مؤشر الاختلاف

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

مؤشر التباين هو مقياس ديموغرافي لمدى تجانس توزيع مجموعتين عبر المناطق الجغرافية المكونة لمنطقة أكبر. تكون المجموعة موزعة بالتساوي عندما تحتوي كل وحدة جغرافية على النسبة المئوية نفسها من أفراد المجموعة مقارنةً بإجمالي السكان. ويمكن تفسير قيمة المؤشر أيضًا على أنها النسبة المئوية لأفراد إحدى المجموعتين المشمولتين في الحساب والذين سيتعين عليهم الانتقال إلى مناطق جغرافية مختلفة لتحقيق توزيع يطابق توزيع المنطقة الأكبر. ويمكن استخدام مؤشر التباين كمقياس للفصل العنصري . تشير القيمة صفر (0%) إلى بيئة متكاملة تمامًا، بينما تشير القيمة 1 (100%) إلى فصل عنصري كامل. فعلى سبيل المثال، فيما يتعلق بالفصل العنصري بين السود والبيض، تعني القيمة 0.60 أن 60% من السود سيتعين عليهم تبادل أماكنهم مع البيض في وحدات أخرى لتحقيق توزيع جغرافي متساوٍ. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] مؤشر التباين ثابت بغض النظر عن الحجم النسبي للمجموعة.

الصيغة الأساسية

الصيغة الأساسية لمؤشر عدم التشابه هي:

د=12∑أنا=1شمال|أأناأ-بأناب|{\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {a_{i}}{A}}-{\frac {b_{i}}{B}}\right|}

حيث (مقارنة السكان السود والبيض، على سبيل المثال):

a i = عدد سكان المجموعة A في المنطقة i ، على سبيل المثال، المنطقة الإحصائية
A = إجمالي عدد السكان في المجموعة A في الكيان الجغرافي الكبير الذي يتم حساب مؤشر عدم التشابه له.
b i = عدد سكان المجموعة B في المنطقة i
B = إجمالي عدد السكان في المجموعة B في الكيان الجغرافي الكبير الذي يتم حساب مؤشر عدم التشابه له.

يُمكن تطبيق مؤشر التباين على أي متغير تصنيفي (سواء كان ديموغرافيًا أم لا)، وبفضل خصائصه البسيطة، يُعدّ مفيدًا لإدخاله في برامج التحليل متعدد الأبعاد والتجميع. وقد استُخدم على نطاق واسع في دراسة الحراك الاجتماعي لمقارنة توزيعات فئات المهن الأصلية (أو الوجهة).

مثال عددي

ضع في اعتبارك التوزيع التالي للسكان البيض والسود في مختلف الأحياء.

حيّأبيضأسوددأنا{\displaystyle D_{i}}
أ10050.066
ب100100.033
ج100100.033
المجموع300250.133

منظور الجبر الخطي

يمكن تبسيط صيغة مؤشر الاختلاف وجعلها أكثر دلالةً من خلال النظر إليها من منظور الجبر الخطي . لنفترض أننا ندرس توزيع الأغنياء والفقراء في مدينة ما (مثل لندن ). ولنفترض أن مدينتنا تحتوي علىشمال{\displaystyle N}الكتل:

{المربع 1،المربع 2،...،المربع ن}{\displaystyle \{{\text{block 1}},{\text{block 2}},\ldots ,{\text{block N}}\}}

لنقم بإنشاء متجهر{\displaystyle \mathbf {r} }وهذا يوضح عدد الأثرياء في كل حي من أحياء مدينتنا:

ر=[ر1،ر2،⋯،رشمال]{\displaystyle \mathbf {r} =[r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}]}

وبالمثل، لنقم بإنشاء متجهص{\displaystyle \mathbf {p} }وهذا يوضح عدد الفقراء في كل حي من أحياء مدينتنا:

ص=[ص1،ص2،⋯،صشمال]{\displaystyle \mathbf {p} =[p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}]}

والآن،ل1{\displaystyle L^{1}}المعيار-الموحد لمتجه هو ببساطة مجموع (مقدار) كل عنصر في ذلك المتجه. [ 5 ] أي، بالنسبة لمتجهv=[v1،v2،⋯،vشمال]{\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{N}]}لدينال1{\displaystyle L^{1}}-norm:

|v|1=∑أنا=1شمال|vأنا|{\displaystyle |\mathbf {v} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|v_{i}|}

