العدد الثنائي

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

العدد الثنائي هو عدد يُعبَّر عنه بنظام العد الثنائي ، وهو نظام يُستخدم فيه رمزان فقط للأعداد الطبيعية : عادةً 0 ( صفر ) و 1 ( واحد ). وقد يُشير العدد الثنائي أيضًا إلى عدد نسبي له تمثيل محدود في نظام العد الثنائي، أي ناتج قسمة عدد صحيح على قوة من قوى العدد اثنين.

النظام العددي الثنائي هو نظام ترميز موضعي أساسه 2. يُشار إلى كل رقم فيه باسم بت ، أو رقم ثنائي. ونظرًا لسهولة تطبيقه في الدوائر الإلكترونية الرقمية باستخدام البوابات المنطقية ، يُستخدم النظام الثنائي في معظم الحواسيب والأجهزة الحديثة ، كنظام مفضل للاستخدام، على عكس العديد من أساليب التواصل البشري الأخرى، وذلك لبساطة لغته ومقاومته للتشويش في التطبيق العملي. [ 1 ]

العدد العشريالعدد الثنائي
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
81000
91001
101010
111011
121100
131101
141110
151111

تاريخ

دُرِسَ نظام الأعداد الثنائية الحديث لأول مرة في أوروبا في القرنين السادس عشر والسابع عشر على يد توماس هاريوت ، وبعد عقود على يد غوتفريد لايبنتز ، الذي يُنسب إليه اختراعه. [ 2 ] مع ذلك، ظهرت أنظمة مرتبطة بالأعداد الثنائية في وقت سابق في ثقافات متعددة، بما في ذلك مصر القديمة والصين وأوروبا والهند، على سبيل المثال فيما يتعلق بالتنبؤ باستخدام القرعة الثنائية . [ 3 ]

مصر

القيم الحسابية التي يُعتقد أنها كانت ممثلة بأجزاء من عين حورس

استخدم كتبة مصر القديمة نظامين مختلفين للكسور، هما الكسور المصرية (غير المرتبطة بنظام العد الثنائي) وكسور عين حورس (التي سُميت بهذا الاسم لأن بعض مؤرخي الرياضيات اعتقدوا أن الرموز المستخدمة في هذا النظام يمكن ترتيبها لتشكيل عين حورس ، على الرغم من أن هذا الأمر محل خلاف). [ 4 ] تُعد كسور عين حورس نظامًا ثنائيًا للعد يُستخدم لتمثيل الكميات الكسرية من الحبوب أو السوائل أو غيرها من المقاييس ، حيث يُعبَّر عن كسر الهيكات بمجموع الكسور الثنائية 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، 1/16 ، 1/32 ، و 1 / 64 . يمكن العثور على أشكال مبكرة لهذا النظام في وثائق من الأسرة الخامسة في مصر ، حوالي 2400 قبل الميلاد، ويعود شكله الهيروغليفي المتطور بالكامل إلى الأسرة التاسعة عشرة في مصر ، حوالي 1200 قبل الميلاد. [ 5 ]

تُعدّ طريقة الضرب المستخدمة في مصر القديمة وثيقة الصلة بالأعداد الثنائية. في هذه الطريقة، يتم ضرب عدد في آخر عبر سلسلة من الخطوات، حيث يُضاعف أحد العددين (وهو في البداية العدد الأول) أو يُضاف إليه العدد الأول؛ ويُحدد ترتيب هذه الخطوات من خلال التمثيل الثنائي للعدد الثاني. ويمكن ملاحظة استخدام هذه الطريقة، على سبيل المثال، في بردية رايند الرياضية ، التي يعود تاريخها إلى حوالي 1650 قبل الميلاد. [ 6 ]

الصين

باغوا الداوية

يعود تاريخ كتاب "يي جينغ" إلى القرن التاسع قبل الميلاد في الصين. [ 7 ] ويُستخدم الترميز الثنائي في " يي جينغ" لتفسير أسلوبه الرباعي في التنبؤ . [ 8 ]

يستند هذا النظام إلى ثنائية الين واليانغ الطاوية . [ 9 ] وقد استُخدمت ثمانية رسوم ثلاثية (باغوا) ومجموعة من 64 رسمًا سداسيًا ("غوا أربعة وستون") ، وهي مماثلة للأرقام الثنائية المكونة من ثلاثة وستة بتات، على الأقل منذ عهد أسرة تشو في الصين القديمة. [ 7 ]

أعاد العالم شاو يونغ (1011-1077) ، من أسرة سونغ ، ترتيب الأشكال السداسية في شكل يُشبه الأرقام الثنائية الحديثة، مع أنه لم يقصد استخدام هذا الترتيب في الرياضيات. [ 8 ] ويمكن تفسير الأشكال السداسية ، عند النظر إلى أقل بت أهمية أعلى كل شكل سداسي في مربع شاو يونغ [ 10 ] وقراءة الصفوف إما من أسفل اليمين إلى أعلى اليسار، حيث تمثل الخطوط المتصلة 0 والخطوط المتقطعة 1، أو من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين، حيث تمثل الخطوط المتصلة 1 والخطوط المتقطعة 0، على أنها سلسلة من 0 إلى 63. [ 11 ]

