العامل الفائق

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الأعداد ، يُعرف العامل الفائق لعدد صحيح موجب.${\displaystyle n}$هو ناتج ضرب الأعداد من الشكل${\displaystyle x^{x}}$من${\displaystyle 1^{1}}$ل${\displaystyle n^{n}}$.

العامل الفائق لعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$هو ناتج الأرقام${\displaystyle 1^{1},2^{2},\dots ,n^{n}}$أي ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle H(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1).}$$ وفقًا للاتفاقية المعتادة للضرب الفارغ ، فإن مضروب العدد صفر هو 1. سلسلة المضروبات الفائقة، بدءًا من${\displaystyle H(0)=1}$، هو: ^{[ 1 ]}

بدأ هيرمان كينكلين ^{[ 3 ] [ 4 ]} وجيمس ويتبريد لي جلايشر ^{[ 5 ] [ 4 ]} بدراسة العوامل الفائقة في القرن التاسع عشر . وكما أوضح كينكلين، فإنه كما يمكن استكمال العوامل بشكل مستمر باستخدام دالة جاما ، يمكن استكمال العوامل الفائقة بشكل مستمر باستخدام دالة K.${\displaystyle K(n+1)=H(n)}$[ ^{3 ]​}

قدم غليشر صيغة تقاربية للمضروب الفائق، مماثلة لصيغة ستيرلينغ للمضروب: $${\displaystyle H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+\cdots \right)\!,}$$ أين${\displaystyle A\approx 1.28243}$هو ثابت غليشر-كينكلين . ^{[ 2 ] [ 5 ]}

وفقًا لنظير لنظرية ويلسون حول سلوك المضروب بتردد الأعداد الأولية ، عندما${\displaystyle p}$هو عدد أولي فردي$${\displaystyle H(p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}},}$$ أين${\displaystyle$ !!} هو رمز المضروب المزدوج . ^{[ 4 ]}

تُعطي العوامل الفائقة تسلسل المميزات لكثيرات حدود هيرميت في صياغتها الاحتمالية. ^{[ 1 ]}

• العامل الفائق

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "العامل الفائق" ، عالم الرياضيات