إذا رمزناR{\displaystyle R}باعتبارنا العدد الإجمالي للأثرياء في مدينتنا، فإن هناك طريقة مختصرة لحساب ذلك.R{\displaystyle R}سيكون استخدامل1{\displaystyle L^{1}}-norm:

R=|ر|1=∑أنا=1شمال|رأنا|{\displaystyle R=|\mathbf {r} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|r_{i}|}

وبالمثل، إذا رمزناP{\displaystyle P}إذا كان العدد الإجمالي للفقراء في مدينتنا هو:

P=|ص|1=∑أنا=1شمال|صأنا|{\displaystyle P=|\mathbf {p} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|p_{i}|}

عندما نقسم متجهًاv{\displaystyle \mathbf {v} }وباستخدام معياره، نحصل على ما يسمى بالمتجه المعياري أو متجه الوحدةv^{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}:

v^=v|v|1{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |_{1}}}}

لنقم بتطبيع المتجه الغنير{\displaystyle \mathbf {r} }والمتجه الضعيفص{\displaystyle \mathbf {p} }:

ر^=ر|ر|1=رR{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |_{1}}}={\frac {\mathbf {r} }{R}}}

ص^=ص|ص|1=صP{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{|\mathbf {p} |_{1}}}={\frac {\mathbf {p} }{P}}}

وأخيرًا نعود إلى صيغة مؤشر عدم التشابه (د{\displaystyle D}); وهو ببساطة يساوي نصفل1{\displaystyle L^{1}}المعيار - لفرق المتجهاتر^{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}وص^{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}:

مؤشر عدم التشابه (بالتدوين الجبري الخطي)

د=12|ر^-ص^|1{\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}

مثال عددي

لنفترض مدينة تتكون من أربعة أحياء، كل حي منها يضم شخصين. أحد الأحياء يضم شخصين غنيين، وآخر يضم شخصين فقيرين، بينما يضم حيان آخران شخصًا غنيًا وآخر فقيرًا. ما هو مؤشر الاختلاف لهذه المدينة؟

مدينتنا الخيالية تتكون من 4 مربعات سكنية: مربع سكني واحد يحتوي على شخصين غنيين؛ وآخر يحتوي على شخصين فقيرين؛ ومربعان سكنيان يحتويان على شخص غني وشخص فقير.

أولاً، دعونا نجد المتجه الغنير{\displaystyle \mathbf {r} }ناقل ضعيفص{\displaystyle \mathbf {p} }:

ر=[2،0،1،1]{\displaystyle \mathbf {r} =[2,0,1,1]}

ص=[0،2،1،1]{\displaystyle \mathbf {p} =[0,2,1,1]}

والآن، دعونا نحسب العدد الإجمالي للأغنياء والفقراء في مدينتنا:

R=2+0+1+1=4{\displaystyle R=2+0+1+1=4}

P=0+2+1+1=4{\displaystyle P=0+2+1+1=4}

بعد ذلك، دعونا نقوم بتطبيع متجهات الأغنياء والفقراء:

ر^=رR=14[2،0،1،1]=[0.5،0،0.25،0.25]{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{R}}={\frac {1}{4}}[2,0,1,1]=[0.5,0,0.25,0.25]}

ص^=صP=14[0،2،1،1]=[0،0.5،0.25،0.25]{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{P}}={\frac {1}{4}}[0,2,1,1]=[0,0.5,0.25,0.25]}

يمكننا الآن حساب الفرقر^-ص^{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}}:

ر^-ص^=[0.5،0،0.25،0.25]-[0،0.5،0.25،0.25]=[0.5،-0.5،0،0]{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}=[0.5,0,0.25,0.25]-[0,0.5,0.25,0.25]=[0.5,-0.5,0,0]}

وأخيرًا، دعونا نجد مؤشر عدم التشابه (د{\displaystyle D}):

د=12|ر^-ص^|1=12(|0.5|+|-0.5|)=0.5{\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}(|0.5|+|-0.5|)=0.5}

التكافؤ بين الصيغ

يمكننا إثبات أن الصيغة الجبرية الخطية لـد{\displaystyle D}وهي مطابقة للصيغة الأساسية لـد{\displaystyle D}لنبدأ بالصيغة الجبرية الخطية:

د=12|ر^-ص^|1{\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}}

لنستبدل المتجهات المعياريةر{\displaystyle \mathbf {r} }وص{\displaystyle \mathbf {p} }مع:

د=12|رR-صP|1{\displaystyle D={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\mathbf {r} }{R}}-{\frac {\mathbf {p} }{P}}\right|_{1}}