العصور الكلاسيكية القديمة

قسم الأتروسكان الحافة الخارجية لأقراص التنجيم إلى ستة عشر جزءًا، نُقش على كل منها اسم إله ومنطقة سمائه. أنتج كل جزء من أجزاء القرص قراءة ثنائية جُمعت في قراءة ثنائية نهائية للتنجيم. [ 12 ]

كانت عملية التنجيم في معبد دودونا اليوناني القديم تتم عن طريق سحب عينات من جرار منفصلة، ​​وألواح أسئلة، وحبيبات تحمل إجابتي "نعم" و"لا". ثم يتم دمج النتائج لتكوين نبوءة نهائية. [ 13 ]

الهند

وضع العالم الهندي بينغالا (حوالي القرن الثاني قبل الميلاد) نظامًا ثنائيًا لوصف العروض الشعرية . [ 14 ] [ 15 ] وصف الأوزان الشعرية على شكل مقاطع قصيرة وطويلة (الأخيرة تساوي في طولها مقطعين قصيرين). [ 16 ] عُرفت هذه المقاطع باسم "لاغو " (خفيفة) و "غورو" (ثقيلة).

يصف كتاب بينغالا الكلاسيكي الهندوسي، المسمى "تشانداشاسترا " (8.23)، كيفية تكوين مصفوفة لإعطاء قيمة فريدة لكل وزن شعري. يُترجم مصطلح "تشانداشاسترا" حرفيًا إلى " علم الأوزان " في اللغة السنسكريتية. تتزايد التمثيلات الثنائية في نظام بينغالا باتجاه اليمين، وليس باتجاه اليسار كما هو الحال في الأعداد الثنائية في الترميز الموضعي الحديث . [ 17 ] في نظام بينغالا، تبدأ الأرقام من الرقم واحد، وليس من الصفر. تُشكل المقاطع الصوتية الأربعة القصيرة "0000" النمط الأول، وهي تُقابل القيمة واحد. تُحسب القيمة العددية بإضافة واحد إلى مجموع القيم المكانية . [ 18 ]

غرب أفريقيا

نظام إيفا هو نظام عرافة غرب أفريقي شائع بين قبيلة اليوروبا في إمبراطورية أويو القديمة . وهو مشابه لنظام الإي تشينغ ، لكنه يحتوي على ما يصل إلى 256 رمزًا ثنائيًا، [ 19 ] على عكس الإي تشينغ الذي يحتوي على 64 رمزًا. يأتي هذا العدد من تربيع 16، وهو ما يتطابق أيضًا مع إجمالي الاحتمالات في تسلسل مكون من 8 بتات. في نظام إيفا للعرافة، يعكس هذا العدد النتائج المحتملة المسماة أودو . يتم تحديد هذه الأودو باستخدام سلسلة أوبلي ، التي تتكون من 8 بذور. يمكن لكل بذرة أن تستقر في أحد موضعين (مفتوح أو مغلق)، مما يخلق جميع التركيبات الممكنة. نشأ نظام إيفا في غرب أفريقيا في القرن الخامس عشر بين شعب اليوروبا . في عام 2008، أضافت اليونسكو نظام إيفا إلى قائمتها " روائع التراث الشفهي وغير المادي للبشرية ". [ 20 ] [ 21 ]

ثقافات أخرى

كان سكان جزيرة مانغاريفا في بولينيزيا الفرنسية يستخدمون نظامًا هجينًا ثنائيًا- عشريًا قبل عام 1450. [ 22 ] تُستخدم الطبول ذات الشقوق التي تصدر نغمات ثنائية لترميز الرسائل في جميع أنحاء أفريقيا وآسيا. [ 9 ] كما استُخدمت مجموعات من التركيبات الثنائية المشابهة لكتاب التغييرات (الإي تشينغ) في أنظمة التنجيم الأفريقية التقليدية، مثل نظام إيفا ، بالإضافة إلى علم الرمل الغربي في العصور الوسطى . وتستخدم غالبية لغات السكان الأصليين في أستراليا نظامًا أساسه 2. [ 23 ]

أسلاف لايبنتز الغربيين

في عام ١٦٠٥، ناقش فرانسيس بيكون نظامًا يُمكن من خلاله اختزال حروف الأبجدية إلى سلاسل من الأرقام الثنائية، والتي يُمكن بعد ذلك ترميزها كاختلافات طفيفة جدًا في الخط في أي نص عشوائي. [ ٢٤ ] وأضاف، وهو أمر بالغ الأهمية لنظرية الترميز الثنائي العامة، أن هذه الطريقة يُمكن استخدامها مع أي شيء على الإطلاق: "شريطة أن تكون تلك الأشياء قادرة على التمييز بين شيئين فقط؛ مثل الأجراس، والأبواق، والمصابيح والمشاعل، وصوت البنادق، وأي أدوات من هذا القبيل". [ ٢٤ ]

في عام 1617، وصف جون نابيير نظامًا أطلق عليه اسم "الحساب الموضعي" لإجراء العمليات الحسابية الثنائية باستخدام تمثيل غير موضعي بالأحرف. درس توماس هاريوت العديد من أنظمة الترقيم الموضعي، بما في ذلك النظام الثنائي، لكنه لم ينشر نتائجه؛ وقد عُثر عليها لاحقًا ضمن أوراقه البحثية. [ 25 ] يُحتمل أن يكون خوان كارامويل إي لوبكوفيتز أول من نشر هذا النظام في أوروبا عام 1700. [ 26 ]

