نظرية الثوابت

نظرية الثوابت هي فرع من الجبر المجرد، تُعنى بدراسة تأثيرات الزمر على المتنوعات الجبرية ، مثل الفضاءات المتجهة، من منظور تأثيرها على الدوال. تقليديًا، تناولت هذه النظرية مسألة الوصف الصريح للدوال متعددة الحدود التي لا تتغير (أي الثابتة ) تحت التحويلات من زمرة خطية معينة . على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى تأثير الزمرة الخطية الخاصة SLⁿ على فضاء المصفوفات من الرتبة n × n بالضرب من اليسار، فإن المحدد يكون ثابتًا لهذا التأثير، لأن محدد _AX يساوي محدد X ، عندما تكون A في SLⁿ _.

يترك${\displaystyle G}$كن مجموعة ، و${\displaystyle V}$فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة فوق حقل${\displaystyle k}$(والتي كان يُفترض عادةً في نظرية الثوابت الكلاسيكية أنها الأعداد المركبة ). تمثيل لـ${\displaystyle G}$في${\displaystyle V}$هو تماثل زمر${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$، مما يحفز عملاً جماعياً من${\displaystyle G}$على${\displaystyle V}$. لو${\displaystyle k[V]}$هو فضاء الدوال متعددة الحدود على${\displaystyle V}$ثم العمل الجماعي لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle V}$ينتج عنه إجراء على${\displaystyle k[V]}$وفقًا للصيغة التالية:

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].}$

مع هذا الإجراء، من الطبيعي النظر في الفضاء الجزئي لجميع الدوال متعددة الحدود التي تظل ثابتة تحت تأثير هذه المجموعة، أو بعبارة أخرى مجموعة متعددات الحدود التي${\displaystyle g\cdot f=f}$للجميع${\displaystyle g\in G}$يُرمز إلى فضاء كثيرات الحدود الثابتة هذا بـ${\displaystyle k[V]^{G}}$.

المسألة الأولى في نظرية الثوابت : ^{[ 1 ]} هل${\displaystyle k[V]^{G}}$جبر مولد بشكل منتهي على${\displaystyle k}$؟

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle G=SL_{n}}$و${\displaystyle V=M_{n}}$فضاء المصفوفات المربعة، وتأثير${\displaystyle G}$على${\displaystyle V}$يُعطى بالضرب من اليسار، ثم${\displaystyle k[V]^{G}}$هي متماثلة مع جبر كثيرات الحدود في متغير واحد، مُوَلَّد بواسطة المحدد. بعبارة أخرى، في هذه الحالة، كل كثيرة حدود ثابتة هي توليفة خطية من قوى كثيرة حدود المحدد. لذا في هذه الحالة،${\displaystyle k[V]^{G}}$يتم توليدها بشكل محدود على${\displaystyle k}$.

تمت الإجابة على المشكلة الأولى لنظرية الثوابت بالإيجاب في عمومية واسعة تشمل حالة مجموعة منتهية تعمل على فضاء فوق حقل ذي خاصية صفرية، انظر نظريات هيلبرت أدناه.

إذا كانت حلقة الثوابت مولدة توليدًا منتهيًا، فإن السؤال التالي هو إيجاد أساس أدنى. وثمة سؤال آخر طُرح: إذا كان لدينا أساس بحجم${\displaystyle n}$، هي وحدة العلاقات متعددة الحدود بين عناصر الأساس (المعروفة باسم العلاقات التناظرية ) المولدة بشكل نهائي على حلقة متعددات الحدود في${\displaystyle n}$المتغيرات. وقد تمت الإجابة على السؤال الأخير بالإيجاب بشكل عام تمامًا بفضل نظرية أساس هيلبرت .

