غلاف (أمواج)

في الفيزياء والهندسة ، يُعرَّف غلاف الإشارة المتذبذبة بأنه منحنى أملس يحدد أقصى قيمها. ^{[ 1 ]} وبذلك، يُعمِّم الغلاف مفهوم السعة الثابتة إلى سعة لحظية . يوضح الشكل موجة جيبية مُعدَّلة تتفاوت بين غلاف علوي وغلاف سفلي . قد تكون دالة الغلاف دالة للزمن أو المكان أو الزاوية أو أي متغير آخر.

تتمثل الحالة الشائعة التي تؤدي إلى دالة غلاف في كل من المكان x والزمن t في تراكب موجتين لهما نفس الطول الموجي والتردد تقريبًا: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

والتي تستخدم الصيغة المثلثية لجمع موجتين جيبيتين ، والتقريب  Δ λ  ≪ λ : 

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

هنا يتم إعطاء طول موجة التعديل λ _{mod بواسطة:} ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

لذا

أين

يبلغ طول موجة التضمين ضعف طول موجة الغلاف نفسها، لأن كل نصف طول موجة لموجة جيب التمام المضمنة يتحكم في كل من القيم الموجبة والسالبة لموجة الجيب المضمنة. وبالمثل، فإن تردد الخفقان هو تردد الغلاف، أي ضعف تردد موجة التضمين، أو 2Δf . ^{[ 4 ]}

إذا كانت هذه الموجة موجة صوتية، فإن الأذن تسمع التردد المرتبط بـ f ، ويتغير سعة هذا الصوت بتغير تردد الخفقان. ^{[ 4 ]}

سرعة الطور وسرعة المجموعة

إن حجج الدوال الجيبية المذكورة أعلاه، باستثناء العامل 2π ، هي:

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

مع الإشارة إلى الموجة الحاملة والموجة المغلفة بالرمزين السفليين C و E. ينتج عن القيمتين ξC و ξE نفس السعة F للموجة _، حيث _يمكن لكل منهما أن تعود إلى نفس القيمة عند اختيار قيم مختلفة لـ x و t ، ولكنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا . هذا الثبات يعني أنه يمكن تتبع هذه الموجات في الفضاء لإيجاد سرعة موضع ذي سعة ثابتة أثناء انتشاره مع الزمن؛ ولكي تبقى زاوية الموجة الحاملة ثابتة، يكون الشرط كالتالي:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

_{وهذا يُظهر أنه للحفاظ على سعة ثابتة ،} ترتبط المسافة Δx بالفترة الزمنية Δt بما يُسمى سرعة الطور vp

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

من ناحية أخرى، تُظهر نفس الاعتبارات أن الغلاف ينتشر بسرعة المجموعة المسماة v _g : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

يمكن الحصول على تعبير أكثر شيوعًا لسرعة المجموعة عن طريق إدخال متجه الموجة k :

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

نلاحظ أنه بالنسبة للتغيرات الصغيرة Δ λ ، فإن مقدار التغير الصغير المقابل في متجه الموجة، ولنقل Δ k ، هو:

$\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

لذا يمكن إعادة كتابة سرعة المجموعة على النحو التالي:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

حيث ω هي التردد بالراديان/ثانية: ω = 2πf . في جميع الأوساط، يرتبط التردد ومتجه الموجة بعلاقة تشتت ، ω = ω ( k )، ويمكن كتابة سرعة المجموعة على النحو التالي :

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

في وسط مثل الفراغ الكلاسيكي، تكون علاقة التشتت للموجات الكهرومغناطيسية كما يلي:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

حيث c₀ هي سرعة الضوء في الفراغ الكلاسيكي _. في هذه الحالة ، تكون سرعة الطور وسرعة المجموعة كلتاهما c₀ _.

في ما يُسمى بالأوساط المشتتة، قد تكون علاقة التشتت دالةً معقدةً لمتجه الموجة، ولا تتساوى سرعات الطور والمجموعة. على سبيل المثال، بالنسبة لأنواعٍ عديدةٍ من الموجات التي تُظهرها الاهتزازات الذرية ( الفونونات ) في زرنيخيد الغاليوم ( GaAs) ، تُظهر الصورة علاقات التشتت لاتجاهاتٍ مختلفةٍ لمتجه الموجة k . في الحالة العامة، قد يكون لسرعات الطور والمجموعة اتجاهاتٌ مختلفة. ^{[ 7 ]}

في فيزياء المادة المكثفة، يمكن التعبير عن دالة الطاقة الذاتية لحامل الشحنة المتحرك في البلورة على شكل موجة بلوخ :

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

حيث n هو مؤشر النطاق (على سبيل المثال، نطاق التوصيل أو نطاق التكافؤ)، و r هو الموقع المكاني، و k هو متجه الموجة . الدالة الأسية هي دالة متغيرة جيبيًا، تُقابل غلافًا متغيرًا ببطء يُعدِّل الجزء سريع التغير من دالة الموجة u( _{n , k)} ، واصفًا سلوك دالة الموجة بالقرب من نوى ذرات الشبكة البلورية. يقتصر الغلاف على قيم k ضمن نطاق محدد بمنطقة بريلوين للبلورة، وهذا يحد من سرعة تغيره مع الموقع r .

عند تحديد سلوك حاملات الشحنة باستخدام ميكانيكا الكم ، يُستخدم عادةً تقريب الغلاف ، حيث تُبسط معادلة شرودنغر لتشير فقط إلى سلوك الغلاف، وتُطبق الشروط الحدية على دالة الغلاف مباشرةً، بدلاً من تطبيقها على دالة الموجة الكاملة. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، تخضع دالة الموجة لحاملة شحنة محصورة بالقرب من شوائب لدالة غلاف F تحكم تراكب دوال بلوخ.

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

حيث تُحسب مركبات فورييه للغلاف F ( k ) من معادلة شرودنغر التقريبية. ^{[ 10 ]} في بعض التطبيقات، يُستبدل الجزء الدوري u_{_k} بقيمته بالقرب من حافة النطاق، ولنقل k = k_₀ ، ثم: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

تُحدد أنماط الحيود الناتجة عن الشقوق المتعددة بواسطة نمط الحيود الناتج عن الشق الواحد. بالنسبة للشق الواحد، يُعطى النمط بالمعادلة التالية: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

حيث α هي زاوية الحيود، وd هو عرض الشق، وλ هو الطول الموجي. بالنسبة للشقوق المتعددة، يكون النمط ^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

حيث q هو عدد الشقوق، و g هو ثابت المحزز. العامل الأول، وهو نتيجة الشق الواحد I ₁ ، يُعدّل العامل الثاني الذي يتغير بسرعة أكبر ويعتمد على عدد الشقوق والمسافة بينها.

كاشف الغلاف هو دائرة تحاول استخراج الغلاف من إشارة تناظرية .

في معالجة الإشارات الرقمية ، يمكن تقدير الغلاف باستخدام تحويل هيلبرت أو سعة RMS المتحركة . ^{[ 12 ]}

• إشارة تحليلية §  غلاف/نطاق أساسي معقد
• تحليل الوضع التجريبي
• ظرف (رياضيات)
• تتبع المغلفات
• المرحلة اللحظية
• تعديل
• رياضيات التذبذب
• ذروة طاقة الغلاف
• الغلاف الطيفي

تتضمن هذه المقالة مواد من مقالة Citizendium بعنوان " وظيفة المغلف "، والتي تم ترخيصها بموجب رخصة Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported ولكنها ليست مرخصة بموجب رخصة GFDL .