لايبنيتز

غوتفريد لايبنتز

كتب لايبنتز ما يزيد عن مئة مخطوطة حول النظام الثنائي، وبقي معظمها غير منشور. [ 27 ] قبل عمله المخصص الأول عام 1679، تضمنت العديد من المخطوطات محاولات مبكرة لاستكشاف مفاهيم النظام الثنائي، بما في ذلك جداول الأرقام والحسابات الأساسية، والتي غالبًا ما كانت مكتوبة على هوامش أعمال لا علاقة لها بالرياضيات. [ 27 ]

في أول أعماله المعروفة عن النظام الثنائي، بعنوان "حول التتابع الثنائي" ، عام 1679، قدّم لايبنتز التحويل بين النظامين العشري والثنائي، بالإضافة إلى خوارزميات لإجراء العمليات الحسابية الأساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة باستخدام الأعداد الثنائية. كما طوّر شكلاً من أشكال الجبر الثنائي لحساب مربع عدد مكون من ستة أرقام واستخراج الجذور التربيعية. [ 27 ]

يُعدّ كتابه "شرح الحساب الثنائي" (Explication de l'Arithmétique Binaire ) (المنشور عام 1703) أشهر أعماله . ويُترجم عنوان مقال لايبنتز الكامل إلى الإنجليزية على النحو التالي: "شرح الحساب الثنائي الذي يستخدم فقط الرمزين 1 و0، مع بعض الملاحظات حول فائدته، والضوء الذي يُلقيه على الأرقام الصينية القديمة فو شي " . [ 28 ] يستخدم نظام لايبنتز الرمزين 0 و1، كما هو الحال في نظام العد الثنائي الحديث. وفيما يلي مثال على نظام لايبنتز للعد الثنائي: [ 28 ]

0 0 0 1  قيمة عددية 2 0
0 0 1 0  القيمة العددية 2 1
0 1 0 0  القيمة العددية 2 2
1 0 0 0  القيمة العددية 2 3

أثناء مراسلاته مع الكاهن اليسوعي يواكيم بوفيه عام ١٧٠٠، الذي كان قد برع في كتاب التغييرات (الإي تشينغ) خلال فترة عمله كمبشر في الصين، شرح لايبنتز نظام الترميز الثنائي الخاص به، وأثبت بوفيه في رسائله عام ١٧٠١ أن كتاب التغييرات (الإي تشينغ) كان ابتكارًا مستقلًا وموازيًا لنظام الترميز الثنائي. وخلص لايبنتز وبوفيه إلى أن هذا الربط دليل على إنجازات صينية عظيمة في نوع الرياضيات الفلسفية الذي كان لايبنتز معجبًا به. [ ٢٩ ] وعن هذا الابتكار الموازي، كتب لايبنتز في كتابه "شرح الحساب الثنائي" أن "استعادة معناهما، بعد هذه الفترة الزمنية الطويلة، ستبدو أكثر إثارة للدهشة". [ ٣٠ ]

كانت هذه العلاقة فكرة محورية في مفهومه الشامل للغة أو الخاصية الشاملة ، وهي فكرة شائعة تبناها خلفاؤه مثل غوتلوب فريجه وجورج بول في صياغة المنطق الرمزي الحديث . [ 31 ] تعرّف لايبنتز على كتاب التغييرات (الإي تشينغ) لأول مرة من خلال تواصله مع اليسوعي الفرنسي يواكيم بوفيه ، الذي زار الصين عام 1685 كمبشر. رأى لايبنتز في الأشكال السداسية للإي تشينغ تأكيدًا على عالمية معتقداته الدينية كمسيحي. [ 32 ] كانت الأرقام الثنائية أساسية في لاهوت لايبنتز، إذ اعتقد أنها ترمز إلى الفكرة المسيحية عن الخلق من العدم . [ 33 ]

مفهومٌ يصعب إيصاله إلى الوثنيين، ألا وهو الخلق من العدم بقدرة الله المطلقة. ويمكن القول إنه لا يوجد في العالم ما يُجسّد هذه القدرة ويُظهرها أفضل من أصل الأعداد، كما هو مُبيّن هنا من خلال العرض البسيط والواضح للواحد والصفر أو العدم.

— رسالة لايبنتز إلى دوق برونزويك المرفقة برسومات كتاب التغييرات (I Ching) السداسية [ 32 ]

التطورات اللاحقة

جورج بول

في عام 1854، نشر عالم الرياضيات البريطاني جورج بول بحثًا رائدًا يشرح بالتفصيل نظامًا جبريًا منطقيًا سيُعرف فيما بعد باسم الجبر البولياني . وقد أصبح حسابه المنطقي أداةً أساسيةً في تصميم الدوائر الإلكترونية الرقمية. [ 34 ]

في عام 1937، قدّم كلود شانون أطروحته للماجستير في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، والتي طبّق فيها الجبر البولياني والحساب الثنائي باستخدام المرحلات والمفاتيح الإلكترونية لأول مرة في التاريخ. حملت أطروحته عنوان "تحليل رمزي لدوائر المرحلات والمفاتيح" ، وقد أرست أساسًا متينًا لتصميم الدوائر الرقمية العملية . [ 35 ]

