توزيع غامبل

يُعد توزيع غامبل القياسي هو الحالة التي${\displaystyle \mu =0}$و${\displaystyle \beta =1}$باستخدام دالة التوزيع التراكمي

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}}\,}$

ودالة كثافة الاحتمال

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

في هذه الحالة، المنوال هو 0، والوسيط هو${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$، المتوسط ​​هو${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$( ثابت أويلر-ماسكيروني )، والانحراف المعياري هو${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

تُعطى العزوم التراكمية ، عندما يكون n  > 1، بالصيغة التالية: 

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}$

تتضمن العديد من مسائل الرياضيات المتقطعة دراسة معلمة قصوى تتبع نسخة متقطعة من توزيع غامبل. ^{[ 4 ] [ 5 ]} هذه النسخة المتقطعة هي قانون${\displaystyle Y=\lceil X\rceil }$، أين${\displaystyle X}$يتبع توزيع غامبل المستمر${\displaystyle \mathrm {غامبل} (\mu ,\beta )}$وبناءً على ذلك، فإن هذا يعطي${\displaystyle P(Y\leq h)=\exp(-\exp(-(h-\mu )/\beta ))}$لأي${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$.

يدل على${\displaystyle \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$أما النسخة المنفصلة، ​​فلدى المرء${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \mathrm {DGumbel} (\mu ,\beta )}$و${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \mathrm {DGumbel} (\mu -1,\beta )}$.

لا توجد صيغة مغلقة معروفة للمتوسط ​​أو التباين (أو العزوم ذات الرتب العليا) لتوزيع غامبل المتقطع، ولكن من السهل الحصول على تقييمات عددية عالية الدقة عبر مجاميع لانهائية متقاربة بسرعة. على سبيل المثال، ينتج عن ذلك${\displaystyle {\mathbb {E} [\mathrm {DGumbel} (0,1)]=1.077240905953631072609...}$، لكن يبقى إيجاد صيغة مغلقة لهذا الثابت مشكلة مفتوحة (من المحتمل ألا يكون هناك صيغة مغلقة).

يقدم أغويش، وألثاغافي، وبانديرييه ^{[ 4 ]} حدودًا مختلفة تربط بين النسختين المتقطعة والمتصلة لتوزيع غامبل، ويشرحون بالتفصيل (باستخدام طرق من تحويل ميلين ) الظواهر التذبذبية التي تظهر عند وجود سلسلة من المتغيرات العشوائية.${\displaystyle \lfloor Y_{n}-c\ln n\rfloor }$يتقارب مع توزيع غامبل المنفصل.

• لو${\displaystyle X}$إذا كان توزيع غامبل، فإن التوزيع الشرطي لـ${\displaystyle Y=-X}$بشرط${\displaystyle Y}$موجب، أو ما يعادله بالنظر إلى أن${\displaystyle X}$إذا كانت سالبة، فإنها تتبع توزيع جومبيرتز . دالة التوزيع التراكمي${\displaystyle G}$ل${\displaystyle Y}$يرتبط بـ${\displaystyle F}$، دالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle X}$، وفقًا للصيغة${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$ل${\displaystyle y>0}$وبالتالي، ترتبط الكثافات بالعلاقة التالية:${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$: كثافة جومبيرتز تتناسب مع كثافة جامبل المنعكسة، والمقتصرة على نصف الخط الموجب. ^{[ 6 ]}
• لو${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (1)}$إذا كان متغيرًا موزعًا أُسّيًا بمتوسط ​​1، فإن${\displaystyle \mu -\beta \log(X)\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$.
• لو${\displaystyle U\sim \mathrm {الزي الرسمي} (0,1)}$إذا كان متغيرًا موزعًا توزيعًا منتظمًا على الفترة [0]، فإن${\displaystyle \mu -\beta \log(-\log(U))\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$.
• لو${\displaystyle X\sim \mathrm {غامبل} (\alpha _{X},\beta )}$و${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.${\displaystyle XY\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$(انظر التوزيع اللوجستي ).
• على الرغم من ذلك، إذا${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$إذا كانوا مستقلين، فإنهم كذلك.${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة من خلال ملاحظة أن${\displaystyle \mathbb {E} (X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\mathbb {E} \left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$(أين${\displaystyle \gamma }$(حيث يمثل ثابت أويلر-ماسكيروني). بدلاً من ذلك، يمكن تقريب توزيع التراكيب الخطية لمتغيرات غامبل العشوائية المستقلة بواسطة توزيعات GNIG و GIG. ^{[ 7 ]}

توفر النظرية المتعلقة بتوزيع لوغاريتم جاما متعدد المتغيرات المعمم نسخة متعددة المتغيرات من توزيع غامبل.

أظهر غامبل أن القيمة القصوى (أو إحصائية الرتبة الأخيرة ) في عينة من المتغيرات العشوائية التي تتبع التوزيع الأسي مطروحًا منها اللوغاريتم الطبيعي لحجم العينة ^{[ 8 ]} تقترب من توزيع غامبل مع زيادة حجم العينة. ^{[ 9 ]}

بشكل ملموس، دع${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$ليكن التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$توزيعها التراكمي. ثم القيمة القصوى من بين${\displaystyle N}$تحقيقات${\displaystyle x}$أصغر من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كانت جميع النتائج أصغر من${\displaystyle X}$إذن، التوزيع التراكمي للقيمة القصوى${\displaystyle {\tilde {x}}}$يرضي

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}$

وبالنسبة للكبيرة${\displaystyle N}$، يتقارب الجانب الأيمن إلى${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}$

لذلك، في علم المياه ، يُستخدم توزيع غامبل لتحليل متغيرات مثل القيم القصوى الشهرية والسنوية لهطول الأمطار اليومي وأحجام تصريف الأنهار، ^{[ 3 ]} وكذلك لوصف حالات الجفاف. ^{[ 10 ]}

أظهر غامبل أيضًا أن المُقدِّر r ⁄ ( n +1) لاحتمالية وقوع حدث ما - حيث r هو رتبة القيمة المرصودة في سلسلة البيانات و n هو العدد الإجمالي للمشاهدات - هو مُقدِّر غير متحيز للاحتمالية التراكمية حول منوال التوزيع. لذلك، يُستخدم هذا المُقدِّر غالبًا كموقع رسم بياني .

