التحليل الثابت للدوال التفاضلية الخطية ذات التوزيعات غير الخطية

يُعدّ تحليل المؤثر التفاضلي الجزئي الخطي (LPDO) مسألةً بالغة الأهمية في نظرية التكامل، وذلك بفضل تحويلات لابلاس-داربو ^{[ 1 ]} التي تُتيح بناء معادلات تفاضلية جزئية خطية قابلة للتكامل. وقد حلّ لابلاس مسألة التحليل لمؤثر زائدي ثنائي المتغيرات من الرتبة الثانية (انظر: المعادلة التفاضلية الجزئية الزائدية )، مُنشئًا ثابتين من ثوابت لابلاس. كل ثابت من ثوابت لابلاس هو شرط متعدد الحدود صريح للتحليل؛ ومعاملات هذا متعدد الحدود هي دوال صريحة لمعاملات المؤثر التفاضلي الجزئي الخطي الأولي. تُسمى شروط التحليل متعددة الحدود بالثوابت لأنها تتخذ الشكل نفسه للمؤثرات المتكافئة (أي ذاتية الترافق).

تحليل بيالز-كارتاشوفا (يُسمى أيضًا تحليل BK) هو إجراء بنائي لتحليل مؤثر ثنائي المتغيرات من أي رتبة وشكل . وبالمثل، فإن شروط التحليل في هذه الحالة لها أيضًا شكل متعدد الحدود، وهي ثوابت، وتتطابق مع ثوابت لابلاس للمؤثرات الزائدية ثنائية المتغيرات من الرتبة الثانية. إجراء التحليل جبري بحت، ويعتمد عدد التحليلات الممكنة على عدد الجذور البسيطة لكثير الحدود المميز (يُسمى أيضًا الرمز) لمؤثر LPDO الأولي ومؤثرات LPDO المختزلة التي تظهر في كل خطوة من خطوات التحليل. فيما يلي وصف لإجراء التحليل لمؤثر ثنائي المتغيرات من أي شكل، من الرتبتين 2 و3. صيغ تحليل صريحة لمؤثر من الرتبة${\displaystyle n}$يمكن العثور عليها في ^{[ 2 ]} يتم تعريف الثوابت العامة في ^{[ 3 ]} ويتم تقديم الصيغة الثابتة لتحليل بيالز-كارتاشوفا في ^{[ 4 ].}

تعريف العوامل${\displaystyle {\mathcal {A}}}$،${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$تُعتبر متكافئة إذا كان هناك تحويل قياسي ينقل إحداها إلى الأخرى:

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}g=e^{-\varphi }{\mathcal {A}}(e^{\varphi }g).}$

يُعد تحليل BK إجراءً جبريًا بحتًا يسمح بإنشاء تحليل صريح لمصفوفة LPDO من أي رتبة.${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$ على شكل

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j+k\leq n}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}={\mathcal {L}}\circ \sum _{j+k\leq (n-1)}p_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}}$

مع عامل من الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{x}-\omega \partial _{y}+p}$أين${\displaystyle \omega }$هو جذر بسيط اختياري لكثير الحدود المميز

${\displaystyle {\mathcal {P}}(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k,k}t^{n-k},\quad {\mathcal {P}}(\omega )=0.}$

يصبح التحليل إلى عوامل ممكناً لكل جذر بسيط${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$إذا

ل${\displaystyle n=2\ \ \rightarrow l_{2}=0,}$

ل${\displaystyle n=3\ \ \rightarrow l_{3}=0,l_{31}=0,}$

ل${\displaystyle n=4\ \ \rightarrow l_{4}=0,l_{41}=0,l_{42}=0,}$

وهكذا. جميع الوظائف${\displaystyle l_{2},l_{3},l_{31},l_{4},l_{41},\ \ l_{42},...}$هي وظائف معروفة، على سبيل المثال،

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},}$

${\displaystyle l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},}$

${\displaystyle l_{31}=a_{01}-{\mathcal {L}}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9},}$

وهكذا دواليك.

نظرية جميع الدوال

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},....}$

هي ثوابت تحت تحويلات القياس.

تعريف الثوابت${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},.....}$تُسمى هذه المتغيرات بالثوابت المعممة لمؤثر ثنائي المتغيرات من رتبة عشوائية.

في حالة خاصة للمؤثر الزائدي ثنائي المتغيرات، تتطابق ثوابته المعممة مع ثوابت لابلاس (انظر ثابت لابلاس ).

نتيجة لذلك، إذا كان المشغل${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$إذا كان العنصر قابلاً للتحليل إلى عوامل، فإن جميع العوامل المكافئة له تكون قابلة للتحليل إلى عوامل أيضاً.