في نوفمبر 1937، أنجز جورج ستيبتز ، الذي كان يعمل آنذاك في مختبرات بيل ، حاسوبًا يعتمد على المرحلات أطلق عليه اسم "النموذج K" (اختصارًا لكلمة " Kitchen " التي تعني "المطبخ"، حيث قام بتجميعه)، وكان يُجري العمليات الحسابية باستخدام الجمع الثنائي. [ 36 ] وفي أواخر عام 1938، أذنت مختبرات بيل ببرنامج بحثي كامل بقيادة ستيبتز. وكان حاسوب الأعداد المركبة، الذي اكتمل في 8 يناير 1940، قادرًا على حساب الأعداد المركبة . وفي عرض توضيحي في مؤتمر الجمعية الرياضية الأمريكية في كلية دارتموث في 11 سبتمبر 1940، تمكن ستيبتز من إرسال أوامر عن بُعد إلى حاسبة الأعداد المركبة عبر خطوط الهاتف باستخدام جهاز التلكس . وكان هذا أول جهاز حاسوب يُستخدم عن بُعد عبر خط الهاتف. ومن بين المشاركين في المؤتمر الذين شهدوا العرض التوضيحي جون فون نيومان ، وجون موشلي، ونوربرت وينر ، الذي كتب عنه في مذكراته. [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]

استخدم جهاز الكمبيوتر Z1 ، الذي صممه وبناه كونراد تسوزه بين عامي 1935 و1938، المنطق البولياني والأرقام الثنائية ذات الفاصلة العائمة . [ 40 ]

التمثيل

يمكن تمثيل أي عدد بسلسلة من البتات (الأرقام الثنائية)، والتي بدورها يمكن تمثيلها بأي آلية قادرة على التواجد في حالتين متنافيتين. يمكن تفسير أي من صفوف الرموز التالية على أنها القيمة العددية الثنائية للعدد 667:

1010011011
|—|——||—||
☒☐☒☐☐☒☒☐☒☒
yنyننyyنyy
تيFتيFFتيتيFتيتي
+-+--++-++
قد تستخدم الساعة الثنائية مصابيح LED للتعبير عن القيم الثنائية. في هذه الساعة، يُظهر كل عمود من مصابيح LED رقمًا عشريًا مشفرًا ثنائيًا للوقت الستيني التقليدي .

تعتمد القيمة العددية المُمثلة في كل حالة على القيمة المُخصصة لكل رمز. في بدايات الحوسبة، استُخدمت المفاتيح والثقوب المثقوبة وأشرطة الورق المثقوبة لتمثيل القيم الثنائية. [ 41 ] في الحاسوب الحديث، يمكن تمثيل القيم العددية بجهدين مختلفين ؛ وعلى القرص المغناطيسي ، يمكن استخدام الأقطاب المغناطيسية . لا تُعادل حالة "موجب" أو " نعم " أو "تشغيل" بالضرورة القيمة العددية واحد؛ بل يعتمد ذلك على بنية الحاسوب المُستخدمة.

تماشياً مع التمثيل المعتاد للأرقام باستخدام الأرقام العربية ، تُكتب الأرقام الثنائية عادةً باستخدام الرمزين 0 و 1 . عند كتابة الأرقام الثنائية، غالباً ما تُضاف إليها رموز سفلية أو بادئات أو لواحق للدلالة على أساسها . الرموز التالية متكافئة:

  • 100101 ثنائي (بيان صريح للتنسيق)
  • 100101b (لاحقة تشير إلى التنسيق الثنائي؛ والمعروفة أيضًا باسم اتفاقية Intel [ 42 ] [ 43 ] )
  • 100101B (لاحقة تشير إلى التنسيق الثنائي)
  • bin 100101 (بادئة تشير إلى التنسيق الثنائي)
  • 100101 2 (رمز سفلي يشير إلى الترميز الثنائي (الأساس 2))
  • %100101 (بادئة تشير إلى التنسيق الثنائي؛ والمعروفة أيضًا باسم اتفاقية موتورولا [ 42 ] [ 43 ] )
  • 0b100101 (بادئة تشير إلى التنسيق الثنائي، وهي شائعة في لغات البرمجة)
  • 6b100101 (بادئة تشير إلى عدد البتات في التنسيق الثنائي، وهي شائعة في لغات البرمجة)
  • #b100101 (بادئة تشير إلى التنسيق الثنائي، وهي شائعة في لغات برمجة Lisp)

عند النطق، تُقرأ الأرقام الثنائية عادةً رقمًا رقمًا، لتمييزها عن الأرقام العشرية. على سبيل المثال، يُنطق الرقم الثنائي 100 " واحد صفر صفر" وليس "مائة" ، لتوضيح طبيعته الثنائية ولأغراض الدقة. بما أن الرقم الثنائي 100 يُمثل القيمة أربعة، فسيكون من المُربك الإشارة إليه بكلمة " مائة" (وهي كلمة تُمثل قيمة أو مقدارًا مختلفًا تمامًا). بدلاً من ذلك، يُمكن قراءة الرقم الثنائي 100 على أنه "أربعة" ( القيمة الصحيحة )، ولكن هذا لا يُوضح طبيعته الثنائية.

العد بالنظام الثنائي

يشبه العد في النظام الثنائي العد في أي نظام عددي آخر. يبدأ العد برقم واحد، ثم ينتقل إلى كل رمز بترتيب تصاعدي. قبل الخوض في العد الثنائي، من المفيد مناقشة نظام العد العشري الأكثر شيوعًا كإطار مرجعي.

