التردد السلبي

لعلّ أشهر تطبيق للتردد السلبي هو الصيغة التالية:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}$

وهو مقياس للطاقة في الوظيفة${\displaystyle f(t)}$بتردد${\displaystyle \omega .}$عند تقييمها ضمن سلسلة متصلة من الحجج${\displaystyle \omega ,}$تُسمى النتيجة تحويل فورييه . ^{[ أ ]}

على سبيل المثال، لننظر إلى الدالة التالية:

${\displaystyle f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.}$

و:

$\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}}$

لاحظ أنه على الرغم من أن معظم الدوال لا تتكون من موجات جيبية ذات مدة لا نهائية، إلا أن هذا التبسيط المثالي هو تبسيط شائع لتسهيل الفهم.

بالنظر إلى الحد الأول من هذه النتيجة، عندما${\displaystyle \omega =\omega _{1},}$التردد السلبي${\displaystyle -\omega _{1}}$يلغي التردد الموجب، ويترك فقط المعامل الثابت${\displaystyle A_{1}}$(لأن${\displaystyle e^{i0t}=e^{0}=1}$مما يؤدي إلى تباعد التكامل اللانهائي. عند قيم أخرى لـ${\displaystyle \omega }$تتسبب التذبذبات المتبقية في تقارب التكامل إلى الصفر. وعادةً ما يُكتب تحويل فورييه المثالي هذا على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).}$

بالنسبة للفترات الزمنية الواقعية، تكون حالات التباعد والتقارب أقل حدة، وتظهر حالات تقارب أصغر غير صفرية ( تسرب طيفي ) عند العديد من الترددات الأخرى، لكن مفهوم التردد السالب لا يزال ساريًا. تتطلب الصيغة الأصلية لفورييه ( تحويل الجيب وتحويل جيب التمام ) تكاملًا لجيب التمام وآخر للجيب. وغالبًا ما تكون التعبيرات المثلثية الناتجة أقل قابلية للمعالجة من التعبيرات الأسية المركبة. (انظر الإشارة التحليلية ، صيغة أويلر §  العلاقة بعلم المثلثات ، والطور ).