الطور والتردد اللحظي

في عام 1922، ووفقًا لناهين، عرّف جون رينشو كارسون التردد اللحظي للإشارة بأنه " المشتق الزمني لزاوية طور الإشارة". في تعديل التردد ، يصف التردد اللحظي التردد الذي يتغير أعلى وأسفل تردد الموجة الحاملة، عند تردد النغمة الصوتية. ^{[ 1 ]}

يُعدّ كلٌّ من الطور اللحظي والتردد من المفاهيم المهمة في معالجة الإشارات ، ويظهران في سياق تمثيل وتحليل الدوال المتغيرة مع الزمن. ^{[ 2 ]} الطور اللحظي (المعروف أيضًا بالطور المحلي أو ببساطة الطور ) لدالة ذات قيم مركبة s ( t ) هو الدالة ذات القيم الحقيقية :

${\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}$

حيث يمثل arg دالة الوسيط المركب . التردد اللحظي هو معدل التغير الزمني للطور اللحظي.

وبالنسبة للدالة الحقيقية s ( t )، يتم تحديدها من التمثيل التحليلي للدالة ، s _a ( t ): ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$يمثل تحويل هيلبرت لـ s ( t ).

عندما تُقيّد الدالة φ ( t ) بقيمتها الأساسية ، إما في الفترة [−π , π ] أو [ 0 , 2π ] ، تُسمى طورًا مُلتفًا . وإلا تُسمى طورًا غير مُلتف ، وهي دالة متصلة للمتغير t ، بافتراض أن s _{_a} ( t ) دالة متصلة لـ t . ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُستنتج الشكل المتصل.

يُعرَّف التردد الزاوي اللحظي على النحو التالي:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}$

ويُعرَّف التردد اللحظي (العادي) على النحو التالي:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}$

حيث يجب أن تكون φ ( t ) هي المرحلة غير الملفوفة ؛ وإلا، إذا كانت φ ( t ) ملفوفة، فإن الانقطاعات في φ ( t ) ستؤدي إلى نبضات ديراك دلتا في f ( t ).

العملية العكسية، التي تكشف دائماً عن الطور، هي:

$// )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{محاذاة}}}$

يمكن اشتقاق هذا التردد اللحظي، ω ( t )، مباشرة من الأجزاء الحقيقية والخيالية لـ sa ₍ t ) ، بدلاً من arg المركب دون القلق بشأن فك الطور.

${\displaystyle {\begin{align}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}[s_{\mathrm {a} }(t)]،{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{محاذاة}}}$

_{يمثل كل من 2m1π} و m2π مضاعفات صحيحة للعدد π اللازمة لفك الطور. عند قيم الزمن t ، حيث لا يوجد تغيير في العدد الصحيح m2 ، _تكون مشتقة φ ( t ) هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}$

بالنسبة للدوال ذات الزمن المتقطع، يمكن كتابة ذلك على شكل استدعاء ذاتي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}$

يمكن إزالة الانقطاعات بإضافة 2π عندما يكون Δφ [ n ] ≤ −π ، وطرح 2π عندما يكون Δφ [ n ] >  π . يسمح ذلك لـ φ [ n ] بالتراكم بلا حدود، مما ينتج عنه طور لحظي غير ملتف. الصيغة المكافئة التي تستبدل عملية باقي القسمة على 2π بعملية ضرب عددية مركبة هي: 

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}$

حيث تشير العلامة النجمية إلى المرافق المركب . التردد اللحظي المتقطع (بوحدات راديان لكل عينة) هو ببساطة تقدم الطور لتلك العينة.

${\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}$

في بعض التطبيقات، مثل حساب متوسط ​​قيم الطور في عدة لحظات زمنية، قد يكون من المفيد تحويل كل قيمة إلى عدد مركب، أو تمثيل متجهي: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}$

يشبه هذا التمثيل تمثيل الطور الملتف من حيث أنه لا يميز بين مضاعفات 2π في الطور، ولكنه يشبه تمثيل الطور غير الملتف لكونه متصلاً. ويمكن الحصول على متوسط ​​الطور المتجهي كقيمة وسيطة لمجموع الأعداد المركبة دون مراعاة الالتفاف.

• الإزاحة الزاوية
• إشارة تحليلية
• تعديل التردد
• تأخير جماعي
• السعة اللحظية
• التردد السلبي

• كوهين، ليون (1995). تحليل التردد الزمني . برنتيس هول.
• غرانلوند؛ كنوتسون (1995). معالجة الإشارات لرؤية الحاسوب . دار نشر كلوير الأكاديمية.