اختبار جونكير للاتجاه

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعد اختبار جونكير للاتجاه [ 1 ] (ويُسمى أحيانًا اختبار جونكير-تيربسترا [ 2 ] ) اختبارًا لفرضية بديلة مرتبة ضمن تصميم عينات مستقلة (بين المشاركين). وهو يُشبه اختبار كروسكال-واليس في أن الفرضية الصفرية هي أن عدة عينات مستقلة تنتمي إلى نفس المجتمع الإحصائي. مع ذلك، لا يُحدد اختبار كروسكال-واليس ترتيبًا مسبقًا للمجتمعات الإحصائية التي سُحبت منها العينات. وعندما يكون هناك ترتيب مسبق ، يتمتع اختبار جونكير بقوة إحصائية أكبر من اختبار كروسكال-واليس. وقد طوّر هذا الاختبار إيمابل روبرت جونكير ، وهو عالم نفس وإحصائي في جامعة كوليدج لندن .

يمكن التعبير عن الفرضية الصفرية والفرضية البديلة بسهولة بدلالة الوسيطات السكانية لـ k من السكان (حيث k > 2). إذا افترضنا أن θᵢ هو الوسيط السكاني للسكان رقم i ، فإن الفرضية الصفرية هي:

ح0:θ1=θ2=⋯=θك{\displaystyle H_{0}:\theta _{1}=\theta _{2}=\cdots =\theta _{k}}

الفرضية البديلة هي أن الوسائط السكانية لها ترتيب مسبق، على سبيل المثال:

حأ:θ1{\displaystyle H_{A}:\theta _{1}}≤θ2{\displaystyle \theta _{2}}≤⋯{\displaystyle \cdots }≤θك{\displaystyle \theta _{k}}

مع وجود متباينة صارمة واحدة على الأقل.

إجراء

يمكن اعتبار هذا الاختبار حالة خاصة من طريقة موريس كيندال الأكثر عمومية للارتباط الرتبي [ 3 ] ، ويعتمد على إحصائية كيندال S. ويمكن حساب هذه الإحصائية بإحدى طريقتين:

طريقة "العد المباشر"

  1. رتب العينات بالترتيب المتوقع
  2. لكل درجة على حدة، احسب عدد الدرجات في العينات الموجودة على اليمين التي تزيد عن الدرجة المعنية. هذا هو P.
  3. لكل درجة على حدة، احسب عدد الدرجات في العينات الموجودة على اليمين التي تقل عن الدرجة المعنية. هذه هي Q.
  4. S = P – Q

الأسلوب "البحري"

  1. قم بتحويل البيانات إلى جدول طوارئ مرتب ، مع زيادة مستويات المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين، وزيادة قيم المتغير التابع من الأعلى إلى الأسفل.
  2. لكل مدخل في الجدول، احسب جميع المدخلات الأخرى التي تقع إلى "الجنوب الشرقي" من المدخل المحدد. هذا هو P.
  3. لكل مدخل في الجدول، احسب جميع المدخلات الأخرى التي تقع إلى "الجنوب الغربي" من المدخل المحدد. هذا هو Q.
  4. S = P – Q

لاحظ أنه ستكون هناك دائمًا قيم متقاربة في المتغير المستقل (الأفراد "متقاربون" بمعنى أنهم في نفس المجموعة)، ولكن قد توجد قيم متقاربة في المتغير التابع أو لا. إذا لم تكن هناك قيم متقاربة - أو كانت القيم المتقاربة ضمن عينة معينة (وهو ما لا يؤثر على قيمة إحصائية الاختبار) - تتوفر جداول دقيقة لـ S ؛ على سبيل المثال، قدم جونكير [ 1 ] جداول مختارة لقيم k من 3 إلى 6 وأحجام عينات متساوية ( m ) من 2 إلى 5. عرض ليتش القيم الحرجة لـ S لـ k = 3 بأحجام عينات تتراوح من 2، 2، 1 إلى 5، 5، 5. [ 4 ]

التقريب الطبيعي لـ S

يمكن استخدام التوزيع الطبيعي القياسي لتقريب توزيع S تحت فرضية العدم في الحالات التي لا تتوفر فيها جداول دقيقة. سيكون متوسط ​​توزيع S دائمًا صفرًا، وبافتراض عدم وجود قيم متساوية بين قيم عينتين (أو أكثر) مختلفتين، فإن التباين يُعطى بالصيغة التالية:

متغير⁡(S)=2(ن3-∑تأنا3)+3(ن2-∑تأنا2)18{\displaystyle \operatorname {VAR} (S)={\frac {2(n^{3}-\sum t_{i}^{3})+3(n^{2}-\sum t_{i}^{2})}{18}}}

