جيمس أ. يورك

صاغ هو وزميله المؤلف تي واي لي المصطلح الرياضي " الفوضى" في ورقة بحثية نشراها عام 1975 بعنوان " الدورة الثالثة تعني الفوضى" ، ^{[ 6 ]} حيث أثبتا أن كل خريطة متصلة أحادية البعد

F : R → R

يجب أن يمتلك الكائن الذي له مدار دوري من الدرجة الثالثة خاصيتين:

(1) لكل عدد صحيح موجب p ، توجد نقطة في R تعود إلى حيث بدأت بعد p تطبيق للخريطة وليس قبل ذلك.

هذا يعني وجود عدد لا نهائي من النقاط الدورية (قد تكون أي منها مستقرة أو غير مستقرة): مجموعات مختلفة من النقاط لكل دورة p . وقد تبين أن هذه حالة خاصة من نظرية شاركوفسكي . ^{[ 7 ]}

تتطلب الخاصية الثانية بعض التعريفات. يُطلق على زوج من النقاط س و ص اسم "مختلط" إذا تقاربت النقاط، ثم تباعدت، ثم تقاربت مرة أخرى، وهكذا، عند تطبيق الخريطة عليهما بشكل متكرر، حتى تقتربا من بعضهما البعض بشكل عشوائي دون أن تظلا متقاربتين. يشبه هذا الأمر بيضة تُخفق إلى ما لا نهاية، أو أزواجًا نموذجية من الذرات تتصرف بهذه الطريقة. تُسمى المجموعة س مجموعة مختلطة إذا كان كل زوج من النقاط المختلفة فيها مختلطًا . الخلط هو نوع من أنواع المزج .

(2) هناك مجموعة S لا نهائية غير قابلة للعد يتم خلطها.

تُسمى الخريطة التي تُحقق الخاصية 2 أحيانًا "فوضوية" بالمعنى الذي قصده لي ويورك. ^{[ 8 ] [ 9 ]} غالبًا ما تُصاغ الخاصية 2 بإيجاز في عنوان مقالتهما "الدورة الثالثة تعني الفوضى". مع ذلك، قد تكون مجموعة النقاط الفوضوية غير القابلة للعد ذات قياس صفري (انظر على سبيل المثال مقالة "الخريطة اللوجستية ")، وفي هذه الحالة يُقال إن الخريطة ذات دورية غير قابلة للملاحظة ^{[ 10 ] : ص 18} أو فوضى غير قابلة للملاحظة .

لقد بيّن هو وزملاؤه ( إدوارد أوت وسيلسو غريبوجي ) من خلال مثال عددي أنه يمكن تحويل الحركة الفوضوية إلى حركة دورية عن طريق تغيير مناسب للمعامل مع الزمن. تُعتبر هذه المقالة مرجعًا كلاسيكيًا في نظرية التحكم في الفوضى، وتُعرف طريقة التحكم التي استخدموها باسم طريقة OGY .

وقد شارك مع كاثلين تي. أليغود وتيم دي. ساوير في تأليف كتاب الفوضى: مقدمة للأنظمة الديناميكية .