العامل المزدوج

عند تمديد المضروب العادي ليشمل دالة غاما ، فإنه يمتلك قطبًا عند كل عدد صحيح سالب، مما يمنع تعريف المضروب عند هذه الأعداد. مع ذلك، يمكن تمديد المضروب المزدوج للأعداد الفردية ليشمل أي عدد صحيح فردي سالب عن طريق عكس علاقة التكرار الخاصة به.$${\displaystyle n!!=n\times (n-2)!!}$$ لإعطاء $${\displaystyle n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.}$$ باستخدام هذه العلاقة التكرارية المعكوسة، فإن (−1)!! = 1 ، و (−3)!! = −1 ، و (−5)!! = 1/3 ؛ الأعداد الفردية السالبة ذات القيمة المطلقة الأكبر لها مضروب مزدوج كسري. ^{[ 1 ]} على وجه الخصوص، عندما يكون n عددًا فرديًا، فإن هذا يعطي$${\displaystyle (-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.}$$

بغض النظر عن التعريف أعلاه لـ n !! للقيم الزوجية لـ n ، يمكن تعميم المضروب المزدوج للأعداد الصحيحة الفردية على معظم الأعداد الحقيقية والمركبة z من خلال ملاحظة أنه عندما يكون z عددًا صحيحًا فرديًا موجبًا فإن ^{[ 16 ] [ 17 ]} 

$${\displaystyle {\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \Gamma (z)}$هي دالة غاما .

الصيغة النهائية مُعرَّفة لجميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الزوجية السالبة، ومقلوبها مُعرَّف جيدًا لجميع الأعداد المركبة . يحقق هذا المضروب المزدوج الشرط ( z + 2)!! = ( z + 2) · z !! في كل مكان يُعرَّف فيه. وكما هو الحال مع دالة غاما التي تُوسِّع دالة المضروب العادية، فإن دالة المضروب المزدوج هذه محدبة لوغاريتميًا وفقًا لنظرية بور-موليروب . تقاربيًا،${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$

الصيغة العامة${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}$لا تتفق هذه الصيغة مع صيغة الضرب السابقة لـ z !! بالنسبة لقيم z الصحيحة الزوجية غير السالبة . وبدلاً من ذلك، تشير هذه الصيغة المعممة إلى البديل التالي:  $${\displaystyle (2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,}$$ وقيمة 0!! في هذه الحالة هي

باستخدام هذه الصيغة العامة كتعريف، يمكن التعبير عن حجم كرة فائقة الأبعاد ذات نصف قطر R على النحو التالي ^{[ 18 ]}

$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,,}$$ بغض النظر عما إذا كان n زوجيًا أم فرديًا.

وبنفس الطريقة التي يعمم بها المضروب المزدوج مفهوم المضروب الأحادي ، فإن التعريف التالي لدوال المضروب المتعددة ذات القيم الصحيحة (المضروب المتعدد)، أو دوال المضروب α ، يوسع مفهوم دالة المضروب المزدوج للأعداد الصحيحة الموجبة.${\displaystyle \alpha }$:

$${\displaystyle n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>\alpha \,;\\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{and}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{ if }}n\leq 0{\text{ and is not a negative multiple of }}\alpha \,.\end{cases}}}$$

بدلاً من ذلك، يمكن تعميم العامل المتعدد z ! _{( α )} ليشمل معظم الأعداد الحقيقية والمركبة z من خلال ملاحظة أنه عندما يكون z أكبر بواحد من مضاعف موجب للعدد الصحيح الموجب α، فإن

$${\displaystyle {\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \Gamma (z)}$هي دالة غاما .

يُعرَّف هذا التعبير الأخير على نطاق أوسع بكثير من التعبير الأصلي. فكما أن z ! غير مُعرَّف للأعداد الصحيحة السالبة، و z ‼ غير مُعرَّف للأعداد الزوجية السالبة، فإن z ! _{( α )} غير مُعرَّف لمضاعفات α السالبة . مع ذلك، فهو مُعرَّف ويحقق ( z + α )! _{( α )} = ( z + α )· z ! _{( α )} لجميع الأعداد المركبة الأخرى z . يتوافق هذا التعريف مع التعريف السابق فقط للأعداد الصحيحة z التي تحقق z ≡ 1 mod α . هذه الصيغة محدبة لوغاريتميًا وفقًا لنظرية بور-موليروب.  

إضافةً إلى توسيع دالة z ! _{( α )} لتشمل معظم الأعداد المركبة z ، تتميز هذه الدالة بأنها صالحة لجميع القيم الحقيقية الموجبة لـ α . علاوة على ذلك، عندما α = 1 ، تكون هذه الدالة مكافئة رياضيًا للدالة Π ( z ) . كذلك، عندما α = 2 ، تكون هذه الدالة مكافئة رياضيًا للتوسيع البديل للمضروب المزدوج .  

يتم تعريف فئة من أعداد ستيرلينغ المعممة من النوع الأول لـ α > 0 بواسطة علاقة التكرار المثلثية التالية:

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.}$$

ثم تُولّد معاملات العاملية المعممة من الرتبة α نواتج كثيرات الحدود الرمزية المتميزة التي تُعرّف دوال العاملية المتعددة، أو دوال العاملية من الرتبة α ، ( x − 1)! _{( α )} ، كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}}$$

تحدد التوسعات متعددة الحدود المتميزة في المعادلات السابقة في الواقع منتجات العامل α لحالات متعددة متميزة لأقل البواقي x ≡ n ₀ mod α لـ n ₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1} .

تُعرَّف كثيرات الحدود المعممة من النوع α- العاملي ، σ ^{( α )} _n ( x ) حيث σ ⁽¹⁾ _n ( x ) ≡ σn ₍ x ) ، والتي تُعمِّم كثيرات حدود ستيرلينغ الالتفافية من حالة العاملي الواحد إلى حالات العوامل المتعددة، بواسطة

$${\displaystyle \sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}}$$

لـ 0 ≤ n ≤ x . تتميز هذه كثيرات الحدود بدالة توليد عادية مغلقة الشكل تُعطى بواسطة

$${\displaystyle \sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.}$$

تم تناول الخصائص التوافقية الأخرى وتوسعات هذه المثلثات العاملية المعممة من النوع α والمتتاليات متعددة الحدود في Schmidt (2010) . ^{[ 20 ]}

لنفترض أن n ≥ 1 و α ≥ 2 قيمتان صحيحتان. عندئذٍ، يمكننا توسيع المجاميع المحدودة المفردة التالية التي تتضمن الدوال متعددة العوامل، أو دوال العامل α ، ( αn − 1)! _{( α )} ، بدلالة رمز بوخامر ومعاملات ذات الحدين المعممة ذات القيم النسبية كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}}$$

وعلاوة على ذلك، لدينا بالمثل متسلسلات مجموع مزدوج لهذه الدوال معطاة بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}}$$

المجموعان الأولان أعلاه متشابهان في الشكل مع هوية توافقية غير دائرية معروفة لدالة العامل المزدوج عندما α  := 2 كما ورد في Callan (2009) .

$${\displaystyle (2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.}$$

يمكن الحصول على متطابقات مماثلة باستخدام قواعد نحوية خالية من السياق. ^{[ 21 ]} وقد قدم شميدت (2018 ) توسعات إضافية لمجموعات محدودة للتطابقات لدوال العاملية α ، ( αn − d ) ! _{( α )} ، بتردد أي عدد صحيح محدد h ≥ 2 لأي 0 ≤ d < α . ^{[ 22 ]}