نموذج اضطراب K-epsilon

يُعدّ نموذج اضطراب k-ε (k-ε) أحد أكثر النماذج شيوعًا في ديناميكا الموائع الحسابية (CFD) لمحاكاة خصائص التدفق المتوسط ​​في ظروف التدفق المضطرب . وهو نموذج ثنائي المعادلات يُقدّم وصفًا عامًا للاضطراب من خلال معادلتين للنقل ( معادلات تفاضلية جزئية ). كان الدافع الأصلي وراء تطوير نموذج k-ε هو تحسين نموذج طول الخلط ، بالإضافة إلى إيجاد بديل لتحديد أطوال الاضطراب جبريًا في التدفقات ذات التعقيد المتوسط ​​إلى العالي. ^{[ 1 ]}

• المتغير الأول المنقول هو طاقة الحركة الاضطرابية (k).
• المتغير الثاني المنقول هو معدل تبديد الطاقة الحركية للاضطراب (ε).

بخلاف نماذج الاضطراب السابقة ، يركز نموذج k-ε على الآليات التي تؤثر على طاقة الحركة الاضطرابية. ويفتقر نموذج طول الخلط إلى هذا النوع من العمومية. ^{[ 2 ]} ويفترض هذا النموذج أساسًا أن اللزوجة الاضطرابية متجانسة الخواص ، أي أن النسبة بين إجهاد رينولدز ومتوسط ​​معدل التشوهات متساوية في جميع الاتجاهات.

تحتوي معادلات k-ε الدقيقة على العديد من الحدود المجهولة وغير القابلة للقياس. وللحصول على نهج أكثر عملية، يُستخدم نموذج اضطراب k-ε القياسي (لوندر وسبالدينغ، 1974 ^{[ 3 ]} )، والذي يستند إلى فهمنا الأمثل للعمليات ذات الصلة، مما يقلل من عدد المجاهيل ويقدم مجموعة من المعادلات التي يمكن تطبيقها على عدد كبير من التطبيقات المضطربة.

بالنسبة للطاقة الحركية للاضطراب k ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho k)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho ku_{i})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\left(\mu +{\frac {\mu _{t}}{\sigma _{k}}}\right){\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right]+2{\mu _{t}}{E_{ij}}{E_{ij}}-\rho \varepsilon }$

للتبديد${\displaystyle \varepsilon }$^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho \varepsilon )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho \varepsilon u_{i})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\left(\mu +{\frac {\mu _{t}}{\sigma _{\varepsilon }}}\right){\frac {\partial \varepsilon }{\partial x_{j}}}\right]+C_{1\varepsilon }{\frac {\varepsilon }{k}}2{\mu _{t}}{E_{ij}}{E_{ij}}-C_{2\varepsilon }\rho {\frac {\varepsilon ^{2}}{k}}}$

أين

${\displaystyle u_{i}}$يمثل مركبة السرعة في الاتجاه المقابل

${\displaystyle E_{ij}}$يمثل مكونًا من معدل التشوه

${\displaystyle \mu }$يمثل اللزوجة الديناميكية

${\displaystyle \mu _{t}}$يمثل لزوجة الدوامة

${\displaystyle \mu _{t}=\rho C_{\mu }{\frac {k^{2}}{\varepsilon }}}$

تنص المعادلات على أن معدل تغير k أو ε مع مرور الوقت، بالإضافة إلى نقل k أو ε عن طريق الحمل ، يساوي نقل k أو ε عن طريق الانتشار ، بالإضافة إلى معدل إنتاج k أو ε، مطروحًا منه معدل تدمير k أو ε.