ترتبط نظرية الثوابت للمجموعات المنتهية ارتباطًا وثيقًا بنظرية غالوا . ومن أولى النتائج الرئيسية النظرية الأساسية حول الدوال المتناظرة التي وصفت ثوابت المجموعة المتناظرة.${\displaystyle S_{n}}$التأثير على حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}}$عن طريق تباديل المتغيرات. وبشكل أعم، تُحدد نظرية شيڤالي-شيبارد-تود خصائص الزمر المنتهية التي يكون جبر ثوابتها حلقة متعددة الحدود. ويركز البحث الحديث في نظرية الثوابت للزمر المنتهية على النتائج "الفعّالة"، مثل الحدود الصريحة لدرجات المولدات. وتُعد حالة الخاصية الموجبة ، القريبة أيديولوجيًا من نظرية التمثيل النمطي ، مجالًا للدراسة النشطة، ولها صلات بالطوبولوجيا الجبرية .

ترتبط نظرية الثوابت للمجموعات اللانهائية ارتباطًا وثيقًا بتطور الجبر الخطي ، ولا سيما نظريات الأشكال التربيعية والمحددات . ومن المواضيع الأخرى ذات التأثير المتبادل القوي الهندسة الإسقاطية ، حيث كان يُتوقع أن تلعب نظرية الثوابت دورًا رئيسيًا في تنظيم المادة. ومن أبرز جوانب هذه العلاقة الطريقة الرمزية . وتستند نظرية تمثيل مجموعات لي شبه البسيطة إلى نظرية الثوابت .

أدى عمل ديفيد هيلبرت حول مسألة التوليد المحدود لجبر الثوابت (1890) إلى نشأة فرع رياضي جديد، هو الجبر المجرد. تناولت ورقة بحثية لاحقة لهيلبرت (1893) المسائل نفسها بأساليب أكثر بنائية وهندسية، لكنها ظلت غير معروفة تقريبًا حتى أعاد ديفيد مومفورد إحياء هذه الأفكار في ستينيات القرن العشرين، بصورة أكثر عمومية وحداثة، في نظريته الهندسية للثوابت . وبفضل تأثير مومفورد إلى حد كبير، يُنظر إلى موضوع نظرية الثوابت على أنه يشمل نظرية تأثيرات الزمر الجبرية الخطية على الأصناف الأفينية والإسقاطية . وقد طوّر جيان كارلو روتا ومدرسته فرعًا متميزًا من نظرية الثوابت، يعود إلى الأساليب البنائية والتوافقية الكلاسيكية في القرن التاسع عشر . ومن الأمثلة البارزة على هذه الدائرة الفكرية نظرية أحاديات الحدود القياسية .

تأتي الأمثلة البسيطة لنظرية الثوابت من حساب أحاديات الحدود الثابتة الناتجة عن تأثير المجموعة. على سبيل المثال، لننظر إلى${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$- إجراء بشأن${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$إرسال

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

ثم، بما أن${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$لدينا أن الحدود الأحادية ذات الدرجة الأدنى والتي تبقى ثابتة.

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

يشكل هذا المثال الأساس لإجراء العديد من العمليات الحسابية.

وضع كايلي نظرية الثوابت لأول مرة في بحثه "حول نظرية التحويلات الخطية (1845)". وفي مقدمة بحثه، أرجع كايلي الفضل إلى بحث لجورج بول نُشر عام 1841 ، قائلاً: "لقد اقترح عليّ بحثٌ أنيقٌ للغاية حول الموضوع نفسه... للسيد بول إجراء تحقيقات". (كان بحث بول بعنوان "شرح نظرية عامة للتحويلات الخطية"، مجلة كامبريدج الرياضية). ^{[ 2 ]}

يشير مصطلح "نظرية الثوابت" تقليديًا إلى دراسة الأشكال الجبرية الثابتة (أو ما يعادلها، الموترات المتناظرة ) لتأثير التحويلات الخطية . وقد شكّل هذا المجال محورًا رئيسيًا للدراسة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. وتستند النظريات الحالية المتعلقة بالمجموعة المتناظرة والدوال المتناظرة ، والجبر التبادلي ، وفضاءات المعاملات ، وتمثيلات زمر لي، إلى هذا المجال.