العد العشري

يستخدم العد العشري الرموز العشرة من 0 إلى 9. يبدأ العد بالاستبدال التدريجي للرقم الأقل أهمية (الرقم الأقصى يمينًا)، والذي يُسمى غالبًا الرقم الأول . عند استنفاد الرموز المتاحة لهذا الموضع، يُعاد ضبط الرقم الأقل أهمية إلى 0 ، ويُزاد الرقم التالي ذو الأهمية الأعلى (الموضع التالي إلى اليسار) ( تجاوز الحد )، ثم يُستأنف الاستبدال التدريجي للرقم الأقل أهمية. تُكرر هذه الطريقة من إعادة الضبط وتجاوز الحد لكل رقم ذي أهمية. يتقدم العد على النحو التالي:

000، 001، 002، ... 007، 008، 009، (يتم إعادة تعيين الرقم الموجود في أقصى اليمين إلى الصفر، ويتم زيادة الرقم الموجود على يساره)
0 1 0, 011, 012, ...
   ...
090، 091، 092، ... 097، 098، 099، (يتم إعادة تعيين الرقمين الأخيرين إلى أصفار، ويتم زيادة الرقم التالي)
1 00، 101، 102، ...

العد الثنائي

يوضح هذا العداد كيفية العد بالنظام الثنائي من الأرقام من صفر إلى واحد وثلاثين.
تعتمد إحدى حيل الحفلات لتخمين رقم ما على أي بطاقة طُبع، على استخدام بتات التمثيل الثنائي لهذا الرقم. في ملف SVG، انقر على بطاقة لتبديلها.

يتبع العد الثنائي نفس الإجراء تمامًا، ويبدأ الاستبدال التزايدي مرة أخرى بأقل رقم ثنائي أهمية، أو بت (البت الأقصى يمينًا، ويُسمى أيضًا البت الأول )، باستثناء أنه لا يتوفر سوى الرمزين 0 و 1 . وبالتالي، بعد أن يصل البت إلى 1 في النظام الثنائي، تؤدي الزيادة إلى إعادة ضبطه إلى 0، ولكنها تتسبب أيضًا في زيادة البت التالي إلى اليسار.

0000،
000 1 ، (تبدأ البتة الموجودة في أقصى اليمين من جديد، ويتم زيادة البتة التالية)
00 1 0, 0011, (تبدأ البتتان الموجودتان في أقصى اليمين من جديد، ويتم زيادة البت التالي)
0 1 00, 0101, 0110, 0111, (تبدأ البتات الثلاثة الموجودة في أقصى اليمين من جديد، ويتم زيادة البت التالي)
1000 ، 1001، 1010، 1011، 1100، 1101، 1110، 1111 ...

في النظام الثنائي، يُمثل كل بت قوة متزايدة للعدد 2، حيث يُمثل البت الأقصى يمينًا 2⁰ ، والبت الذي يليه 2⁹ ، ثم 2² ، وهكذا. قيمة العدد الثنائي هي مجموع قوى العدد 2 التي يُمثلها كل بت "1". على سبيل المثال، يُحوّل العدد الثنائي 100101 إلى الصيغة العشرية كما يلي:

100101 2 = [ ( 1 ) × 2 5 ] + [ ( 0 ) × 2 4 ] + [ ( 0 ) × 2 3 ] + [ ( 1 ) × 2 2 ] + [ ( 0 ) × 2 1 ] + [ ( 1 ) × 2 0 ]
100101 2 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
100101 2 = 37 10

الحساب الثنائي

العمليات الحسابية في النظام الثنائي تشبه إلى حد كبير العمليات الحسابية في أنظمة الأرقام الأخرى التي تستخدم الترميز الموضعي . ويمكن إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على الأرقام الثنائية.

إضافة

مخطط الدائرة لجامع نصف ثنائي ، يقوم بجمع بتّين معًا، وينتج بتّ المجموع وبتّ الحمل.

أبسط عملية حسابية في النظام الثنائي هي الجمع. جمع عددين ثنائيين من رقم واحد هو عملية بسيطة نسبياً، باستخدام شكل من أشكال الحمل:

0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0، مع حمل 1 (لأن 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

ينتج عن جمع رقمين "1" الرقم "0"، بينما يجب إضافة الرقم 1 إلى الخانة التالية. وهذا مشابه لما يحدث في النظام العشري عند جمع بعض الأرقام المكونة من خانة واحدة؛ فإذا كانت النتيجة تساوي أو تتجاوز قيمة الأساس (10)، يتم زيادة الرقم الموجود على اليسار.

5 + 5 → 0، مع حمل 1 (لأن 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 ))
7 + 9 → 6، مع حمل 1 (لأن 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

يُعرف هذا باسم " الترحيل ". عندما تتجاوز نتيجة عملية جمع قيمة رقم معين، يتم "ترحيل" المبلغ الزائد مقسومًا على الأساس (أي 10/10) إلى اليسار، وإضافته إلى قيمة الموضع التالي. وهذا صحيح لأن الموضع التالي له وزن أكبر بمعامل يساوي الأساس. يعمل الترحيل بنفس الطريقة في النظام الثنائي.

