الاستقرار الهيكلي

في الرياضيات ، يعتبر الاستقرار الهيكلي خاصية أساسية للنظام الديناميكي مما يعني أن السلوك النوعي للمسارات لا يتأثر بالاضطرابات الصغيرة (على وجه الدقة C ¹ - الاضطرابات الصغيرة).

من أمثلة هذه الخصائص النوعية عدد النقاط الثابتة والمدارات الدورية (ولكن ليس دوراتها). على عكس استقرار ليابونوف ، الذي يأخذ في الاعتبار اضطرابات الشروط الابتدائية لنظام ثابت، فإن الاستقرار البنيوي يتعامل مع اضطرابات النظام نفسه. تنطبق متغيرات هذا المفهوم على أنظمة المعادلات التفاضلية العادية ، وحقول المتجهات على المشعبات الملساء والتدفقات الناتجة عنها، والتشاكلات التفاضلية .

قدّم ألكسندر أندرونوف وليف بونترياغين مفهوم الأنظمة المستقرة بنيويًا عام 1937 تحت مسمى "الأنظمة الخشنة " . وقد أعلنا عن توصيف للأنظمة الخشنة في المستوى، وهو معيار أندرونوف-بونترياغين . في هذه الحالة، تكون الأنظمة المستقرة بنيويًا نموذجية ، إذ تُشكّل مجموعة مفتوحة كثيفة في فضاء جميع الأنظمة ذات الطوبولوجيا المناسبة. في الأبعاد الأعلى، لا يصحّ هذا، مما يشير إلى أن الديناميكيات النموذجية قد تكون معقدة للغاية (انظر: الجاذب الغريب ). تُقدّم تحويلات أنوسوف وتدفقاتها فئة مهمة من الأنظمة المستقرة بنيويًا في الأبعاد العشوائية. خلال أواخر الخمسينيات وأوائل الستينيات، قام ماوريسيو بيكسوتو وماريليا تشافيس بيكسوتو ، مدفوعين بعمل أندرونوف وبونترياغين، بتطوير وإثبات نظرية بيكسوتو ، وهي أول توصيف شامل للاستقرار البنيوي. ^{[ 1 ]}

ليكن G نطاقًا مفتوحًا في Rⁿ ذو إغلاق مضغوط وحدود ناعمة ^ذات ( n - 1) بُعد . لنعتبر الفضاء X₁ ( G ) الذي يتكون من قيود على G لحقول متجهة من ^{الفئة C₁} على Rⁿ ، ^تكون متعامدة على حدود G وموجهة نحو الداخل ^. هذا الفضاء مزود بالمقياس C₁ بالطريقة المعتادة. يُقال إن حقل متجه ^F ∈ X₁ ( G ⁾ مستقر بنيويًا ضعيفًا إذا كانت التدفقات المقابلة له، لأي اضطراب صغير كفاية F₁، متكافئة طوبولوجيًا على G : _يوجد تماثل طوبولوجي h : G → Gₙ يحول المسارات الموجهة لـ F إلى المسارات الموجهة لـ F₁ _. علاوة على ذلك، إذا كان من الممكن، لأي ε > 0، اختيار التماثل الطوبولوجي h ليكون قريبًا ^من C₀ε من دالة التطابق عندما _ينتمي F₁ إلى جوار مناسب لـ F يعتمد على ε ، فإن F يُسمى مستقرًا بنيويًا (بقوة) . يمكن تعميم هذه التعريفات بسهولة على حالة المشعبات الملساء المدمجة ذات الأبعاد λ ذات الحدود λ . وقد تناول أندرونوف وبونترياغين في الأصل الخاصية القوية. ويمكن تقديم تعريفات مماثلة للتشاكلات التفاضلية بدلاً من حقول المتجهات والتدفقات: في هذا السياق، يجب أن يكون التشاكل h اقترانًا طوبولوجيًا .

