الضرب المعقد

في الرياضيات ، يُعرف الضرب المركب ( CM ) بأنه نظرية المنحنيات الإهليلجية E التي تمتلك حلقة تشاكل داخلي أكبر من الأعداد الصحيحة . ^{[ 1 ]} بعبارة أخرى، يتضمن نظرية الدوال الإهليلجية ذات التناظرات الإضافية، كما هو واضح عندما تكون شبكة الدورة هي شبكة غاوس للأعداد الصحيحة أو شبكة أيزنشتاين للأعداد الصحيحة .

لها جانب ينتمي إلى نظرية الدوال الخاصة ، لأن هذه الدوال الإهليلجية، أو الدوال الأبيلية لعدة متغيرات عقدية ، تُعد دوالًا "خاصة جدًا" تحقق متطابقات إضافية وتأخذ قيمًا خاصة قابلة للحساب بشكل صريح عند نقاط معينة. وقد أصبحت أيضًا موضوعًا محوريًا في نظرية الأعداد الجبرية ، مما سمح بنقل بعض سمات نظرية الحقول الدائرية إلى مجالات تطبيق أوسع. ويُقال إن ديفيد هيلبرت قد لاحظ أن نظرية الضرب العقدي للمنحنيات الإهليلجية لم تكن فقط أجمل جزء في الرياضيات، بل في جميع العلوم. ^{[ 2 ]}

هناك أيضًا نظرية الضرب المعقدة ذات الأبعاد الأعلى للأصناف الأبيلية A التي تحتوي على عدد كافٍ من التشكلات الداخلية بمعنى دقيق معين، تقريبًا أن التأثير على الفضاء المماسي عند عنصر الوحدة لـ A هو مجموع مباشر للوحدات أحادية البعد .

لنفترض حقلًا تربيعيًا تخيليًا${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$دالة إهليلجية${\displaystyle f}$يُقال إن للضرب المركب علاقة جبرية بين${\displaystyle f(z)}$و${\displaystyle f(\lambda z)}$للجميع${\displaystyle \lambda }$في${\displaystyle K}$.

وعلى النقيض من ذلك، افترض كرونكر - فيما أصبح يُعرف باسم حلم كرونكر للشباب - أن كل امتداد أبيلي لـ${\displaystyle K}$يمكن الحصول على هذه النتيجة من خلال (جذور) معادلة منحنى إهليلجي مناسب باستخدام الضرب المركب. وحتى يومنا هذا، لا تزال هذه إحدى الحالات القليلة من مسألة هيلبرت الثانية عشرة التي تم حلها بالفعل.

مثال على منحنى إهليلجي مع ضرب مركب هو

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

حيث Z [ i ] هي حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، و θ أي عدد عقدي غير صفري. أي سطح حلقي عقدي من هذا النوع يحتوي على حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية كحلقة تشاكل داخلي. من المعروف أن المنحنيات المقابلة يمكن كتابتها جميعًا على النحو التالي:

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$، والتي من الواضح أنها تحتوي على اثنين من التشاكلات الذاتية المترافقة من الرتبة 4 ترسل

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

بما يتماشى مع تأثير i على الدوال الإهليلجية لـ Weierstrass .

وبشكل أعم، لنأخذ في الاعتبار الشبكة Λ، وهي مجموعة جمعية في المستوى المركب، المتولدة بواسطة${\displaystyle \أوميغا _{1},\أوميغا _{2}}$ثم نُعرّف دالة فايرشتراس للمتغير${\displaystyle z}$في${\displaystyle \mathbb {C} }$على النحو التالي:

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

و

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

يترك${\displaystyle \wp '}$يكون مشتقًا من${\displaystyle \wp }$ثم نحصل على تماثل بين مجموعات لي المعقدة:

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

من مجموعة الطارة المعقدة${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$إلى المنحنى الإهليلجي الإسقاطي المحدد في الإحداثيات المتجانسة بواسطة

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

وحيث تُعتبر النقطة عند اللانهاية، وهي العنصر الصفري لقانون المجموعة للمنحنى الإهليلجي، اصطلاحًا${\displaystyle (0:1:0)}$إذا كانت الشبكة التي تحدد المنحنى الإهليلجي محفوظة بالفعل تحت الضرب بواسطة (ربما حلقة فرعية مناسبة من) حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ل${\displaystyle K}$ثم حلقة التشاكلات التحليلية لـ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$اتضح أنه متماثل مع هذه الحلقة (الفرعية).

إذا أعدنا الكتابة${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$أين${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$و${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$، ثم

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

هذا يعني أن الثابت j لـ${\displaystyle E}$هو عدد جبري - يقع في${\displaystyle K}$- لو${\displaystyle E}$تتضمن عملية ضرب معقدة.

يمكن أن تكون حلقة التشكلات الداخلية لمنحنى إهليلجي من أحد الأشكال الثلاثة التالية: الأعداد الصحيحة Z ؛ أو ^رتبة في حقل عدد تربيعي تخيلي ؛ أو رتبة في جبر رباعي محدد على Q. [ ^{3 ]}

عندما يكون حقل التعريف حقلاً منتهياً ، توجد دائماً تشاكلات داخلية غير تافهة لمنحنى إهليلجي، ناتجة عن تطبيق فروبينيوس ، لذا فإن كل منحنى من هذا النوع يمتلك عملية ضرب عقدي (وهذا المصطلح نادر الاستخدام). أما عندما يكون الحقل الأساسي حقلاً عددياً، فإن الضرب العقدي يُعد استثناءً. ومن المعروف أن حالة الضرب العقدي، بشكل عام، هي الأصعب حلاً في حدسية هودج .

