نقطة التوازن الزائدي

في دراسة الأنظمة الديناميكية ، تُعرف نقطة التوازن الزائدية أو النقطة الثابتة الزائدية بأنها نقطة ثابتة لا تحتوي على أي تشعبات مركزية . بالقرب من النقطة الزائدية ، تشبه مدارات نظام ثنائي الأبعاد غير مُبدد للطاقة القطوع الزائدة. إلا أن هذا لا ينطبق بشكل عام. ويشير ستروغاتز إلى أن "مصطلح زائدي اسم غير موفق - إذ يبدو وكأنه يعني ' نقطة سرجية ' - ولكنه أصبح شائعًا". ^{[ 1 ]} توجد عدة خصائص تنطبق على جوار النقطة الزائدية، أبرزها ^{[ 2 ]}

• يوجد فضاء متجانس مستقر وفضاء متجانس غير مستقر.
• يحدث التظليل ،
• يمكن تمثيل الديناميكيات على المجموعة الثابتة عبر الديناميكيات الرمزية ،
• يمكن تعريف مقياس طبيعي ،
• النظام مستقر هيكلياً .

لو${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$إذا كانت دالة ^{من الفئة} C1 و p نقطة ثابتة، فإن p تُسمى نقطة ثابتة زائدية عندما تكون مصفوفة جاكوبي${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$ليس لها قيم ذاتية على دائرة الوحدة المركبة.

أحد الأمثلة على الخرائط التي تكون نقطتها الثابتة الوحيدة زائدية هي خريطة قطة أرنولد :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

بما أن القيم الذاتية معطاة بواسطة

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

نعلم أن أسس ليابونوف هي:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1}$

لذلك، فهي نقطة سرجية.

يترك${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ليكن حقل متجه من الرتبة ^C1 له نقطة حرجة p ، أي F ( p ) = 0، ولتكن J مصفوفة جاكوبي لـ F عند p . إذا لم يكن للمصفوفة J قيم ذاتية ذات أجزاء حقيقية تساوي صفرًا، فإن p تُسمى نقطة زائدية . تُسمى النقاط الثابتة الزائدية أيضًا بالنقاط الحرجة الزائدية أو النقاط الحرجة الأولية . ^{[ 3 ]}

تنص نظرية هارتمان -جروبمان على أن بنية مدار النظام الديناميكي في جوار نقطة التوازن الزائدية مكافئة طوبولوجيًا لبنية مدار النظام الديناميكي الخطي .

في حالة النظام ذي الأبعاد اللانهائية - على سبيل المثال الأنظمة التي تتضمن تأخيرًا زمنيًا - يشير مفهوم "الجزء الزائدي من الطيف" إلى الخاصية المذكورة أعلاه.

• تدفق أنوسوف
• مجموعة زائدية
• مشعب ثابت زائدي عادةً

• يوجين م. إيزيكيفيتش (محرر). "التوازن" . سكولاربيديا .