. الخط الجيوديسي على السطح الزائدي هو تقاطع (غير فارغ) السطح الزائدي مع فضاء خطي ثنائي الأبعاد (مستوى يمر بنقطة الأصل) من فضاء مينكوفسكي ذي البعد n +1. إذا اعتبرنا u و v متجهي أساس لهذا الفضاء الخطي مع

ب(u،u)=1{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}
ب(v،v)=-1{\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}
ب(u،v)=ب(v،u)=0{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}

واستخدم w كمعامل حقيقي للنقاط على الخط الجيوديسي، ثم

uسينه⁡w+vضرب بالعصا⁡w{\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}

ستكون نقطة على الخط الجيوديسي. [ 1 ]

وبشكل أكثر عمومية، سيتم نمذجة "مسطح" k- الأبعاد في الفضاء الزائدي n- عن طريق التقاطع (غير الفارغ) للقطع الزائد مع فضاء فرعي خطي k +1 الأبعاد (بما في ذلك الأصل) من فضاء مينكوفسكي.

التماثلات

الزمرة المتعامدة غير المحددة O(1, n )، والتي تُسمى أيضًا زمرة لورنتز ذات البعد ( n +1) ، هي زمرة لي للمصفوفات الحقيقية ( n +1 ) ×( n +1) التي تحافظ على الشكل الثنائي الخطي لمينكوفسكي. بعبارة أخرى، هي زمرة التماثلات الخطية لفضاء مينكوفسكي . على وجه الخصوص، تحافظ هذه الزمرة على القطع الزائد S. تجدر الإشارة إلى أن الزمر المتعامدة غير المحددة تتكون من أربعة مكونات متصلة، تُقابل عكس أو الحفاظ على اتجاه كل فضاء جزئي (هنا أحادي البعد و n- بعد)، وتشكل زمرة كلاين رباعية . الزمرة الجزئية من O(1, n ) التي تحافظ على إشارة الإحداثي الأول هي زمرة لورنتز المتزامنة ، ويُرمز لها بـ O + (1, n )، ولها مكونان، يُقابلان الحفاظ على اتجاه الفضاء الجزئي المكاني أو عكسه. زمرتها الجزئية SO + (1, n ) المكونة من مصفوفات محددة بواحد هي زمرة لي متصلة ذات بُعد n ( n +1)/2 تؤثر على S + بتشاكلات خطية ذاتية وتحافظ على المسافة الزائدية. هذا التأثير متعدٍ، ومثبت المتجه (1,0,...,0) يتكون من مصفوفات من الشكل التالي:

(10...00⋮أ0){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}

أينأ{\displaystyle A}ينتمي إلى المجموعة المتعامدة الخاصة المدمجة SO( n ) (التي تعمم مجموعة الدوران SO(3) عندما n = 3 ). ويترتب على ذلك أنه يمكن تمثيل الفضاء الزائدي ذي البعد n كفضاء متجانس وفضاء ريماني متناظر من الرتبة 1.

حن=Sيا+(1،ن)/Sيا(ن).{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}

المجموعة SO + (1, n ) هي المجموعة الكاملة للتماثلات المحافظة على الاتجاه للفضاء الزائدي ذي الأبعاد n .

بصورة أكثر تحديدًا، يمكن تقسيم SO + (1, n ) إلى n ( n −1)/2 دوران (مُشكّلة باستخدام مصفوفة دوران إقليدية منتظمة في الجزء السفلي الأيمن) و n إزاحة زائدية، والتي تأخذ الشكل التالي:

(ضرب بالعصا⁡αسينه⁡α0⋯سينه⁡αضرب بالعصا⁡α0⋯001⋮⋮⋱){\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}

أينα{\displaystyle \alpha }تمثل المسافة المزاحة (على طول المحور السيني في هذه الحالة)، ويمكن استبدال الصف/العمود الثاني بزوج مختلف لتغيير الإزاحة إلى إزاحة على طول محور مختلف. الشكل العام للإزاحة في ثلاثة أبعاد على طول المتجه(w،x،y،z){\displaystyle (w,x,y,z)}يكون:

(wxyzx x2w+1+1yxw+1zxw+1yxyw+1y2w+1+1zyw+1zxzw+1yzw+1z2w+1+1)|،{\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}

أين​w=x2+y2+z2+1{\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}⁠ . يمتد هذا بشكل طبيعي إلى المزيد من الأبعاد، وهو أيضًا النسخة المبسطة من تعزيز لورنتز عند إزالة المصطلحات الخاصة بالنسبية.