وأخيرًا، من تعريفل1{\displaystyle L^{1}}-norm، نعلم أنه يمكننا استبداله بالمجموع:

د=12∑أنا=1شمال|رأناR-صأناP|{\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}

وهكذا نثبت أن صيغة الجبر الخطي لمؤشر عدم التشابه مكافئة للصيغة الأساسية له:

د=12|ر^-ص^|1=12∑أنا=1شمال|رأناR-صأناP|{\displaystyle D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|}

انعدام الفصل العنصري

عندما يكون مؤشر الاختلاف صفرًا، فهذا يعني أن المجتمع الذي ندرسه خالٍ من التمييز. على سبيل المثال، إذا كنا ندرس التمييز بين الأغنياء والفقراء في مدينة ما، فإذاد=0{\displaystyle D=0}وهذا يعني ما يلي:

  • لا توجد أحياء في المدينة تُعتبر "أحياء غنية"، ولا توجد أحياء في المدينة تُعتبر "أحياء فقيرة".
  • يوجد توزيع متجانس للأغنياء والفقراء في جميع أنحاء المدينة

إذا قمنا بتعييند=0{\displaystyle D=0}في الصيغة الجبرية الخطية، نحصل على الشرط اللازم لعدم وجود فصل عنصري:

ر^=ص^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }

على سبيل المثال، لنفترض أن لديك مدينة بها مربعان سكنيان. كل مربع سكني به 4 أشخاص أغنياء و100 شخص فقير:

ر=[4،4]{\displaystyle \mathbf {r} =[4,4]}

ص=[100،100]{\displaystyle \mathbf {p} =[100,100]}

ثم، يكون العدد الإجمالي للأثرياء هوR=4+4=8{\displaystyle R=4+4=8}ويبلغ إجمالي عدد الفقراء P=100+100=200{\displaystyle P=100+100=200}. هكذا:

ر^=[4/8،4/8]=[0.5،0.5]{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[4/8,4/8]=[0.5,0.5]}

ص^=[100/200،100/200]=[0.5،0.5]{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/200,100/200]=[0.5,0.5]}

لأنر^=ص^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }وبالتالي، فإن هذه المدينة خالية تماماً من التمييز العنصري.

كمثال آخر، لنفترض أن لديك مدينة بها 3 مربعات سكنية:

ر=[1،2،3]{\displaystyle \mathbf {r} =[1,2,3]}

ص=[100،200،300]{\displaystyle \mathbf {p} =[100,200,300]}

ثم لديناR=1+2+3=6{\displaystyle R=1+2+3=6}الأثرياء في مدينتنا، وP=100+200+300=600{\displaystyle P=100+200+300=600}الفقراء. وهكذا:

ر^=[1/6،2/6،3/6]{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =[1/6,2/6,3/6]}

ص^=[100/600،200/600،300/600]=[1/6،2/6،3/6]{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =[100/600,200/600,300/600]=[1/6,2/6,3/6]}

مرة أخرى، لأنر^=ص^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}} }وبالتالي، فإن هذه المدينة أيضاً خالية تماماً من التمييز العنصري.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "أنماط السكن: الملحق ب: مقاييس الفصل السكني" . Census.gov . مكتب الإحصاء الأمريكي . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أبريل 2022 .
  2. ↑ ماسي، دوغلاس س.؛ روثويل، جوناثان؛ دومينا، ثورستون (26 أكتوبر/تشرين الأول 2009). "الأسس المتغيرة للفصل العنصري في الولايات المتحدة" . حوليات الأكاديمية الأمريكية للعلوم السياسية والاجتماعية . 626 (1): 74-90 . doi : 10.1177/0002716209343558 . ISSN 0002-7162 . PMC 3844132. PMID 24298193 .   
  3. ↑ وايت، مايكل ج. (1986). " مقاييس الفصل والتنوع في توزيع السكان" . مؤشر السكان . 52 (2): 198-221 . doi : 10.2307/3644339 . ISSN 0032-4701 . JSTOR 3644339. PMID 12340704 .   
  4. ↑ ماسي، دوغلاس س.؛ دينتون، نانسي أ. (ديسمبر 1988). "أبعاد العزل السكني" . القوى الاجتماعية . 67 (2): 281. doi : 10.2307/2579183 . ISSN 0037-7732 . JSTOR 2579183 .  
  5. ↑ Wolfram MathWorld: L1 Norm