رقم جاكوبستال

في الرياضيات ، تُعرف أعداد جاكوبستال بأنها متتالية عددية صحيحة سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني إرنست جاكوبستال . ومثل أعداد فيبوناتشي ذات الصلة ، فهي نوع محدد من متتالية لوكاس.${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$حيث P  = 1 و Q  = − 2 ^{[ 1 ]} — ويتم تعريفها بعلاقة تكرارية مماثلة : ببساطة، تبدأ المتتالية بالعددين 0 و 1، ثم يتم إيجاد كل عدد لاحق بإضافة العدد الذي يسبقه إلى ضعف العدد الذي يسبقه. أعداد جاكوبستال الأولى هي: 

0 ، 1 ، 1، 3 ، 5 ، 11 ، 21 ، 43 ، 85 ، 171 ، 341، 683، 1365، 2731، 5461، 10923، 21845، 43691، 87381، 174763، 349525، ... (التسلسل A001045 في OEIS )

العدد الأولي لجاكوبستال هو عدد جاكوبستال يكون أوليًا أيضًا . أول الأعداد الأولية لجاكوبستال هي:

3، 5، 11، 43، 683، 2731، 43691، 174763، 2796203، 715827883، 2932031007403، 768614336404564651، 201487636602438195784363، 845100400152152934331135470251، 56713727820156410577229101238628035243، ... (التسلسل A049883 في OEIS )

تُعرَّف أعداد جاكوبستال من خلال علاقة التكرار التالية:

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

يُعطى عدد جاكوبستال التالي أيضًا بواسطة صيغة التكرار

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n},}$

أو عن طريق

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}.}$

يتم تحقيق صيغة التكرار الثانية المذكورة أعلاه أيضًا بواسطة قوى العدد 2 .

يمكن حساب رقم جاكوبستال عند نقطة معينة في المتتالية مباشرة باستخدام المعادلة المغلقة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

الدالة المولدة لأعداد جاكوبستال هي

${\displaystyle {\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.}$

مجموع مقلوب أعداد جاكوبستال يبلغ حوالي 2.7186، وهو أكبر قليلاً من e .

يمكن توسيع أعداد جاكوبستال لتشمل المؤشرات السالبة باستخدام علاقة التكرار أو الصيغة الصريحة، مما يعطي

${\displaystyle J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}}$(انظر OEIS : A077925  )

تنطبق المتطابقات التالية

${\displaystyle 2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}}$(انظر OEIS : A139818  )

${\displaystyle J_{n}=F_{n}+\sum _{i=0}^{n-2}J_{i}F_{ni-1}}$أين${\displaystyle F_{n}}$هو العدد النوني في متتالية فيبوناتشي.

تمثل أرقام جاكوبستال-لوكاس متتالية لوكاس التكميلية${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$. إنها تحقق نفس علاقة التكرار التي تحققها أعداد جاكوبستال ولكن لها قيم ابتدائية مختلفة:

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

كما أن رقم جاكوبستال-لوكاس التالي يحقق ما يلي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,}$

يمكن حساب رقم جاكوبستال-لوكاس عند نقطة معينة في المتتالية مباشرة باستخدام المعادلة المغلقة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,}$

أرقام جاكوبستال-لوكاس الأولى هي:

2 ، 1 ، 5 ، 7 ، 17 ، 31 ، 65 ، 127 ، 257 ، 511، 1025، 2047، 4097، 8191، 16385، 32767، 65537 ، 131071، 262145، 524287، 1048577، ... (التسلسل A014551 في OEIS ) .

الأرقام الأولى في مخطط جاكوبستال المستطيل هي: 0، 1، 3، 15، 55، 231، 903، 3655، 14535، 58311، ... (التسلسل A084175 في OEIS )

${\displaystyle Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}}$