منحنى الشدة-المدة-التردد

هناك عدد كبير من المناهج التجريبية التي تربط بين الشدة ( I ) والمدة ( t ) وفترة العودة ( p )، بدءًا من مطابقة قوانين القوة مثل:

• صيغة شيرمان، ^{[ 8 ]} بثلاثة معلمات ( a و c و n )، وهي دالة لفترة العودة، p : 

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}}$

• صيغة تشاو، ^{[ 9 ]} أيضًا بثلاثة معلمات ( a و c و n )، لفترة عودة معينة p :

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}}$

• قانون القوة وفقًا لأباريسيو (1997)، ^{[ 10 ]} مع أربعة معلمات ( a ، c ، m و n )، تم تعديلها بالفعل لجميع فترات العودة ذات الأهمية:

${\displaystyle I(t,p)=a\cdot {\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}}$

في علم الأرصاد الجوية المائية ، قانون القوة البسيط (بأخذ${\displaystyle \ c=0}$يُستخدم ) كمقياس للبنية الزمنية لهطول الأمطار: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}}}=I_{o}\left({\frac {t_{o}}{t}}\right)^{n}}$

أين${\displaystyle \ I_{o}}$يُعرَّف بأنه شدة مرجعية لفترة زمنية محددة${\displaystyle \ t_{o}}$، أي${\displaystyle \ a=I_{o}t_{o}^{n}}$، و${\displaystyle \ n}$هو مُعامل لا بُعدي يُعرف باسم مؤشر n . ^{[ 2 ] [ 3 ]} في حالة هطول الأمطار، يُطلق على ما يُعادل منحنى شدة-مدة-تكرار هطول الأمطار اسم منحنى متوسط ​​الشدة القصوى (MAI). ^{[ 11 ]}

للحصول على منحنيات IDF من توزيع احتمالي ،${\displaystyle \ F(x)}$من الضروري عزل الكمية الإجمالية أو عمق الحدث رياضياً${\displaystyle \ x}$وهو ما يرتبط ارتباطًا مباشرًا بمتوسط ​​الشدة${\displaystyle \ I}$ والمدة${\displaystyle \ t}$، بحسب المعادلة${\displaystyle \ x=It}$ومنذ فترة العودة${\displaystyle p}$يُعرَّف بأنه معكوس${\displaystyle \ 1-F(x)}$، الوظيفة${\displaystyle \ f(p)}$يُحسب كمعكوس لـ${\displaystyle \ F(x)}$، وفق:

${\displaystyle It=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(It)}}}$

• قانون القوة مع فترة العودة، المشتق من توزيع باريتو ، لمدة ثابتة${\displaystyle \ t}$:

${\displaystyle \ I(p)=kp^{m}\quad \Leftarrow \quad F(It)=1-\left({\frac {kt}{It}}\right)^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}}$

حيث تم إعادة تعريف ثابت توزيع باريتو على النحو التالي${\displaystyle \ k'=kt}$وبما أنه توزيع صالح لفترة زمنية محددة للحدث، فقد تم اعتباره كذلك.${\displaystyle \ x=It}$.

• دالة مشتقة من توزيع باريتو المعمم ، لفترة زمنية محددة${\displaystyle \ t}$:

${\displaystyle I(p)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{m}}\cdot (p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{إذا كان }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{إذا كان }}m=0.\end{cases}}}$

لاحظ ذلك بالنسبة لـ${\displaystyle \ m>0}$y${\displaystyle \ \mu ={\frac {\sigma }{m}}}$، يسترجع توزيع باريتو المعمم الشكل البسيط لتوزيع باريتو، مع${\displaystyle \ k'={\frac {\sigma }{m}}}$ومع ذلك، مع${\displaystyle \ m=0}$يتم استرجاع التوزيع الأسي .

• الدالة المستنتجة من توزيع غامبل وتوزيع غامبل المعاكس ، لفترة زمنية محددة${\displaystyle \ t}$:

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln(\ln p)\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$