حيث n هو العدد الإجمالي للدرجات، و tᵢ هو عدد الدرجات في العينة رقم i . يمكن تحسين تقريب التوزيع الطبيعي القياسي باستخدام تصحيح الاستمرارية: S <sub>c</sub> = | S | – 1. وبالتالي، يُطرح 1 من قيمة S الموجبة ويُضاف 1 إلى قيمة S السالبة . ويُعطى مكافئ الدرجة المعيارية (z-score) بالصيغة التالية:

z=Sجمتغير⁡(S){\displaystyle z={\frac {S_{c}}{\sqrt {\operatorname {VAR} (S)}}}}

روابط

إذا تساوى عدد القيم في عينتين (أو أكثر) مختلفتين، فلا يوجد جدول دقيق لتوزيع S، ويجب استخدام تقريب للتوزيع الطبيعي. في هذه الحالة، لا يُطبق أي تصحيح للاستمرارية على قيمة S ، ويُعطى التباين بواسطة

متغير⁡(S)=2(ن3-∑تأنا3-∑uأنا3)+3(ن2-∑تأنا2-∑uأنا2)+5ن18+(∑تأنا3-3∑تأنا2+2ن)(∑uأنا3-3∑uأنا2+2ن)9ن(ن-1)(ن-2)+(∑تأنا2-ن)(∑uأنا2-ن)2ن(ن-1){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {VAR} (S)=&{\frac {2\left(n^{3}-\sum t_{i}^{3}-\sum u_{i}^{3}\right)+3\left(n^{2}-\sum t_{i}^{2}-\sum u_{i}^{2}\right)+5n}{18}}\\&{}+{\frac {\left(\sum t_{i}^{3}-3\sum t_{i}^{2}+2n\right)\left(\sum u_{i}^{3}-3\sum u_{i}^{2}+2n\right)}{9n(n-1)(n-2)}}\\&{}+{\frac {\left(\sum t_{i}^{2}-n\right)\left(\sum u_{i}^{2}-n\right)}{2n(n-1)}}\end{aligned}}}

حيث يمثل tᵢ المجموع الهامشي للصف، و uᵢ المجموع الهامشي للعمود في جدول التوافق. ويُعطى مكافئ الدرجة z بالصيغة التالية:

z=Sمتغير⁡(S){\displaystyle z={\frac {S}{\sqrt {\operatorname {VAR} (S)}}}}

مثال عددي

في دراسةٍ تُحاكي جزئيًا دراسةً أجراها لوفوس وبالمر، تم توزيع المشاركين عشوائيًا على ثلاث مجموعات، ثم عُرض عليهم فيلمٌ يُظهر سيارتين تصطدمان ببعضهما. [ 5 ] بعد مشاهدة الفيلم، طُرح على المشاركين في إحدى المجموعات السؤال التالي: "ما هي السرعة التقريبية للسيارتين لحظة اصطدامهما؟". وسُئل المشاركون في المجموعة الثانية: "ما هي السرعة التقريبية للسيارتين لحظة ارتطامهما ببعضهما؟". وسُئل المشاركون في المجموعة الثالثة: "ما هي السرعة التقريبية للسيارتين لحظة تحطّمهما؟". توقع لوفوس وبالمر أن يؤثر فعل الحركة المستخدم (اصطدمت، ارتطمت، تحطّمت) على تقديرات السرعة بالميل في الساعة، بحيث تؤدي أفعال الحركة التي تدل على طاقة أكبر إلى سرعات مُقدّرة أعلى. وقد تم الحصول على النتائج التالية (بيانات مُحاكاة):

تم الاتصالتم الاصطداممحطم
نتائج101220
121825
142027
162230
متوسط131926

طريقة "العد المباشر"

  • العينات مرتبة بالفعل وفقًا للترتيب المتوقع
  • لكل درجة على حدة، احسب عدد الدرجات في العينات الموجودة على اليمين التي تزيد عن الدرجة المعنية للحصول على P :
P = 8 + 7 + 7 + 7 + 4 + 4 + 3 + 3 = 43
  • لكل درجة على حدة، احسب عدد الدرجات في العينات الموجودة على اليمين التي تقل عن الدرجة المعنية للحصول على Q :
Q = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3
  • S = P - Q = 43 - 3
  • S = 40

الأسلوب "البحري"

  • قم بتحويل البيانات إلى جدول توافق مرتب
Mphتم الاتصالتم الاصطداممحطمإجمالي t i
101001
121102
141001
161001
180101
200112
220101
250011
270011
300011
المجموع u i44412
  • لكل مدخل في الجدول، احسب جميع المداخل الأخرى التي تقع في "الجنوب الشرقي" من المدخل المحدد. هذا هو P :
P = (1 × 8) + (1 × 7) + (1 × 7) + (1 × 7) + (1 × 4) + (1 × 4) + (1 × 3) + (1 × 3) = 43
  • لكل مدخل في الجدول، احسب جميع المدخلات الأخرى التي تقع في "الجنوب الغربي" من ذلك المدخل. هذا هو السؤال Q :
Q = (1 × 2) + (1 × 1) = 3
  • S = P − Q = 43 − 3
  • S = 40