بتفصيلٍ أكبر، إذا كان لدينا فضاء متجهي محدود الأبعاد V ذو بُعد n، ^{فيمكننا} دراسة الجبر المتناظر S ( Sr ( V )) لكثيرات الحدود من الدرجة r على V ، وتأثير GL( V ) عليه. في الواقع، من الأدقّ دراسة الثوابت النسبية لـ GL( V )، أو تمثيلات SL( V )، إذا أردنا الحديث عن الثوابت ؛ وذلك لأن المضاعف القياسي للوحدة يؤثر على موتر من الرتبة r في S( V ) من خلال "وزن" القوة r للعدد القياسي. الهدف إذن هو تعريف الجبر الجزئي للثوابت I ( Sr ( V )) لهذا التأثير. وبعبارة أخرى، نحن ننظر إلى ثوابت فضاءات ⁿ - ary r- ics ، حيث n هو بُعد V. (هذا ليس هو نفسه إيجاد ثوابت GL( V ) على S( V )؛ فهذه مشكلة غير مثيرة للاهتمام لأن الثوابت الوحيدة من هذا النوع هي ثوابت.) الحالة التي تمت دراستها بشكل أكبر كانت ثوابت الأشكال الثنائية حيث n = 2.   

وشملت الأعمال الأخرى عمل فيليكس كلاين في حساب الحلقات الثابتة لتأثيرات المجموعات المنتهية على${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$( المجموعات متعددة السطوح الثنائية ، المصنفة حسب تصنيف ADE )؛ هذه هي حلقات الإحداثيات لمفردات دو فال .

كاد عمل ديفيد هيلبرت ، الذي أثبت أن I ( V ) يُعرض بشكل محدود في كثير من الحالات، أن يضع حداً لنظرية الثوابت الكلاسيكية لعدة عقود، على الرغم من أن الحقبة الكلاسيكية في هذا المجال استمرت حتى آخر منشورات ألفريد يونغ ، بعد أكثر من 50 عاماً. وقد عُرفت حسابات صريحة لأغراض محددة في العصر الحديث (على سبيل المثال، شيودا، باستخدام الأعداد الثمانية الثنائية).

أثبت هيلبرت (1890) أنه إذا كانت V تمثيلًا محدود الأبعاد للمجموعة الجبرية المركبة G = SL _n ( C )، فإن حلقة الثوابت لـ G المؤثرة على حلقة كثيرات الحدود R = S ( V ) تكون مولدة توليدًا منتهيًا. وقد استخدم في برهانه مؤثر رينولدز ρ من R إلى RG بالخصائص التالية ^:

• ρ (1) = 1
• ρ ( أ + ب ) = ρ ( أ ) + ρ ( ب )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) عندما يكون a ثابتًا.

قام هيلبرت ببناء عامل رينولدز بشكل صريح باستخدام عملية أوميغا لكايلي Ω، على الرغم من أنه من الشائع الآن بناء ρ بشكل غير مباشر على النحو التالي: بالنسبة للمجموعات المدمجة G ، يتم إعطاء عامل رينولدز عن طريق أخذ المتوسط ​​على G ، ويمكن اختزال المجموعات الاختزالية غير المدمجة إلى حالة المجموعات المدمجة باستخدام خدعة ويل الوحدوية .

بمعرفة مؤثر رينولدز، تُثبت نظرية هيلبرت كما يلي. الحلقة R هي حلقة متعددة الحدود، لذا فهي مُدرجة حسب الدرجات، ويُعرَّف المثالي I بأنه المثالي المُوَلَّد بواسطة الثوابت المتجانسة ذات الدرجات الموجبة. وبحسب نظرية أساس هيلبرت، فإن المثالي I مُوَلَّد توليدًا منتهيًا (كمثالي). وبالتالي، فإن I مُوَلَّد توليدًا منتهيًا بواسطة عدد منتهٍ من ثوابت G (لأنه إذا أُعطينا أي مجموعة جزئية S - قد تكون لانهائية - تُوَلِّد مثاليًا مُوَلَّدًا توليدًا منتهيًا I ، فإن I يكون مُوَلَّدًا بالفعل بواسطة مجموعة جزئية منتهية من S ). ليكن i _{= 1} , ..., iₙ مجموعة منتهية من ثوابت G التي تُوَلِّد I (كمثالي). الفكرة الأساسية هي إثبات أن هذه الثوابت تُوَلِّد حلقة الثوابت R = ^{G. لنفترض أن} _x ثابت متجانس من الدرجة d > 0. إذن  