1 1 1 1 1 (الأرقام المحمولة) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------- = 1 0 0 1 0 0 = 36

في هذا المثال، يتم جمع عددين: 01101 2 (13 10 ) و10111 2 (23 10 ). يوضح الصف العلوي بتات الحمل المستخدمة. بدءًا من العمود الأيمن، 1 + 1 = 10 2. يتم حمل الرقم 1 إلى اليسار، ويُكتب الرقم 0 في أسفل العمود الأيمن. يُجمع العمود الثاني من اليمين: 1 + 0 + 1 = 10 2 مرة أخرى؛ يتم حمل الرقم 1، ويُكتب الرقم 0 في الأسفل. العمود الثالث: 1 + 1 + 1 = 11 2. هذه المرة، يتم حمل الرقم 1، ويُكتب الرقم 1 في الصف السفلي. بالاستمرار على هذا النحو، نحصل على الإجابة النهائية 100100 2 (36 10 ).

عندما يتعين على أجهزة الكمبيوتر جمع رقمين، فإن القاعدة التي تنص على: x xor y = (x + y) mod 2 لأي رقمين x و y تسمح بإجراء عملية حسابية سريعة للغاية أيضًا.

طريقة الحمل الطويل

يُعدّ "أسلوب الحمل الطويل" أو "أسلوب بروكهاوس للجمع الثنائي" تبسيطًا للعديد من مسائل الجمع الثنائي. ويُفيد هذا الأسلوب بشكل خاص عندما يحتوي أحد العددين على سلسلة طويلة من الآحاد. ويستند إلى فرضية بسيطة مفادها أنه في النظام الثنائي، عند إعطاء سلسلة من الأرقام تتكون بالكامل من n آحاد (حيث n عدد صحيح)، فإن إضافة 1 إليها ينتج عنها العدد 1 متبوعًا بسلسلة من n أصفار. وينطبق هذا المفهوم منطقيًا كما هو الحال في النظام العشري، حيث ينتج عن إضافة 1 إلى سلسلة من n 9 العدد 1 متبوعًا بسلسلة من n أصفار.

 ثنائي عشري 1 1 1 1 1 وبالمثل 9 9 9 9 9 + 1 + 1 ——————————— ——————————— 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

تُعدّ هذه السلاسل الطويلة شائعةً في النظام الثنائي. ومن ذلك، يتضح أنه يمكن جمع الأعداد الثنائية الكبيرة بخطوتين بسيطتين، دون عمليات ترحيل زائدة. في المثال التالي، يتم جمع العددين: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 (958 10 ) و 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 2 (691 10 )، باستخدام طريقة الترحيل التقليدية على اليسار، وطريقة الترحيل المطوّل على اليمين.

طريقة الحمل التقليدية طريقة الحمل الطويلة مقابل 1 1 1 1 1 1 1 1 (الأرقام المحمولة) 1 ← 1 ← حمل الرقم 1 حتى يصبح رقمًا واحدًا بعد "السلسلة" أدناه 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 اشطب كلمة "سلسلة"، + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 واشطب الرقم الذي أُضيف إليه —————————————————————— —————————————————————— = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

يُظهر الصف العلوي بتات الحمل المستخدمة. بدلاً من الحمل القياسي من عمود إلى آخر، يمكن إضافة الرقم "1" الأدنى رتبةً مع الرقم "1" في خانة القيمة المقابلة أسفله، ويمكن حمل الرقم "1" إلى خانة واحدة بعد نهاية السلسلة. يجب شطب الأرقام "المستخدمة" لأنها أُضيفت بالفعل. يمكن حذف السلاسل الطويلة الأخرى بنفس الطريقة. بعد ذلك، تُجمع الأرقام المتبقية كالمعتاد. باتباع هذه الطريقة، نحصل على الإجابة النهائية 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 (1649 10 ). في مثالنا البسيط باستخدام أعداد صغيرة، تطلبت طريقة الحمل التقليدية ثماني عمليات حمل، بينما تطلبت طريقة الحمل الطويل عمليتين فقط، مما يُمثل توفيرًا كبيرًا في الجهد.

جدول الجمع

01
001
1110

يشبه جدول الجمع الثنائي جدول الحقيقة لعملية الفصل المنطقي ، ولكنه ليس مطابقًا له .∨{\displaystyle \lor }الفرق هو أن1∨1=1{\displaystyle 1\lor 1=1}، بينما1+1=10{\displaystyle 1+1=10}.

الطرح

تتم عملية الطرح بنفس الطريقة تقريبًا:

0 − 0 → 0
0 − 1 → 1، استعارة 1
1 − 0 → 1
1 − 1 → 0

طرح الرقم "1" من الرقم "0" ينتج عنه الرقم "1"، بينما يجب طرح الرقم 1 من الخانة التالية. يُعرف هذا بالاستلاف . المبدأ هو نفسه مبدأ الحمل. عندما تكون نتيجة الطرح أقل من 0، وهي أصغر قيمة ممكنة للرقم، فإن الإجراء هو "استلاف" الفرق مقسومًا على الأساس (أي 10/10) من اليسار، ثم طرحه من القيمة الموضعية التالية.

