النقطة الدورية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وفي دراسة الدوال المتكررة والأنظمة الديناميكية ، تعتبر النقطة الدورية للدالة نقطة يعود إليها النظام بعد عدد معين من تكرارات الدالة أو بعد فترة زمنية معينة .

الدوال المتكررة

بفرض وجود دالة f من مجموعة X إلى نفسها،

و:X→X،{\displaystyle f:X\to X,}

تُسمى النقطة x في X نقطة دورية إذا وُجد عدد n > 0 بحيث

 ون(x)=x{\displaystyle \ f_{n}(x)=x}

حيث f <sub>n </sub> هي التكرار النوني للدالة f . يُطلق على أصغر عدد صحيح موجب n يحقق ما سبق اسم الدورة الأولية أو أصغر دورة للنقطة x . إذا كانت كل نقطة في X نقطة دورية لها نفس الدورة n ، فإن f تُسمى دورية ذات دورة n (يجب عدم الخلط بين هذا ومفهوم الدالة الدورية ).

إذا كان هناك عددان مختلفان n و m بحيث

ون(x)=وم(x){\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}

عندئذٍ يُطلق على النقطة x اسم نقطة ما قبل الدورية . جميع النقاط الدورية هي نقاط ما قبل الدورية.

إذا كان f تماثلًا تفاضليًا لمتشعب قابل للتفاضل ، بحيث تكون المشتقةون′{\displaystyle f_{n}^{\prime }}إذا تم تعريف نقطة دورية، يُقال إن النقطة الدورية زائدية إذا

|ون′|≠1،{\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}

أنه جذاب إذا

|ون′|<1،{\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}

ويكون ذلك منفراً إذا

|ون′|>1.{\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}

إذا كان بُعد المتشعب المستقر لنقطة دورية أو نقطة ثابتة يساوي صفرًا، فإن النقطة تسمى مصدرًا ؛ وإذا كان بُعد المتشعب غير المستقر الخاص بها يساوي صفرًا، فإنها تسمى مصبًا ؛ وإذا كان لكل من المتشعب المستقر وغير المستقر بُعد غير صفري، فإنها تسمى نقطة سرجية أو نقطة سرجية .

أمثلة

تُسمى النقطة ذات الدورة الواحدة نقطة ثابتة .

الخريطة اللوجستية

xت+1=رxت(1-xت)،0≤xت≤1،0≤ر≤4{\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4}

يُظهر هذا النمط دوريةً لقيم مختلفة للمعامل r . فعندما تكون قيمة r بين 0 و1، تكون القيمة 0 هي النقطة الدورية الوحيدة، بدورة 1 (مما يُعطي التسلسل 0، 0، 0، ...، الذي يجذب جميع المدارات). أما عندما تكون قيمة r بين 1 و3، فإن القيمة 0 تظل دورية ولكنها غير جاذبة، بينما القيمة 1 هي نقطة دورية .ر-1ر{\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}}هي نقطة دورية جاذبة ذات دورة 1. حيث r أكبر من 3 ولكن أقل من ⁠1+6،{\displaystyle 1+{\sqrt {6}},}يوجد زوج من النقاط ذات الدورة 2 التي تشكل معًا متتالية جاذبة، بالإضافة إلى النقاط غير الجاذبة ذات الدورة 1، وهما 0 ور-1ر.{\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}.}مع ارتفاع قيمة المعامل r نحو 4، تظهر مجموعات من النقاط الدورية مع أي عدد صحيح موجب للدورة؛ بالنسبة لبعض قيم r، تكون إحدى هذه التسلسلات المتكررة جاذبة بينما بالنسبة للبعض الآخر لا تكون أي منها جاذبة (مع كون جميع المدارات تقريبًا فوضوية).

النظام الديناميكي

بالنظر إلى نظام ديناميكي عالمي حقيقي(R،X،Φ)،{\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi ),}حيث X هي فضاء الطور وΦ هي دالة التطور ،

Φ:R×X→X{\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}

تُسمى النقطة x في X دورية ذات دورة T إذا

Φ(تي،x)=x{\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}

أصغر قيمة موجبة T تتمتع بهذه الخاصية تسمى الفترة الأولية للنقطة x .

ملكيات

  • إذا كانت لدينا نقطة دورية x ذات دورة T ، فإنΦ(ت،x)=Φ(ت+تي،x){\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)}لكل t في​R.{\displaystyle \mathbb {R} .}⁠
  • إذا كانت لدينا نقطة دورية x، فإن جميع النقاط على المدار γ x حتى x تكون دورية ولها نفس الفترة الأولية.

انظر أيضاً

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع "Hyperbolic fixed point" على موقع "PlanetMath" ، وهو مرخص بموجب رخصة "Creative Commons Attribution/Share-Alike" .