تحتوي المعادلات أيضاً على بعض الثوابت القابلة للتعديل:${\displaystyle \sigma _{k}}$،${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }}$،${\displaystyle C_{1\varepsilon }}$، و${\displaystyle C_{2\varepsilon }}$تم التوصل إلى قيم هذه الثوابت من خلال العديد من عمليات مطابقة البيانات لمجموعة واسعة من التدفقات المضطربة. وهي كالتالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle C_{\mu }=0.09}$          ${\displaystyle \sigma _{k}=1.00}$          ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }=1.30}$          ${\displaystyle C_{1\varepsilon }=1.44}$          ${\displaystyle C_{2\varepsilon }=1.92}$

تم تصميم نموذج k-ε خصيصًا لطبقات القص المستوية ^{[ 6 ]} والتدفقات الدائرية ^{[ 7 ]} . يُعد هذا النموذج الأكثر استخدامًا واعتمادًا في مجال نماذج الاضطراب ، وتتراوح تطبيقاته من التدفقات الصناعية إلى البيئية، مما يفسر شعبيته. وهو مفيد عادةً لتدفقات طبقة القص الحرة ذات تدرجات الضغط الصغيرة نسبيًا ، وكذلك في التدفقات المحصورة حيث تكون إجهادات قص رينولدز في غاية الأهمية ^{[ 8 ]} . ويمكن اعتباره أيضًا أبسط نموذج للاضطراب ، إذ لا يتطلب سوى تحديد الشروط الابتدائية أو الحدية .

مع ذلك، يُعدّ هذا النموذج أكثر تكلفةً من حيث الذاكرة مقارنةً بنموذج طول الخلط ، إذ يتطلب معادلتين تفاضليتين جزئيتين إضافيتين. لذا، يُعتبر هذا النموذج خيارًا غير مناسب لمسائل مثل المداخل والضواغط، حيث أظهرت التجارب انخفاض دقته في التدفقات التي تحتوي على تدرجات ضغط معاكسة كبيرة . كما يُظهر نموذج k-ε أداءً ضعيفًا في العديد من الحالات المهمة، مثل التدفقات غير المحصورة ^{[ 9 ]} ، والطبقات الحدية المنحنية، والتدفقات الدورانية ، والتدفقات في القنوات غير الدائرية ^{[ 10 ] .}

نموذج k-ε القابل للتحقيق: تتمثل إحدى المزايا المباشرة لنموذج k-ε القابل للتحقيق في تحسين التنبؤات بمعدل انتشار كل من النفاثات المستوية والدائرية. كما يُظهر أداءً فائقًا في التدفقات التي تتضمن الدوران، والطبقات الحدية تحت تأثير تدرجات الضغط المعاكسة القوية، والانفصال، وإعادة التدوير. في جميع مقاييس المقارنة تقريبًا، يُظهر نموذج k-ε القابل للتحقيق قدرة فائقة على محاكاة التدفق المتوسط ​​للهياكل المعقدة.

نموذج k-ω : يُستخدم عندما تكون هناك تأثيرات جدارية موجودة داخل العلبة.

نموذج معادلة إجهاد رينولدز : في حالة التدفقات المضطربة المعقدة، توفر نماذج إجهاد رينولدز تنبؤات أفضل. ^{[ 11 ]} تشمل هذه التدفقات التدفقات المضطربة ذات درجات عالية من التباين، وانحناء كبير في خطوط الانسياب، وانفصال التدفق، ومناطق إعادة التدوير، وتأثيرات الدوران المتوسط.

• مقدمة في ديناميكا الموائع الحسابية: طريقة الحجم المحدود (الطبعة الثانية)، تأليف: هـ. فيرستيج، و. مالالاسيكيرا؛ دار بيرسون للتعليم المحدودة؛ 2007؛ رقم ISBN 0131274988
• "نمذجة الاضطراب في ديناميكا الموائع الحسابية"، الطبعة الثانية، ويلكوكس سي دي؛ دي سي دبليو للصناعات؛ 1998؛ رقم ISBN 0963605100
• «مقدمة في الاضطراب وقياسه»، برادشو، ب.؛ دار بيرغامون للنشر؛ 1971؛ رقم ISBN 0080166210