x = a₁i₁ + _... + aₙₙ_​​_​​

بالنسبة لبعض العناصر a _{_j} في الحلقة R لأن x ينتمي إلى المثالي I. يمكننا افتراض أن a _{_j} متجانس من الدرجة d − deg_ij لكل j (وإلا، نستبدل a _{_j} بمكونه المتجانس من الدرجة d − deg_ij ؛ إذا فعلنا ذلك لكل j ، فستظل المعادلة x = a _{_1i} + ... + a _{_nin} صحيحة ). الآن، بتطبيق مؤثر رينولدز على x = a _{_1i +} ... + a _{_nin} نحصل على

x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n

سنقوم الآن بإثبات أن x يقع في الجبر R الذي يولده i ₁ ,..., i _n .

لنبدأ أولًا في حالة كون جميع عناصر ρ( ak ₎ ذات درجة أقل من d . في هذه الحالة ، تقع جميعها في جبر R المُوَلَّد بواسطة i1 _، ...، in ₍ بحسب فرضية الاستقراء). بالتالي، يقع x أيضًا في جبر R هذا (لأن x = ρ ( a1 ₎ i1 _{+ ... + ρ} ( an ₎ in ) .

في الحالة العامة، لا يمكننا التأكد من أن جميع عناصر ρ( ak ₎ لها درجة أقل من d . لكن يمكننا استبدال كل عنصر ρ( ak ) بمكونه المتجانس ذي الدرجة d - deg_ij . ونتيجة لذلك، تظل عناصر ρ(ak) _{المعدلة هذه} ثابتة بالنسبة لـ G (لأن كل مكون متجانس لثابت G هو ثابت G ) ولها درجة أقل من d (بما أن deg _ij > 0). ولا تزال المعادلة x = ρ( a _₁ ) _{_i1} + ... + ρ( an ₎ _{_in صحيحة بالنسبة لعناصر ρ(} ak ) المعدلة ، لذا يمكننا أن نستنتج مرة أخرى أن x يقع في جبر R المولد بواسطة i _₁ ، ... ، in _.

وبالتالي، بالاستقراء على الدرجة، فإن جميع عناصر R ^G موجودة في الجبر R الذي يولده i ₁ ,..., i _n .

يعود الفضل في الصياغة الحديثة لنظرية الثوابت الهندسية إلى ديفيد مامفورد ، وهي تُركز على بناء خارج قسمة بفعل المجموعة، بحيث يُفترض أن يُجسد معلومات الثوابت من خلال حلقة إحداثياته. إنها نظرية دقيقة، إذ يتحقق النجاح باستبعاد بعض المدارات "السيئة" وتحديد مدارات أخرى بمدارات "جيدة". وفي تطور منفصل، أُعيد إحياء الطريقة الرمزية لنظرية الثوابت ، وهي تدوين توافقي يبدو استدلاليًا.

كان أحد الدوافع هو بناء فضاءات المعاملات في الهندسة الجبرية كحاصل قسمة لمخططات تُحدد خصائص الكائنات المميزة. في سبعينيات وثمانينيات القرن العشرين، تطورت النظرية لتشمل تفاعلات مع الهندسة التبسيطية والطوبولوجيا المتغيرة، واستُخدمت لبناء فضاءات معاملات للكائنات في الهندسة التفاضلية ، مثل الجسيمات الفورية والأقطاب الأحادية .

