الديناميكا الرمزية
في الرياضيات ، تُعنى الديناميكا الرمزية بدراسة الأنظمة الديناميكية المُعرَّفة على فضاء منفصل يتكون من متواليات لانهائية من الرموز المجردة. ويُعرَّف تطور النظام الديناميكي بأنه مجرد إزاحة للمتواليات.
بسبب طبيعتها الصريحة والمتقطعة، يسهل عادةً توصيف هذه الأنظمة وفهمها. وهي تُشكّل أداةً أساسيةً لدراسة الأنظمة الديناميكية الطوبولوجية أو السلسة ، لأنه في كثير من الحالات المهمة، يُمكن اختزال ديناميكيات نظام ديناميكي أكثر عمومية إلى نظام رمزي. وللقيام بذلك، يُستخدم تقسيم ماركوف لتوفير غطاء محدود للنظام السلس؛ حيث ترتبط كل مجموعة من مجموعات الغطاء برمز واحد، وتنتج متواليات الرموز عندما ينتقل مسار النظام من مجموعة غطاء إلى أخرى.
تاريخ
تعود الفكرة إلى ورقة جاك هادامارد البحثية عام 1898 حول الخطوط الجيوديسية على أسطح ذات انحناء سالب . [ 1 ] وقد طبقها مارستون مورس عام 1921 لإنشاء خط جيوديسي متكرر غير دوري. وقد أُجريت أعمال ذات صلة من قِبل إميل أرتين عام 1924 (للنظام المعروف الآن باسم بلياردو أرتين )، وبيكا ميربيرغ ، وبول كوبي ، وجاكوب نيلسن ، وجي إيه هيدلوند .
تم تطوير أول معالجة رسمية بواسطة مورس وهيدلوند في ورقتهم البحثية عام 1938. [ 2 ] قام جورج بيركوف ونورمان ليفينسون والزوج ماري كارترايت وجيه إي ليتلوود بتطبيق أساليب مماثلة على التحليل النوعي للمعادلات التفاضلية غير المستقلة من الدرجة الثانية .
استخدم كلود شانون التسلسلات الرمزية والتحولات من النوع المحدود في ورقته البحثية لعام 1948 بعنوان "نظرية رياضية للاتصال" والتي أدت إلى ظهور نظرية المعلومات .
خلال أواخر الستينيات، طُوِّرت طريقة الديناميكا الرمزية لتشمل التشاكلات الذاتية التورالية الزائدية بواسطة روي أدلر وبنيامين فايس ، [ 3 ] ولتشمل التشاكلات التفاضلية لأنوسوف بواسطة ياكوف سيناي الذي استخدم النموذج الرمزي لبناء مقاييس جيبس . [ 4 ] في أوائل السبعينيات، وُسِّعت النظرية لتشمل تدفقات أنوسوف بواسطة مارينا راتنر ، ولتشمل التشاكلات التفاضلية والتدفقات البديهية أ بواسطة روفوس بوين .
إن أحد التطبيقات المذهلة لأساليب الديناميكا الرمزية هو نظرية شاركوفسكي حول المدارات الدورية لخريطة متصلة لفترة زمنية داخل نفسها (1964).
أمثلة
لنفترض مجموعة المتتاليات اللانهائية ذات الجانبين على رمزين، 0 و 1. يبدو العنصر النموذجي في هذه المجموعة كما يلي: (..., 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, ... )
سيكون هناك نقطتان ثابتتان فقط تحت خريطة الإزاحة: سلسلة الأصفار، وسلسلة الآحاد. تتميز السلسلة الدورية بدورة مدارية. على سبيل المثال، السلسلة (..., 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) لها دورة مقدارها اثنان.
تُوصَف مفاهيم أكثر تعقيدًا، مثل المدارات غير المتجانسة والمدارات المتجانسة ، بوصف بسيط في هذا النظام. فعلى سبيل المثال، أي متتالية تحتوي على عدد محدود من الآحاد فقط سيكون لها مدار متجانس، يؤول إلى متتالية جميعها أصفار في التكرارات الأمامية والخلفية.
برنامج الرحلة
مسار النقطة بالنسبة للتقسيم هو سلسلة من الرموز. وهو يصف ديناميكية النقطة. [ 5 ]
التطبيقات
نشأت الديناميكا الرمزية كمنهج لدراسة الأنظمة الديناميكية العامة؛ وقد وجدت تقنياتها وأفكارها تطبيقاتٍ واسعة في تخزين البيانات ونقلها ، والجبر الخطي ، وحركة الكواكب، والعديد من المجالات الأخرى . السمة المميزة للديناميكا الرمزية هي قياس الزمن بفواصل زمنية منفصلة . لذا، يكون النظام في حالة معينة في كل فاصل زمني . ترتبط كل حالة برمز، ويُوصَف تطور النظام بسلسلة لانهائية من الرموز - ممثلة فعليًا كسلاسل نصية . إذا لم تكن حالات النظام منفصلة بطبيعتها، فيجب تقسيم متجه الحالة إلى أجزاء منفصلة، للحصول على وصف تقريبي للنظام.
انظر أيضاً
مراجع
- ^ هادامارد، ج. (1898). "Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques" (PDF) . جي الرياضيات. تطبيق بيور. (باللغة الفرنسية). 5 (4): 27-73 .
- ↑ مورس، م.؛ هيدلوند ، ج. أ. (1938). "الديناميكا الرمزية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 60 (4): 815-866 . doi : 10.2307/2371264 . JSTOR 2371264 .
- ↑ أدلر، ر.؛ فايس، ب. (1967). "الإنتروبيا، ثابت متري كامل للتشاكلات الذاتية للطورس" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 57 ( 6): 1573-1576 . رمز Bibcode : 1967PNAS...57.1573A . doi : 10.1073 / pnas.57.6.1573 . JSTOR 57985. PMC 224513. PMID 16591564 .
- ^ سيناء، ي. (1968). “بناء أقسام ماركوف”. وظيفية. شرجي. أنا بريلوزين . 2 (3): 70-80 .
- ↑ رياضيات التعقيد والأنظمة الديناميكية، تأليف روبرت أ. مايرز. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا، 2011، رقم ISBN 14614180549781461418054
للمزيد من القراءة
- هاو، بايلين (1989). الديناميكا الرمزية الأولية والفوضى في الأنظمة المبددة . وورلد ساينتيفيك . ISBN 9971-5-0682-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 5 ديسمبر 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 ديسمبر 2009 .
- بروس كيتشنز، الديناميكيات الرمزية. تحولات ماركوف أحادية الجانب، وثنائية الجانب، والحالات القابلة للعد . سلسلة Universitext، دار نشر سبرينغر ، برلين، 1998. 252 صفحة + x صفحة تمهيدية. ISBN 3-540-62738-3MR 1484730
- ليند، دوغلاس؛ ماركوس، برايان (1995). مقدمة في الديناميكيات الرمزية والترميز . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-55124-2MR 1369092. Zbl 1106.37301 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-06-2016 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 03-06-2005 .
- جي إيه هيدلوند، التشاكلات الداخلية والتشاكلات الذاتية لنظام الإزاحة الديناميكي . نظرية الأنظمة الرياضية، المجلد 3، العدد 4 (1969) 320 – 3751
- تيشل، جيرالد (2012). المعادلات التفاضلية العادية والأنظمة الديناميكية . بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- "الديناميكيات الرمزية" . موسوعة سكولاربيديا .
روابط خارجية
- الديناميكا الرمزية
- الأنظمة الديناميكية
- التوافقية في الكلمات