معامل ارتباط الرتب

لو${\displaystyle r_{i}}$،${\displaystyle s_{i}}$هي رتب${\displaystyle i}$-عضو وفقًا لـ${\displaystyle x}$-الجودة و${\displaystyle y}$-الجودة على التوالي، ثم يمكننا تعريف

${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {sgn}(r_{j}-r_{i}),\quad b_{ij}=\operatorname {sgn}(s_{j}-s_{i}).}$

المجموع${\displaystyle \sum a_{ij}b_{ij}}$هو عدد الأزواج المتوافقة مطروحًا منه عدد الأزواج غير المتوافقة (انظر معامل ارتباط رتبة كندال تاو ). المجموع${\displaystyle \sum a_{ij}^{2}}$هو مجرد${\displaystyle n(n-1)/2}$عدد الحدود${\displaystyle a_{ij}}$كما هو${\displaystyle \sum b_{ij}^{2}}$وبالتالي في هذه الحالة،

${\displaystyle \Gamma ={\frac {2\,(({\text{عدد الأزواج المتوافقة}})-({\text{عدد الأزواج غير المتوافقة}}))}{n(n-1)}}={\text{معامل كندال }}\tau }$

لو${\displaystyle r_{i}}$،${\displaystyle s_{i}}$هي رتب${\displaystyle i}$-عضو وفقًا لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$-الجودة على التوالي، يمكننا النظر في المصفوفات${\displaystyle a,b\in M(n\times n;\mathbb {R} )}$محدد بواسطة

${\displaystyle a_{ij}:=r_{j}-r_{i}}$

${\displaystyle b_{ij}:=s_{j}-s_{i}}$

المجموع${\displaystyle \sum a_{ij}^{2}}$و${\displaystyle \sum b_{ij}^{2}}$متساويان، لأن كلاهما${\displaystyle r_{i}}$و${\displaystyle s_{i}}$تتراوح من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle n}$. لذلك

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum (r_{j}-r_{i})(s_{j}-s_{i})}{\sum (r_{j}-r_{i})^{2}}}}$

لتبسيط هذا التعبير، دع${\displaystyle d_{i}:=r_{i}-s_{i}}$يشير إلى الفرق في الرتب لكل${\displaystyle i}$علاوة على ذلك، دع${\displaystyle U}$لتكن متغيرات عشوائية منفصلة موزعة بشكل منتظم على${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$منذ الرتب${\displaystyle r,s}$هي مجرد تباديل لـ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$يمكننا اعتبار كليهما متغيرين عشوائيين موزعين على النحو التالي:${\displaystyle U}$باستخدام نتائج الجمع الأساسية من الرياضيات المتقطعة، من السهل أن نرى أنه بالنسبة للمتغير العشوائي الموزع بشكل منتظم،${\displaystyle U}$لدينا ${\displaystyle \mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {n+1}{2}}}$ و ${\displaystyle \mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}}$ وبالتالي ${\displaystyle \mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\textstyle {\frac {(n+1)(n+1)}{4}}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}$الآن، تسمح لنا ملاحظة التناظرات بحساب أجزاء${\displaystyle \Gamma }$ على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}(r_{j}-r_{i})(s_{j}-s_{i})&=2\left({\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\sum _{i=1}^{n}r_{i}s_{i}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}s_{j}\right)\right)\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(r_{i}^{2}+s_{i}^{2}-d_{i}^{2})-2\left(\mathbb {E} [U]\right)^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{2}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-2\left(\mathbb {E} [U]\right)^{2}\\&=2\left(\mathbb {E} [U^{2}]-(\mathbb {E} [U])^{2}\right)-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}(r_{j}-r_{i})^{2}&={\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\sum _{i,j=1}^{n}(r_{i}^{2}+r_{j}^{2}-2r_{i}r_{j})\\&=2{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{2}-2\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}r_{j}\right)\\&=2(\mathbb {E} [U^{2}]-(\mathbb {E} [U])^{2})\\\end{aligned}}}$

لذلك

${\displaystyle \Gamma =1-{\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{2n\mathrm {Var} (U)}}=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$

أين${\displaystyle d_{i}=r_{i}-s_{i}}$هو الفرق بين الرتب، وهو بالضبط معامل ارتباط رتب سبيرمان${\displaystyle \rho }$.