يتحقق التكافؤ الطوبولوجي مع فقدان السلاسة: لا يمكن أن يكون التطبيق h ، بشكل عام، تماثلًا تفاضليًا. علاوة على ذلك، على الرغم من أن التكافؤ الطوبولوجي يحترم المسارات الموجهة، إلا أنه، على عكس الاقتران الطوبولوجي، غير متوافق زمنيًا. وبالتالي، فإن المفهوم ذي الصلة بالتكافؤ الطوبولوجي هو إضعاف كبير للاقتران البسيط من الفئة ^C1 لحقول المتجهات. بدون هذه القيود، لا يمكن لأي نظام زمني مستمر ذي نقاط ثابتة أو مدارات دورية أن يكون مستقرًا بنيويًا. تشكل الأنظمة المستقرة بنيويًا بشكل ضعيف مجموعة مفتوحة في X1 ( G )، ولكن من غير المعروف ما إذا كانت الخاصية نفسها تنطبق في الحالة القوية ^.

تم تحديد الشروط اللازمة والكافية للاستقرار البنيوي لحقول المتجهات من الفئة ^C1 على القرص D ذي الوحدة ، المتعامدة مع الحدود، وعلى الكرة الثنائية S2 ^{، في الورقة البحثية التأسيسية لأندرونوف وبونترياغين. ووفقًا} لمعيار أندرونوف-بونترياغين ، تكون هذه الحقول مستقرة بنيويًا إذا وفقط إذا كان لها عدد محدود من النقاط الشاذة ( حالات التوازن ) والمسارات الدورية ( الدورات الحدية )، وجميعها غير متدهورة (زائدية)، ولا تحتوي على وصلات بين نقاط السرج. علاوة على ذلك، فإن المجموعة غير المتجولة للنظام هي تحديدًا اتحاد النقاط الشاذة والمدارات الدورية. وعلى وجه الخصوص، لا يمكن لحقول المتجهات المستقرة بنيويًا في بعدين أن تحتوي على مسارات متماثلة ، مما يعقد الديناميكيات بشكل كبير، كما اكتشف هنري بوانكاريه .

يمكن دراسة الاستقرار البنيوي لحقول المتجهات الملساء غير المنفردة على السطح الحلقي باستخدام النظرية التي طورها بوانكاريه وأرنو دينجوي . وباستخدام خريطة تكرار بوانكاريه ، يُختزل السؤال إلى تحديد الاستقرار البنيوي للتشاكلات التفاضلية للدائرة . وكنتيجة لنظرية دينجوي ، يكون التشاكل التفاضلي ƒ للدائرة ، المحفوظ للاتجاه من الفئة C2 ^، مستقرًا بنيويًا إذا وفقط إذا كان عدد دورانه نسبيًا، ρ ( ƒ ) = p / q ، وكانت المسارات الدورية، التي لها جميعًا دورة q ، غير متدهورة: أي أن ^مصفوفة جاكوبي لـ ƒq عند النقاط الدورية تختلف عن 1، انظر خريطة الدائرة .

اكتشف ديمتري أنوسوف أن التشاكلات الزائدية للسطح الحلقي، مثل خريطة قطة أرنولد ، مستقرة بنيويًا. ثم عمّم هذه النتيجة لتشمل فئة أوسع من الأنظمة، والتي تُعرف منذ ذلك الحين باسم التشاكلات التفاضلية لأنوسوف وتدفقات أنوسوف. ومن الأمثلة الشهيرة على تدفقات أنوسوف التدفق الجيوديسي على سطح ذي انحناء سالب ثابت، انظر بلياردو هادامارد .

