التفسير (نظرية النموذج)

في نظرية النماذج ، يُعد تفسير بنية M في بنية أخرى N (عادةً ما تكون ذات توقيع مختلف ) مفهومًا تقنيًا يُقارب فكرة تمثيل M داخل N. على سبيل المثال، لكل اختزال أو توسيع تعريفي لبنية N تفسير في N.

تُحفظ العديد من خصائص نظرية النماذج في ظل قابلية التفسير. على سبيل المثال، إذا كانت نظرية N مستقرة وكان M قابلاً للتفسير في N ، فإن نظرية M تكون مستقرة أيضاً.

تجدر الإشارة إلى أنه في مجالات أخرى من المنطق الرياضي ، قد يشير مصطلح "التفسير" إلى بنية ما ، ^{[ 1 ] [ 2 ]} بدلاً من استخدامه بالمعنى المحدد هنا. هذان المفهومان للتفسير مرتبطان ولكنهما متميزان. وبالمثل، قد يشير مصطلح " قابلية التفسير " إلى مفهوم ذي صلة ولكنه متميز يتعلق بتمثيل الجمل وإمكانية إثباتها بين النظريات.

تفسير بنية M في بنية N ذات معلمات (أو بدون معلمات ، على التوالي) هو زوج${\displaystyle (n,f)}$حيث n عدد طبيعي و${\displaystyle f}$هي دالة شاملة من مجموعة جزئية من N ^إلى M بحيث${\displaystyle f}$-الصورة السابقة (بشكل أدق)${\displaystyle f^{k}}$الصورة العكسية (-preimage) لكل مجموعة X  ⊆ M ^k قابلة للتعريف في M بصيغة من الدرجة الأولى بدون معلمات، قابلة للتعريف (في N ) بصيغة من الدرجة الأولى مع معلمات (أو بدون معلمات، على التوالي) . بما أن قيمة n لتفسير ما ${\displaystyle (n,f)}$غالباً ما يتضح ذلك من السياق، الخريطة${\displaystyle f}$ويُطلق على نفسه أيضاً اسم التفسير.

للتحقق من أن الصورة العكسية لكل مجموعة قابلة للتعريف (بدون معلمات) في M قابلة للتعريف في N (مع أو بدون معلمات)، يكفي التحقق من الصور العكسية للمجموعات القابلة للتعريف التالية:

• نطاق M ؛
• قطر M ² ؛​​
• كل علاقة في توقيع M ؛
• الرسم البياني لكل دالة في توقيع M.

في نظرية النماذج، يشير مصطلح "قابل للتعريف" غالبًا إلى قابلية التعريف باستخدام المعاملات؛ وإذا ما تم استخدام هذا الاصطلاح، فإن قابلية التعريف بدون معاملات تُعبَّر عنها بمصطلح "قابل للتعريف من الرتبة صفر" . وبالمثل، يمكن الإشارة إلى التفسير الذي يتضمن معاملات ببساطة على أنه تفسير، وإلى التفسير الذي لا يتضمن معاملات على أنه تفسير من الرتبة صفر .

إذا كانت L وM و N ثلاث بنى، وتم تفسير L في M، وتم تفسير M في N، فإنه يمكن بطبيعة الحال بناء تفسير مركب لـ L في N. وإذا تم تفسير بنيتين M و N في بعضهما البعض، فإنه من خلال الجمع بين التفسيرين بطريقتين ممكنتين، نحصل على تفسير لكل من البنيتين في ذاتها. تسمح هذه الملاحظة بتعريف علاقة تكافؤ بين البنى، تذكرنا بتكافؤ التماثل بين الفضاءات الطوبولوجية .

تكون بنيتان M و N قابلة للتفسير الثنائي إذا كان هناك تفسير لـ M في N وتفسير لـ N في M بحيث يمكن تعريف التفسيرات المركبة لـ M في حد ذاتها ولـ N في حد ذاتها في M و N على التوالي (يتم اعتبار التفسيرات المركبة كعمليات على M و N ).

يُقدّم التطبيق الجزئي f من Z × Z إلى Q، الذي يُحوّل ( x , y ) إلى x / y إذا كان y ≠ 0، تفسيرًا لحقل الأعداد النسبية Q في حلقة الأعداد الصحيحة Z ( وبالتحديد، التفسير هو (2, f )). في الواقع، يُستخدم هذا التفسير تحديدًا غالبًا لتعريف الأعداد النسبية. ولإثبات أنه تفسير (بدون معاملات)، يكفي التحقق من الصور العكسية التالية للمجموعات القابلة للتعريف في Q :    

• يتم تعريف الصورة العكسية لـ Q بواسطة الصيغة φ( x , y ) المعطاة بواسطة ¬ ( y = 0)؛    
• يتم تعريف الصورة العكسية لقطر Q بواسطة الصيغة φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ) المعطاة بواسطة x ₁ × y ₂ = x ₂ × y ₁ ؛
• يتم تعريف الصور العكسية لـ 0 و 1 بواسطة الصيغ φ( x , y ) المعطاة بواسطة x = 0 و x = y ؛     
• يتم تعريف الصورة العكسية للرسم البياني للجمع بواسطة الصيغة φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ ) المعطاة بواسطة x ₁ × y ₂ × y ₃ + x ₂ × y ₁ × y ₃ = x ₃ × y ₁ × y ₂ ؛
• يتم تعريف الصورة العكسية لرسم بياني الضرب بواسطة الصيغة φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ ) المعطاة بواسطة x ₁ × x ₂ × y ₃ = x ₃ × y ₁ × y ₂ .

• أهلبراندت، جيزيلا؛ زيغلر، مارتن (1986)، "نظريات فئوية كلية قابلة للتأصيل البديهي شبه المحدود"، حوليات المنطق البحت والتطبيقي ، 30 : 63-82 ، doi : 10.1016/0168-0072(86)90037-0
• هودجز، ويلفريد (1997)، نظرية نموذجية مختصرة ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-58713-6(القسم  4.3)
• بويزات، برونو (2000)، دورة في نظرية النماذج ، سبرينغر ، رقم ISBN 978-0-387-98655-5(القسم  9.4)