أمثلة على مجموعات من التماثلات

مجموعة جميع التماثلات لنموذج القطع الزائد هي O + (1, n ). أي مجموعة من التماثلات هي مجموعة جزئية منها.

تأملات

مقابل نقطتينص،q∈حن،ص≠q{\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }، هناك انعكاس فريد يتبادل بينهما.

يتركu=ص-qسؤال(ص-q){\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}. لاحظ أنسؤال(u)=1{\displaystyle Q(\mathbf {u} )=1}وبالتاليu∉حن{\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}.

ثم

x↦x-2ب(x،u)u{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }

هو انعكاس يتبادلص{\displaystyle \mathbf {p} }وq{\displaystyle \mathbf {q} }وهذا يعادل المصفوفة التالية:

R=أنا-2uuتي(-100أنا){\displaystyle R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}}

(لاحظ استخدام تدوين المصفوفة الكتلية ).

ثم{أنا،R}{\displaystyle \{I,R\}}هي مجموعة من التماثلات. جميع هذه المجموعات الفرعية مترافقة .

الدوران والانعكاس

S={(100أ):أ∈يا(ن)}{\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}

هي مجموعة الدورانات والانعكاسات التي تحافظ(1،0،...،0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}الوظيفةأ↦(100أ){\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}هو تماثل من O( n ) إلى هذه المجموعة. لأي نقطةص{\displaystyle p}، لوX{\displaystyle X}هو رسم متساوي القياس يرسم(1،0،...،0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}لص{\displaystyle p}، ثمXSX-1{\displaystyle XSX^{-1}}هي مجموعة الدورانات والانعكاسات التي تحافظص{\displaystyle p}.

الترجمات

لأي عدد حقيقيت{\displaystyle t}هناك ترجمة

Lت=(ضرب بالعصا⁡تسينه⁡ت0سينه⁡تضرب بالعصا⁡ت000أنا)=هـ(0ت0ت00000){\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}=e^{\begin{pmatrix}0&t&0\\t&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}

(التعبير الموجود على الجانب الأيمن هو دالة أسية مصفوفية .) هذا تحويل للمسافةت{\displaystyle t}في الاتجاه الموجب لمحور السينات إذات≥0{\displaystyle t\geq 0}أو المسافة-ت{\displaystyle -t}في الاتجاه السالب لمحور السينات إذات≤0{\displaystyle t\leq 0}أي ترجمة للمسافةت{\displaystyle t}هو مرافق لـLت{\displaystyle L_{t}}وL-ت{\displaystyle L_{-t}}المجموعة{Lت:ت∈R}{\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}هي مجموعة الإزاحات عبر المحور السيني، ومجموعة التساويات تكون مترافقة معها إذا وفقط إذا كانت مجموعة تساويات عبر خط.

على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد إيجاد مجموعة الترجمات عبر سطرصq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}. يتركX{\displaystyle X}يكون تماثلًا هندسيًا يرسم(1،0،...،0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}لص{\displaystyle p}ودعY{\displaystyle Y}أن يكون تماثلًا هندسيًا يثبتص{\displaystyle p}والخرائطXLد(ص،q)[1،0،...،0]تي{\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}لq{\displaystyle q}مثال على ذلكY{\displaystyle Y}هو تبادل للأفكارXLد(ص،q)[1،0،...،0]تي{\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}وq{\displaystyle q}(بافتراض أنهما مختلفان)، لأنهما على نفس المسافة منص{\displaystyle p}. ثمYX{\displaystyle YX}هو رسم تخطيطي متساوي القياس(1،0،...،0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}لص{\displaystyle p}ونقطة على المحور السيني الموجب لـq{\displaystyle q}. (YX)Lت(YX)-1{\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}هي ترجمة عبر الخطصq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}مسافة|ت|{\displaystyle |t|}. لوت≥0{\displaystyle t\geq 0}، إنه فيصq→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}الاتجاه. إذات≤0{\displaystyle t\leq 0}، إنه فيqص→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}اتجاه. {(YX)Lت(YX)-1:ت∈R}{\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}هي مجموعة الترجمات من خلالصq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}.