يُبرر الاستقرار البنيوي للنظام تطبيق النظرية النوعية للأنظمة الديناميكية على تحليل الأنظمة الفيزيائية الملموسة. تعود فكرة هذا التحليل النوعي إلى أعمال هنري بوانكاريه حول مسألة الأجسام الثلاثة في علم الميكانيكا السماوية . وفي الفترة نفسها تقريبًا، درس ألكسندر ليابونوف بدقة استقرار الاضطرابات الصغيرة لنظام منفرد. عمليًا، لا يُعرف قانون تطور النظام (أي المعادلات التفاضلية) بدقة مطلقة، نظرًا لوجود تفاعلات صغيرة متعددة. لذا، من الأهمية بمكان معرفة أن السمات الأساسية للديناميكيات تبقى ثابتة لأي اضطراب صغير في النظام "النموذجي"، الذي يخضع تطوره لقانون فيزيائي معروف. طُوِّر التحليل النوعي لاحقًا على يد جورج بيركوف في عشرينيات القرن العشرين، لكنه رُسِّم رسميًا لأول مرة مع تقديم أندرونوف وبونترياغين لمفهوم النظام التقريبي عام ١٩٣٧. وطُبِّق هذا المفهوم فورًا على تحليل الأنظمة الفيزيائية ذات التذبذبات على يد أندرونوف وويت وخايكين. يُنسب مصطلح "الاستقرار البنيوي" إلى سولومون ليفشيتز ، الذي أشرف على ترجمة دراستهم إلى الإنجليزية. تبنى ستيفن سميل ومدرسته أفكار الاستقرار البنيوي في ستينيات القرن العشرين في سياق الديناميكا الزائدية. في وقت سابق، بدأ مارستون مورس وهسلر ويتني ، وطوّر رينيه ثوم، نظرية موازية للاستقرار للخرائط التفاضلية، والتي تُشكِّل جزءًا أساسيًا من نظرية التفرد . تصوَّر ثوم تطبيقات لهذه النظرية على الأنظمة البيولوجية. عمل كلٌّ من سميل وثوم على اتصال مباشر مع ماوريسيو بيكسوتو، الذي طوّر نظرية بيكسوتو في أواخر خمسينيات القرن العشرين.

عندما بدأ سميل بتطوير نظرية الأنظمة الديناميكية الزائدية، كان يأمل أن تكون الأنظمة المستقرة بنيويًا "نموذجية". كان هذا ليتوافق مع الوضع في الأبعاد المنخفضة: بُعدان للتدفقات وبُعد واحد للتشاكلات. مع ذلك، سرعان ما وجد أمثلة لحقول متجهة على مشعبات ذات أبعاد أعلى لا يمكن جعلها مستقرة بنيويًا باضطراب صغير جدًا (وقد بُنيت أمثلة كهذه لاحقًا على مشعبات ذات بُعد ثلاثة). هذا يعني أن الأنظمة المستقرة بنيويًا في الأبعاد الأعلى ليست كثيفة . إضافةً إلى ذلك، قد يمتلك النظام المستقر بنيويًا مسارات متجانسة عرضية لمدارات سرجية زائدية مغلقة وعددًا لا نهائيًا من المدارات الدورية، حتى وإن كانت فضاء الطور مضغوطًا. أقرب نظير ذي أبعاد أعلى للأنظمة المستقرة بنيويًا التي تناولها أندرونوف وبونترياغين هو أنظمة مورس-سميل .

• التوازن الداخلي
• الاستقرار الذاتي
• الاستقرار الفائق
• نظرية الاستقرار

• أندرونوف، ألكسندر أ . ليف س. بونترياجين (1988) [1937]. السادس أرنولد (محرر). "الأنظمة الغبية" [ الأنظمة الخشنة ] . الطرق الهندسية في نظرية المعادلات التفاضلية . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، 250. سبرينغر فيرلاغ، نيويورك. رقم ISBN 0-387-96649-8.
• دي في أنوسوف (2001) [1994]، "النظام التقريبي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• تشارلز بوغ وموريسيو ماتوس بيكسوتو (محرر). "الاستقرار الهيكلي" . سكولاربيديا .