من السهل حساب المعاملات المتكافئة:

${\displaystyle e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }=\partial _{x}+\varphi _{x},\quad e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=\partial _{y}+\varphi _{y},}$

${\displaystyle e^{-\varphi }\partial _{x}\partial _{y}e^{\varphi }=e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=(\partial _{x}+\varphi _{x})\circ (\partial _{y}+\varphi _{y})}$

وهكذا. فيما يلي بعض الأمثلة:

${\displaystyle A_{1}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+1=\partial _{x}(\partial _{y}+x),\quad l_{2}(A_{1})=1-1-0=0;}$

${\displaystyle A_{2}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+\partial _{y}+x+1,\quad A_{2}=e^{-x}A_{1}e^{x};\quad l_{2}(A_{2})=(x+1)-1-x=0;}$

${\displaystyle A_{3}=\partial _{x}\partial _{y}+2x\partial _{x}+(y+1)\partial _{y}+2(xy+x+1),\quad A_{3}=e^{-xy}A_{2}e^{xy};\quad l_{2}(A_{3})=2(x+1+xy)-2-2x(y+1)=0;}$

${\displaystyle A_{4}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+(\cos x+1)\partial _{y}+x\cos x+x+1,\quad A_{4}=e^{-\sin x}A_{2}e^{\sin x};\quad l_{2}(A_{4})=0.}$

يُعدّ تحليل المؤثر الخطوة الأولى في حلّ المعادلة المناظرة له. لكنّ الحلّ يتطلّب عوامل يمنى ، ويُوفّر تحليل BK عوامل يسرى يسهل الحصول عليها. من جهة أخرى، يُكافئ وجود عامل يميني مُعيّن لمؤثر LPDO وجود عامل يميني مُناظر له في منقولة ذلك المؤثر.

أ- النقل${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}}$من مشغل ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha },\qquad \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}.}$ يُعرَّف بأنه ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}u=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(a_{\alpha }u).}$ والهوية ${\displaystyle \partial ^{\gamma }(uv)=\sum {\binom {\gamma }{\alpha }}\partial ^{\alpha }u,\partial ^{\gamma -\alpha }v}$ يشير ذلك إلى أن ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}=\sum (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}(\partial ^{\beta }a_{\alpha +\beta })\partial ^{\alpha }.}$

المعاملات الآن هي

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}=\sum {\tilde {a}}_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$${\displaystyle {\tilde {a}}_{\alpha }=\sum (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta }(a_{\alpha +\beta }).}$

مع وجود اصطلاح قياسي لمعاملات ذات الحدين في عدة متغيرات (انظر معامل ذات الحدين )، على سبيل المثال في متغيرين.

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {(\alpha _{1},\alpha _{2})}{(\beta _{1},\beta _{2})}}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\,{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}.}$

وخاصة بالنسبة للمشغل${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$المعاملات هي ${\displaystyle {\tilde {a}}_{jk}=a_{jk},\quad j+k=2;{\tilde {a}}_{10}=-a_{10}+2\partial _{x}a_{20}+\partial _{y}a_{11},{\tilde {a}}_{01}=-a_{01}+\partial _{x}a_{11}+2\partial _{y}a_{02},}$

${\displaystyle {\tilde {a}}_{00}=a_{00}-\partial _{x}a_{10}-\partial _{y}a_{01}+\partial _{x}^{2}a_{20}+\partial _{x}\partial _{x}a_{11}+\partial _{y}^{2}a_{02}.}$

على سبيل المثال، المشغل

${\displaystyle \partial _{xx}-\partial _{yy}+y\partial _{x}+x\partial _{y}+{\frac {1}{4}}(y^{2}-x^{2})-1}$

يمكن تحليلها إلى عوامل كما يلي:

${\displaystyle {\big [}\partial _{x}+\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y-x){\big ]}\,{\big [}...{\big ]}}$

ومنقولها${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}^{t}}$ إذن، يمكن تحليلها إلى عوامل كما يلي: ${\displaystyle {\big [}...{\big ]}\,{\big [}\partial _{x}-\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y+x){\big ]}.}$

• المشتق الجزئي
• ثابت (رياضيات)
• نظرية الثوابت
• متعددة الحدود المميزة

• جيه فايس. تحول باكلوند وخاصية Painlevé.J. Math. Phys. 27 , 1293-1305 (1986).
• ر. بيالز، إ. كارتاشوفا. التحليل البنّاء للمؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية في متغيرين. الرياضيات النظرية والفيزياء 145 (2)، ص 1510-1523 (2005)
• إي. كارتاشوفا. تسلسل هرمي للثوابت المعممة للمؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية. الفيزياء الرياضية النظرية 147 (3)، ص 839-846 (2006)
• إي. كارتاشوفا، أو. رودينكو. الشكل الثابت لتحليل BK وتطبيقاته. وقائع مؤتمر GIFT-2006، الصفحات  225-241، المحررون: ج. كالميت، ر. و. تاكر، مطبعة جامعة كارلسروه (2006)؛ arXiv