• غالباً ما يكون من المهم التنبؤ بالاحتمالات لبيانات خارج العينة بافتراض أن كلاً من بيانات التدريب وبيانات خارج العينة تتبع توزيع غامبل.
• تتجاهل التنبؤات بالاحتمالات الناتجة عن استبدال تقديرات الاحتمال الأقصى لمعاملات غامبل في دالة التوزيع التراكمي عدم اليقين في هذه المعاملات. ونتيجة لذلك، لا تكون الاحتمالات دقيقة ، ولا تعكس ترددات الأحداث خارج العينة، وعلى وجه الخصوص، تقلل من تقدير احتمالات أحداث الذيل خارج العينة. ^{[ 11 ]}
• تُزيل التنبؤات المُولَّدة باستخدام المنهج البايزي الموضوعي لمعايرة التنبؤ المسبق هذا التقليل من شأن التوزيع تمامًا. يُعد توزيع غامبل أحد التوزيعات الإحصائية العديدة ذات البنية الجماعية ، والتي تنشأ لأن غامبل نموذج مكان-مقياس . ونتيجةً لهذه البنية الجماعية، يرتبط توزيع غامبل بمقياسي هار أيمن وأيسر . يُعطي استخدام مقياس هار الأيمن كمقياس مسبق (يُعرف باسم مقياس هار الأيمن المسبق) في التنبؤ البايزي احتمالات مُعايرة بدقة تامة، لأي قيم حقيقية للمعلمات الأساسية. ^{[ 12 ] [ 11 ] [ 13 ]} تُنفَّذ معايرة التنبؤ المسبق لتوزيع غامبل باستخدام مقياس هار الأيمن المسبق المناسب في حزمة برامج R المسماة fitdistcp. ^{[ 14 ]}

في علم التوافيق ، يظهر توزيع غامبل المتقطع كتوزيع حدي لوقت الفوز في مسألة جامع القسائم . وقد أثبت لابلاس هذه النتيجة لأول مرة عام 1812 في كتابه "النظرية التحليلية للاحتمالات" ، مسجلاً بذلك أول ظهور تاريخي لما سيُعرف لاحقاً بتوزيع غامبل.

في نظرية الأعداد ، يقوم توزيع غامبل بتقريب عدد الحدود في تقسيم عشوائي لعدد صحيح ^{[ 15 ]} بالإضافة إلى الأحجام المعدلة للاتجاه للفجوات الأولية القصوى والفجوات القصوى بين مجموعات الأعداد الأولية . ^{[ 16 ]}

في نظرية الاحتمالات ، يظهر ذلك على أنه توزيع أقصى ارتفاع تصل إليه المسارات المنفصلة (على الشبكة)${\displaystyle {\mathbb {N} }^{2}}$)، حيث يمكن إعادة ضبط العملية إلى نقطة البداية في كل خطوة. ^{[ 4 ]}

في تحليل الخوارزميات ، يظهر ذلك، على سبيل المثال، في دراسة انتشار الحمل الأقصى في القاعدة-${\displaystyle b}$خوارزميات الجمع. ^{[ 17 ]}

في العصور التي سبقت ظهور البرمجيات، استُخدمت ورقة الاحتمالات لتصوير توزيع غامبل (انظر الرسم التوضيحي). وتستند هذه الورقة إلى خطية دالة التوزيع التراكمي.${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln(-\ln(F))={\frac {x-\mu }{\beta }}}$

في هذه الورقة، تم إنشاء المحور الأفقي بمقياس لوغاريتمي مزدوج، بينما المحور الرأسي خطي. من خلال رسم${\displaystyle F}$على المحور الأفقي للورقة و${\displaystyle x}$- عند تمثيل المتغير على المحور الرأسي، يتم تمثيل التوزيع بخط مستقيم ميله 1${\displaystyle /\beta }$عندما أصبح برنامج ملاءمة التوزيع متاحًا، أصبحت مهمة رسم التوزيع أسهل.

في مجال التعلم الآلي ، يُستخدم توزيع غامبل أحيانًا لتوليد عينات من التوزيع الفئوي . تُسمى هذه التقنية "حيلة غامبل-ماكس" وهي مثال خاص على " حيل إعادة التحديد ". ^{[ 18 ]}

بالتفصيل، دعنا${\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$ليكن غير سالب، وليس كله أصفار، وليكن${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$لنفترض أن لدينا عينات مستقلة من توزيع غامبل (0، 1)، واحتمالية المتغير العشوائي${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})}$يمكن حسابها عن طريق التكامل الروتيني،$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})=j)={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}$$إنه،${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$

وبعبارة أخرى، بالنظر إلى أي${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$يمكننا أخذ عينات من توزيع بولتزمان الخاص به عن طريق

$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i})=j)={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}$$وتشمل المعادلات ذات الصلة ما يلي: ^{[ 19 ]}

• لو${\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$، ثم${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$.
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$.
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$أي أن توزيع غامبل هو عائلة توزيعات مستقرة قصوى.
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}$