باستخدام الجداول الدقيقة

عندما تكون الروابط بين العينات قليلة (كما في هذا المثال)، اقترح ليتش تجاهل هذه الروابط واستخدام الجداول الدقيقة للحصول على نتيجة دقيقة إلى حد معقول. [ 4 ] واقترح جونكير كسر الروابط بناءً على الفرضية البديلة ثم استخدام الجداول الدقيقة. [ 1 ] في المثال الحالي، حيث تظهر الدرجات المتساوية فقط في المجموعات المتجاورة، تبقى قيمة S ثابتة حتى عند كسر الروابط بناءً على الفرضية البديلة. يمكن التحقق من ذلك باستبدال 11  ميلًا في الساعة بدلًا من 12  ميلًا في الساعة في عينة Bumped، و19  ميلًا في الساعة بدلًا من 20  ميلًا في الساعة في عينة Smashed، ثم إعادة حساب إحصائية الاختبار. من الجداول التي تحتوي على k = 3 و m = 4، تكون قيمة S الحرجة عند α = 0.05 هي 36، وبالتالي تُعتبر النتيجة ذات دلالة إحصائية عند هذا المستوى.

حساب التقريب الطبيعي القياسي

مثلن=12{\displaystyle n=12}،ن2=144{\displaystyle n^{2}=144}، ون3=1728{\displaystyle n^{3}=1728}، و

∑تأنا2=16،{\displaystyle \sum t_{i}^{2}=16,}
∑تأنا3=24،{\displaystyle \sum t_{i}^{3}=24,}
∑uأنا2=48،{\displaystyle \sum u_{i}^{2}=48,}
∑uأنا3=192،{\displaystyle \sum u_{i}^{3}=192,}

تباين S هو

متغير⁡(S)=2(1728-24-192)+3(144-16-48)+6018+(24-48+24)(192-144+24)9×12×11×10+(16-12)(48-12)2×12×11=185.212{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {VAR} (S)=&{\frac {2(1728-24-192)+3(144-16-48)+60}{18}}\\&+{\frac {(24-48+24)(192-144+24)}{9\times 12\times 11\times 10}}\\&+{\frac {(16-12)(48-12)}{2\times 12\times 11}}\\&=185.212\end{aligned}}}

و z معطاة بواسطة

z=Sمتغير⁡(S)=40185.212=2.939{\displaystyle z={\frac {S}{\sqrt {\operatorname {VAR} (S)}}}={\frac {40}{\sqrt {185.212}}}=2.939}

عند مستوى دلالة إحصائية α = 0.05 (من جانب واحد)، تكون قيمة z الحرجة 1.645، وبالتالي تُعتبر النتيجة دالة إحصائيًا عند هذا المستوى. وقد طوّر بيج اختبارًا مشابهًا للاتجاه في سياق تصميمات القياسات المتكررة (داخل المشاركين) استنادًا إلى معامل ارتباط رتبة سبيرمان . [ 6 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 جونكير، أ. ر. (1954). "اختبار k- عينة غير مرتبط بالتوزيع مقابل البدائل المرتبة". Biometrika . 41 : 133-145 . doi : 10.2307/2333011 .
  2. ↑ تيربسترا، تي جيه (1952). "التقارب الطبيعي والاتساق لاختبار كندال ضد الاتجاه، عند وجود تعادلات في ترتيب واحد" (ملف PDF) . Indagationes Mathematicae . 14 : 327-333 .
  3. ↑ كيندال، إم جي (1962). أساليب ارتباط الرتب ( الطبعة الثالثة). لندن: تشارلز جريفين. 
  4. 1 2 ليتش، سي. (1979). مقدمة في الإحصاء: منهج غير معلمي للعلوم الاجتماعية . تشيتشستر: جون وايلي.
  5. ↑ لوفوس، إي إف؛ بالمر، جيه سي (1974). "إعادة بناء حادث تحطم سيارة: مثال على التفاعل بين اللغة والذاكرة". مجلة التعلم اللفظي والسلوك اللفظي . 13 : 585-589 . doi : 10.1016/S0022-5371(74)80011-3 .
  6. ↑ بيج، إي بي (1963). "فرضيات مرتبة لمعالجات متعددة: اختبار دلالة للرتب الخطية". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 58 (301): 216-30 . doi : 10.2307/2282965 .

للمزيد من القراءة