افترض كرونكر لأول مرة أن قيم الدوال الإهليلجية عند نقاط الالتواء كافية لتوليد جميع الامتدادات الأبيلية للحقول التربيعية التخيلية، وهي فكرة تعود في بعض الحالات إلى أيزنشتاين ، بل وحتى إلى غاوس . عُرفت هذه الفكرة باسم " حلم كرونكر اليافعي" ؛ وهي بالتأكيد ما دفع هيلبرت إلى ملاحظته المذكورة أعلاه، إذ أنها تُجسد نظرية حقل الفئات بشكل صريح ، كما تفعل جذور الوحدة بالنسبة للامتدادات الأبيلية لحقل الأعداد النسبية ، وذلك عبر قانون شيمورا التبادلي .

في الواقع، ليكن K حقلاً تربيعياً تخيلياً مع حقل فئات H. وليكن E منحنى إهليلجياً مع ضرب عقدي بأعداد صحيحة من K ، معرفاً على H. عندئذٍ، يتم توليد الامتداد الأبلي الأقصى لـ K بواسطة الإحداثيات x لنقاط ذات رتبة منتهية على نموذج فايرشتراس ما ^لـ E على H. ^{[ 4} ]

لقد تم البحث عن العديد من التعميمات لأفكار كرونكر؛ ومع ذلك فهي تقع بشكل غير مباشر إلى حد ما على المحور الرئيسي لفلسفة لانجلاندز ، ولا يوجد بيان نهائي معروف حاليًا.

ليس من قبيل المصادفة أن ثابت رامانوجان ، وهو العدد المتعالي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

أو ما يعادل ذلك،

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

هو عدد شبه صحيح ، بمعنى أنه قريب جدًا من العدد الصحيح . ^{[ 6 ]} تُفسَّر هذه الحقيقة اللافتة للنظر بنظرية الضرب المركب، بالإضافة إلى بعض المعرفة بالأشكال النمطية ، وحقيقة أن

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

هو مجال تحليل فريد .

هنا${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$تحقق المعادلة α² = α ^- 41. بشكل عام ، يرمز S [ α ] إلى مجموعة جميع التعبيرات متعددة الحدود في α ذات المعاملات في S ، وهي أصغر حلقة تحتوي على α و S. ولأن α تحقق هذه المعادلة التربيعية، يمكن حصر كثيرات الحدود المطلوبة في الدرجة الأولى.

بدلاً عن ذلك،

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

بنية داخلية ناتجة عن متسلسلات أيزنشتاين معينة ، ومع تعبيرات بسيطة مماثلة لأعداد هيجنر الأخرى .

إن النقاط الواقعة في النصف العلوي من المستوى τ ، والتي تُقابل نسب دورات المنحنيات الإهليلجية على الأعداد المركبة مع الضرب المركب، هي تحديدًا الأعداد التربيعية التخيلية. ^{[ 7 ]} أما الثوابت المعيارية المقابلة j ( τ ) فهي المعاملات المفردة ، وهي مصطلحات قديمة كانت تُشير فيها كلمة "مفرد" إلى خاصية امتلاك تشاكلات داخلية غير تافهة، وليس إلى منحنى مفرد . ^{[ 8 ]}

الدالة النمطية j ( τ ) جبرية على الأعداد التربيعية التخيلية τ : ^{[ 9 ]} هذه هي الأعداد الجبرية الوحيدة في النصف العلوي من المستوى المركب التي تكون j جبرية بالنسبة لها. ^{[ 10 ]}

إذا كانت Λ شبكة ذات نسبة دورية τ، فإننا نكتب j (Λ) بدلاً من j ( τ ). وإذا كانت Λ مثالية a في حلقة الأعداد الصحيحة OK لحقل تخيلي تربيعي K، _فإننا نكتب j ( a ) بدلاً من المعامل المفرد المقابل. تكون القيم j ( a ) أعدادًا جبرية حقيقية، وتولد حقل هيلبرت H لـ K : درجة امتداد الحقل [ H : K ] = h هي عدد فئات K ، و H / K هو امتداد غالوا مع زمرة غالوا متماثلة مع زمرة فئات المثالية لـ K. تؤثر زمرة الفئات على القيم j ( a ) من خلال [ b ]  : j ( a ) → j ( ab ).

على وجه الخصوص، إذا كان K له رقم الفئة واحد، فإن j ( a ) = j ( O ) هو عدد صحيح نسبي: على سبيل المثال، j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

• رمز هيك الجبري
• نقطة هيجنر
• المسألة الثانية عشرة لهيلبرت
• مجموعة لوبين-تيت الرسمية ، الحقول المحلية
• Drinfeld shtuka ، حالة حقل الدالة العامة
• برهان وايلز على نظرية فيرما الأخيرة

• الضرب المركب من موقع PlanetMath.org
• أمثلة على المنحنيات الإهليلجية مع الضرب المركب من موقع PlanetMath.org
• ريبيت، كينيث أ. (أكتوبر 1995). "تمثيلات غالوا والأشكال النمطية". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 32 (4): 375-402 . arXiv : math/9503219 . CiteSeerX 10.1.1.125.6114 . doi : 10.1090/s0273-0979-1995-00616-6 . S2CID 16786407 .