 * * * * (الأعمدة المميزة بنجمة مقتبسة من) 1 1 0 1 1 1 0 -1 0 1 1 1 ---------------- = 1 0 1 0 1 1 1
 * (الأعمدة المميزة بنجمة مقتبسة من) 1 0 1 1 1 1 1 – 1 0 1 0 1 1 ---------------- = 0 1 1 0 1 0 0

طرح عدد موجب يُعادل إضافة عدد سالب له نفس القيمة المطلقة . تستخدم الحواسيب تمثيلات الأعداد المُوَقَّعة للتعامل مع الأعداد السالبة، وأكثرها شيوعًا هو تمثيل المتمم الثنائي . يُغني هذا التمثيل عن الحاجة إلى عملية طرح منفصلة. باستخدام تمثيل المتمم الثنائي، يُمكن تلخيص عملية الطرح بالصيغة التالية:

أ - ب = أ + ليس ب + 1

الضرب

عملية الضرب في النظام الثنائي مشابهة لنظيرتها في النظام العشري. يمكن ضرب عددين A و B بضرب جزئي: لكل رقم في B ، يُحسب ناتج ضرب ذلك الرقم في A ويُكتب في سطر جديد، مع إزاحته إلى اليسار بحيث يتطابق رقمه الأخير مع الرقم المستخدم في B. مجموع كل هذه النواتج الجزئية يعطي النتيجة النهائية.

بما أن النظام الثنائي لا يحتوي إلا على رقمين، فلا يوجد سوى نتيجتين محتملتين لكل عملية ضرب جزئي:

  • إذا كان الرقم في B هو 0، فإن الناتج الجزئي هو أيضًا 0
  • إذا كان الرقم في B هو 1، فإن الناتج الجزئي يساوي A

على سبيل المثال، يتم ضرب العددين الثنائيين 1011 و 1010 على النحو التالي:

 1 0 1 1 ( أ ) × 1 0 1 0 ( ب ) --------- 0 0 0 0 ← إلى أقصى 'صفر' في B + 1 0 1 1 ← إلى 'واحد' التالي في B + 0 0 0 0 +1 0 1 1 --------------- = 1 1 0 1 1 1 0

يمكن أيضًا ضرب الأعداد الثنائية بالبتات التي تلي الفاصلة الثنائية :

 1 0 1 . 1 0 1 A (5.625 بالنظام العشري) × 1 1 0 . 0 1 B (6.25 بالنظام العشري) ------------------- 1.01101 ← إلى "واحد" في B + 00.00000 ← إلى "صفر" في B + 0 0 0 . 0 0 0 + 1 0 1 1 . 0 1 + 1 0 1 1 0 . 1 --------------------------- = 1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (35.15625 بالنظام العشري)

انظر أيضًا إلى خوارزمية الضرب لبوث .

جدول الضرب

01
000
101

جدول الضرب الثنائي هو نفسه جدول الحقيقة لعملية الربط المنطقي∧{\displaystyle \land }.

قسم

القسمة المطولة في النظام الثنائي تشبه إلى حد كبير نظيرتها في النظام العشري.

في المثال أدناه، المقسوم عليه هو 101/2 ، أو 5 بالنظام العشري، بينما المقسوم هو 110/2 ، أو 27 بالنظام العشري. الإجراء هو نفسه إجراء القسمة المطولة العشرية ؛ هنا، يُقسم المقسوم عليه 101/2 الأرقام الثلاثة الأولى من المقسوم 110/2 مرة واحدة، لذا يُكتب الرقم "1" في السطر العلوي. يُضرب هذا الناتج في المقسوم عليه، ويُطرح من الأرقام الثلاثة الأولى من المقسوم؛ ويُضاف الرقم التالي (الرقم "1") للحصول على سلسلة جديدة من ثلاثة أرقام.

 1 ___________ 1 0 1 ) 1 1 0 1 1 -101 ----- 0 0 1

ثم تُكرر العملية مع التسلسل الجديد، وتستمر حتى يتم استنفاد جميع الأرقام في المقسوم:

 1 0 1 ___________ 1 0 1 ) 1 1 0 1 1 -101 ----- 1 1 1 -101 ----- 0 1 0

وبالتالي، فإن ناتج قسمة 11011² على 101² هو 101² ، كما هو موضح في السطر العلوي، بينما الباقي، كما هو موضح في السطر السفلي، هو 10² . وبالنظام العشري، يتوافق هذا مع حقيقة أن 27 مقسومة على 5 تساوي 5، والباقي 2.

إلى جانب القسمة المطولة، يمكن للمرء أيضًا ابتكار الإجراء بحيث يسمح بالطرح الزائد من الباقي الجزئي في كل تكرار، مما يؤدي إلى طرق بديلة أقل منهجية، ولكنها أكثر مرونة نتيجة لذلك.

الجذر التربيعي

عملية حساب الجذر التربيعي الثنائي رقمًا برقم هي نفسها تقريبًا عملية حساب الجذر التربيعي العشري، ولكنها أبسط بكثير نظرًا لطبيعة النظام الثنائي. أولًا، قسّم الأرقام إلى أزواج، مع إضافة صفر في البداية إذا لزم الأمر لضمان وجود عدد زوجي من الأرقام. الآن، في كل خطوة، انظر إلى الناتج حتى الآن، مضافًا إليه الرقمين 0 و1. إذا كان بالإمكان طرح هذا الناتج من الباقي الحالي، فافعل ذلك. ثم أضف الزوج التالي من الأرقام إلى الباقي. إذا طرحت، يكون الرقم التالي في الناتج هو 1، وإلا فهو 0.