أوصى ديف كيربي (2014) باستخدام معامل الارتباط الثنائي الرتبي كمقياس لتعريف الطلاب بمعامل الارتباط الرتبي، نظرًا لإمكانية شرح المنطق العام له على مستوى تمهيدي. يُستخدم معامل الارتباط الثنائي الرتبي في اختبار مان-ويتني يو ، وهو أسلوب شائع في المقررات الجامعية التمهيدية للإحصاء. تتكون بيانات هذا الاختبار من مجموعتين، ويتم ترتيب نتائج كل عنصر من عناصر المجموعتين وفقًا للدراسة ككل.

أظهر كيربي أن معامل الارتباط الرتبي هذا يُمكن التعبير عنه بمفهومين: نسبة البيانات التي تدعم فرضية معينة، ونسبة البيانات التي لا تدعمها. وتنص صيغة كيربي للفرق البسيط على أن معامل الارتباط الرتبي يُمكن التعبير عنه كفرق بين نسبة الأدلة المؤيدة ( f ) ونسبة الأدلة المعارضة ( u ).

${\displaystyle r=f-u}$

لتوضيح الحساب، لنفترض أن مدربًا يُدرّب عدّائي المسافات الطويلة لمدة شهر باستخدام طريقتين. تضم المجموعة (أ) 5 عدّائين، بينما تضم ​​المجموعة (ب) 4 عدّائين. الفرضية المطروحة هي أن الطريقة (أ) تُنتج عدّائين أسرع. أظهر السباق الذي أُجري لتقييم النتائج أن عدّائي المجموعة (أ) أسرع بالفعل، حيث احتلوا المراكز من 1 إلى 6. أما عدّاؤو المجموعة (ب) الأبطأ، فكانت مراكزهم من 5 إلى 9.

يُجرى التحليل على أزواج، حيث يُعرَّف كل زوج بأنه مقارنة بين فرد من مجموعة وفرد من مجموعة أخرى. على سبيل المثال، أسرع عداء في الدراسة ينتمي إلى أربعة أزواج: (1، 5)، (1، 7)، (1، 8)، و(1، 9). تدعم جميع هذه الأزواج الأربعة الفرضية، لأن العداء من المجموعة (أ) في كل زوج أسرع من العداء من المجموعة (ب). يوجد إجمالاً 20 زوجًا، يدعم 19 زوجًا منها الفرضية. الزوج الوحيد الذي لا يدعم الفرضية هو الزوج الذي يضم العداءين المصنفين 5 و6، لأن العداء من المجموعة (ب) في هذا الزوج حقق زمنًا أسرع. باستخدام صيغة كيربي للفرق البسيط، تدعم 95% من البيانات الفرضية (19 من 20 زوجًا)، بينما لا تدعمها 5% (زوج واحد من 20 زوجًا)، وبالتالي فإن معامل ارتباط الرتب هو r = 0.95 - 0.05 = 0.90.

أقصى قيمة لمعامل الارتباط هي r = 1، ما يعني أن جميع الأزواج (100%) تؤيد الفرضية. أما معامل الارتباط r = 0 فيشير إلى أن نصف الأزواج يؤيد الفرضية والنصف الآخر لا يؤيدها؛ أي أن مجموعات العينة لا تختلف في رتبها، وبالتالي لا يوجد دليل على أنها تنتمي إلى مجتمعين مختلفين. ويمكن القول إن حجم التأثير r = 0 يصف عدم وجود علاقة بين انتماء المجموعة ورتب أعضائها.

في مقالهم "تحسين التقارير الإحصائية في علم النفس"، وضعت آنا لينا شوبرت وزملاؤها (2025) إرشاداتٍ لإعداد التقارير الإحصائية، مستندين إلى توصياتٍ راسخة وأفضل الممارسات الناشئة. وقدّموا في الجدول 5 لمحةً عامةً عن أحجام التأثير للنماذج الإحصائية الشائعة الاستخدام. كما أشاروا في هذا الجدول إلى ورقة كيربي (2014) كمصدرٍ رئيسي لتطبيق وتفسير معامل الارتباط الثنائي الرتبي.