تناظرات الأجرام السماوية

ليكن H هو الغلاف الأفقي بحيث تكون النقاط على الشكل(w،x،0،...،0){\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)}تقع داخلها لأي قيمة كبيرة لـ x . لأي متجه b فيRن-1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}

(1+12‖ب‖2-12‖ب‖2بتي12‖ب‖21-12‖ب‖2بتيب-بأنا)=هـ(00بتي00بتيب-ب0){\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}=e^{\begin{pmatrix}0&0&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\0&0&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &0\end{pmatrix}}}

هي دوران أفقي يُحوّل H إلى نفسه. مجموعة هذه الدورانات الأفقية هي مجموعة الدورانات الأفقية التي تحافظ على H. جميع الدورانات الأفقية مترافقة مع بعضها البعض.

لأيأ{\displaystyle A}في O( n −1)

(10001000أ){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}

هي دوران أو انعكاس يحافظ على H والمحور السيني. تُولّد هذه الدورانات الأفقية والدورانات والانعكاسات مجموعة تناظرات H. مجموعة تناظر أي كرة أفقية مترافقة معها. وهي متماثلة مع المجموعة الإقليدية E( n -1).

تاريخ

في العديد من الأبحاث التي نُشرت بين عامي 1878 و1885، استخدم ويلهلم كيلينغ [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] التمثيل الذي نسبه إلى كارل فايرشتراس للهندسة اللوباتشيفسكية . وعلى وجه الخصوص، ناقش الأشكال التربيعية مثلك2ت2+u2+v2+w2=ك2{\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}أو بأبعاد عشوائيةك2x02+x12+⋯+xن2=ك2{\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}، أينك{\displaystyle k}هو المقياس المتبادل للانحناء،ك2=∞{\displaystyle k^{2}=\infty }يشير إلى الهندسة الإقليدية ،ك2>0{\displaystyle k^{2}>0}الهندسة الإهليلجية ، وك2<0{\displaystyle k^{2}<0}الهندسة الزائدية.

بحسب جيريمي غراي (1986)، [ 5 ] استخدم بوانكاريه نموذج القطع الزائد في مذكراته الشخصية عام 1880. ونشر بوانكاريه نتائجه عام 1881، حيث ناقش فيها ثبات الشكل التربيعي.ξ2+η2-ζ2=-1{\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}[ 6 ] يوضح غراي أين يظهر نموذج القطع الزائد ضمنيًا في كتابات بوانكاريه اللاحقة . [ 7 ]

كما استخدم هومرشام كوكس في عام 1882 [ 8 ] [ 9 ] إحداثيات فايرشتراس (دون استخدام هذا الاسم) التي تحقق العلاقةz2-x2-y2=1{\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}إلى جانبw2-x2-y2-z2=1{\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}.

وقدّم ألفريد كليبش وفرديناند ليندمان مزيدًا من التوضيح للنموذج في عام 1891، حيث ناقشا العلاقةx12+x22-4ك2x32=-4ك2{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}وx12+x22+x32-4ك2x42=-4ك2{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}[ 10 ]​

استُخدمت إحداثيات فايرشتراس أيضًا من قِبل جيرار (1892)، [ 11 ] وفيليكس هاوسدورف (1899)، [ 12 ] وفريدريك إس. وودز (1903)، [ 13 ] وهينريش ليبمان (1905). [ 14 ]

استكشف ألكسندر ماكفارلين القطع الزائد كفضاء متري في كتابه "أوراق في تحليل الفضاء " (1894). ولاحظ أنه يمكن كتابة النقاط على القطع الزائد على النحو التالي:

ضرب بالعصا⁡أ+αسينه⁡أ،{\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}

حيث α هو متجه أساسي متعامد مع محور القطع الزائد. على سبيل المثال، حصل على قانون جيب التمام الزائدي من خلال استخدام كتابه "جبر الفيزياء" . [ 1 ]

ركز هـ. جانسن بشكل صريح على نموذج القطع الزائد في بحثه المنشور عام 1909 بعنوان "تمثيل الهندسة الزائدية على سطح زائد ذي ورقتين". [ 15 ] وفي عام 1993، استعرض دبليو إف رينولدز بعضًا من التاريخ المبكر لهذا النموذج في مقالته المنشورة في المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . [ 16 ]