• ديودونيه، جان أ .؛ كاريل، جيمس ب. (1970)، "نظرية الثوابت، القديمة والجديدة"، التقدم في الرياضيات ، 4 (1): 1-80 ، doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 ، ISSN 0001-8708 ، MR 0255525  أُعيد طبعه بعنوان: ديودونيه، جان أ.؛ كاريل، جيمس ب. (1971)، نظرية الثوابت، القديمة والجديدة ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، رقم ISBN 978-0-12-215540-6، MR 0279102 
• دولغاتشيف، إيغور (2003)، محاضرات في نظرية الثوابت ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  296، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511615436 ، ISBN 978-0-521-52548-0MR 2004511​ 
• أفندي (إفندييف)، فؤاد (1992)، البناء الصريح لعناصر الحلقة S(n, r) لثوابت الأشكال من الرتبة n من الدرجة r، المجلد  51، الملاحظات الرياضية ، الصفحات 139-143 ، doi : 10.1007/BF02102130 
• غريس، جيه إتش؛ يونغ، ألفريد (1903)، جبر الثوابت ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج
• غروسهانز، فرانك د. (1997)، الفضاءات المتجانسة الجبرية ونظرية الثوابت ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 3-540-63628-5
• هيلبرت ، ديفيد (1890)، “Ueber die Theorie der algebraischen Formen” ، Mathematische Annalen ، 36 (4): 473–534 ، دوى : 10.1007 / BF01208503 ، ISSN 0025-5831 
• Hilbert, D. (1893), “Über die vollen Invariantensysteme (في الأنظمة الثابتة الكاملة)” , Math. أنالين ، 42 (3): 313، دوى : 10.1007 / BF01444162
• كونغ، جوزيف ب.س.؛ روتا، جيان كارلو (1984)، "نظرية الثوابت للأشكال الثنائية" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 10 (1): 27-85 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15188-7 ، ISSN 0002-9904 ، MR 0722856  
• نيوسل، مارا د .؛ سميث، لاري (2002)، نظرية الثوابت للمجموعات المنتهية ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-2916-5 مصدر حديث للتعرف على الثوابت المعيارية للمجموعات المنتهية.
• أولفر، بيتر ج. (1999)، نظرية الثوابت الكلاسيكية ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-55821-2مقدمة على مستوى المرحلة الجامعية الأولى للنظرية الكلاسيكية لثوابت الأشكال الثنائية، بما في ذلك عملية أوميغا بدءًا من الصفحة 87.
• بوبوف، ف. ل. (2001) [1994]، "الثوابت، نظرية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• سبرينغر، تي إيه (1977)، نظرية الثوابت ، نيويورك: سبرينغر، رقم ISBN 0-387-08242-5 دراسة قديمة لكنها لا تزال مفيدة.
• ستورمفيلز، بيرند (1993)، الخوارزميات في النظرية الثابتة ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 0-387-82445-6 مقدمة رائعة لنظرية ثوابت المجموعات المنتهية وتقنيات حسابها باستخدام قواعد جروبنر.
• فايل، هيرمان (1939)، المجموعات الكلاسيكية: ثوابتها وتمثيلاتها ، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 978-0-691-05756-9، MR 0000255 {{citation}}: CS1 maint: ignored ISBN errors ( link )
• فايل، هيرمان (1939ب)، "الثوابت" ، مجلة ديوك الرياضية ، 5 (3): 489-502 ، doi : 10.1215/S0012-7094-39-00540-5 ، ISSN 0012-7094 ، MR 0000030  

• هـ. كرافت، سي. بروسيسي، نظرية الثوابت الكلاسيكية، مدخل تمهيدي
• في إل بوبوف، إي بي فينبرغ، "نظرية الثوابت"، في الهندسة الجبرية . الجزء الرابع. موسوعة العلوم الرياضية، 55 (مترجم من الطبعة الروسية لعام 1989) سبرينغر-فيرلاغ، برلين، 1994؛ 6+284 صفحة؛ ISBN 3-540-54682-0