وباعتباره نموذجًا شائعًا بحلول القرن العشرين، فقد ربطه هيرمان مينكوفسكي بمتجهات السرعة ( Geschwindigkeitsvectoren ) في محاضرته التي ألقاها عام 1907 في غوتنغن بعنوان "مبدأ النسبية". ويشير سكوت والتر، في بحثه المنشور عام 1999 بعنوان "الأسلوب غير الإقليدي للنسبية المينكوفسكية" [ 17 ] ، إلى إدراك مينكوفسكي لهذا النموذج، لكنه ينسب أصوله إلى هيرمان هيلمهولتز وليس إلى فايرشتراس وكيلينغ.

في السنوات الأولى لنظرية النسبية، استخدم فلاديمير فاريتشاك نموذج القطع الزائد لشرح فيزياء السرعة. وفي خطابه أمام الاتحاد الرياضي الألماني عام 1912، أشار إلى إحداثيات فايرشتراس. [ 18 ]

انظر أيضاً

ملاحظات ومراجع

  1. 1 2 ألكسندر ماكفارلين (1894) أوراق بحثية في تحليل الفضاء ، بي. ويسترمان، نيويورك، رابط من موقع archive.org
  2. ^ القتل، و. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit Constanterpositr Krümmung" . مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik . 86 : 72 – 83.
  3. ^ القتل، و. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen" . مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik . 89 : 265 – 287.
  4. ^ القتل ، دبليو (1885). لا يوجد تقليد إقليدي . لايبزيغ.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  5. ↑ المعادلات التفاضلية الخطية ونظرية الزمر من ريمان إلى بوانكاريه (الصفحات 271،2)
  6. ^ بوانكاريه، هـ. (1881). "حول تطبيقات الهندسة غير الإقليدية على نظرية الأشكال التربيعية" (PDF) . الجمعية الفرنسية لتقدم العلوم . 10 : 132 – 138.
  7. ↑ انظر أيضًا بوانكاريه: حول الفرضيات الأساسية للهندسة 1887 الأعمال المجمعة المجلد 11، 71-91 والمشار إليه في كتاب بي إيه روزنفيلد تاريخ الهندسة غير الإقليدية ص 266 في النسخة الإنجليزية (سبرينغر 1988).
  8. ↑ كوكس، هـ. (1881). "الإحداثيات المتجانسة في الهندسة التخيلية وتطبيقها على أنظمة القوى" . المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 18 (70): 178-192 .
  9. ↑ كوكس، هـ. (1882) [1881]. "الإحداثيات المتجانسة في الهندسة التخيلية وتطبيقها على أنظمة القوى (تابع)" . المجلة الفصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 18 (71): 193-215 .
  10. ^ ليندمان، ف. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II . لايبزيغ. ص. 524 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  11. ^ جيرار ، ل. (1892). حول الهندسة غير الإقليدية . باريس: غوتييه فيلار.
  12. ^ هاوسدورف، ف. (1899). "الهندسة التحليلية". لايبزيغر الرياضيات - فيز. بيريشت . 51 : 161– 214. hdl : 2027/hvd.32044092889328 .
  13. ↑ وودز، إف إس (1905) [1903]. "أشكال الفضاء غير الإقليدي" . ندوة بوسطن: محاضرات في الرياضيات لعام 1903 : 31-74 .
  14. ^ ليبمان، هـ. (1905) [1904]. الهندسة Nichteuklidische . لايبزيغ: جوشن.
  15. ↑ Abbildung Hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. الرياضيات. جيزيلش هامبورغ 4: 409 – 440.
  16. ↑ رينولدز، ويليام ف. (1993) "الهندسة الزائدية على سطح زائد"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 100: 442-55 ، رابط JSTOR
  17. ↑ والتر، سكوت أ. ( 1999)، "النمط غير الإقليدي للنسبية المينكوفسكية" ، في ج. غراي (محرر)، الكون الرمزي: الهندسة والفيزياء 1890-1930 ، مطبعة جامعة أكسفورد، ص 91-127 
  18. ^ Varicak، V. (1912)، “حول التفسير غير الإقليدي للنظرية النسبية” ، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ، 21 : 103– 127