 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 - 1 - 1 - 1 - 1 الإجابة حتى الآن هي 0، ---- ---- ---- ---- يصبح الرقم 001 بعد إضافة 01، 1 10 1 10 1 10 يمكن طرح هذا - 1 01 - 1 01 - 1 01 من الزوج الأول 10، الإجابة حتى الآن هي 1، ------- ------- ------- إذن، الرقم الأول بعد إضافة 01 هو 101، 1 10 1 10 01 1 10 01 الإجابة هي 1. يمكن طرح هذا - 1 10 01 الباقي ١١٠، إذن الإجابة حتى الآن هي ١١، الإجابة حتى الآن هي ١١٠، ---------- الرقم التالي في الإجابة هو 1. مضافًا إليه 01 يصبح 1101، مضافًا إليه 01 يصبح 11001، 0 هذا كبير جدًا، لذا يمكن طرحه. اطرح من الباقي من الباقي 11001، وهكذا تم الأمر! 110، لذا فإن الرقم التالي من الرقم التالي في الإجابة هو 1. الجواب هو 0.

الكسور

في الحساب الثنائي، لا ينتهي التمثيل الثنائي للكسر إلا إذا كان المقام قوةً للعدد 2. ونتيجةً لذلك، فإن 1/10 ليس له تمثيل ثنائي منتهٍ (لأن العدد 10 له عوامل أولية هي 2 و5). وهذا ما يجعل 10 × 1/10 لا يساوي 1 تمامًا في الحساب الثنائي ذي الفاصلة العائمة . على سبيل المثال، التمثيل الثنائي لـ 1/3 هو 0.010101...، مما يعني أن

13=0×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4+⋯.{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}+\cdots .}

لا يمكن إيجاد قيمة دقيقة من خلال مجموع عدد محدود من القوى العكسية للعدد اثنين، حيث تتناوب الأصفار والآحاد في التمثيل الثنائي للعدد 1/3 إلى الأبد.

جزءعشريثنائيالتقريب الكسري
1/11  أو  0.999...1  أو  0.1​نصف + ربع + ثمن...
نصف0.5  أو  0.4999...0.1  أو  0.0 11/4 + 1/8 + 1/16 ...
1/30.333...0.01​1/4 + 1/16 + 1/64 ...
1/40.25  أو  0.24999...0.01  أو  0.00 11/8 + 1/16 + 1/32 ...
1/50.2  أو  0.1999...0.0011​1/8 + 1/16 + 1/128 . . .
1/60.1666...0.0 011/8 + 1/32 + 1/128 . . .
1/70.142857142857...0.001​1/8 + 1/64 + 1/512 . . .
1/80.125  أو  0.124999...0.001  أو  0.000 11/16 + 1/32 + 1/64 ...
1/90.111...0.000111​1/16 + 1/32 + 1/64 ...
1/100.1  أو  0.0999...0.0 00111/16 + 1/32 + 1/256 . . .
1/110.090909...0. 00010111011/16 + 1/64 + 1/128 . . .
1/120.08333...0.00 011/16 + 1/64 + 1/256 . . .
1/130.076923076923...0. 0001001110111/16 + 1/128 + 1/256 . . .
1/140.0714285714285...0.0 0011/16 + 1/128 + 1/1024 . . .
1/150.0666...0.0001​1/16 + 1/256 . . .
1/160.0625  أو  0.0624999...0.0001  أو  0.0000 11/32 + 1/64 + 1/128 . . .

عمليات البت

على الرغم من عدم ارتباطها المباشر بالتفسير العددي للرموز الثنائية، إلا أنه يمكن معالجة سلاسل البتات باستخدام عوامل التشغيل المنطقية البوليانية . تُسمى هذه العملية، عند معالجة سلسلة من الرموز الثنائية، عملية بتية ؛ حيث يمكن تطبيق عوامل التشغيل المنطقية AND و OR و XOR على البتات المتناظرة في عددين ثنائيين مُدخلين. أما عملية NOT المنطقية ، فيمكن تطبيقها على بتات منفردة في عدد ثنائي واحد مُدخل. أحيانًا، تُستخدم هذه العمليات كاختصارات حسابية، وقد تُوفر فوائد حسابية أخرى أيضًا. على سبيل المثال، تُعادل الإزاحة الحسابية إلى اليسار لعدد ثنائي الضرب في قوة (موجبة وصحيحة) للعدد 2.

التحويل من وإلى أنظمة الأرقام الأخرى

تحويل النظام العشري إلى نظام ثنائي

ينتج عن تحويل (357) 10 إلى الترميز الثنائي (101100101)

لتحويل عدد صحيح من النظام العشري (الأساس 10 ) إلى ما يعادله من النظام الثنائي (الأساس 2)، يُقسم العدد على اثنين . الباقي هو البت الأقل أهمية . ثم يُقسم الناتج مرة أخرى على اثنين، فيصبح الباقي هو البت الأقل أهمية التالي. تتكرر هذه العملية حتى الوصول إلى ناتج قسمة يساوي واحدًا. تشكل سلسلة البواقي (بما في ذلك ناتج القسمة الأخير الذي يساوي واحدًا) القيمة الثنائية، حيث يجب أن يكون كل باقٍ إما صفرًا أو واحدًا عند القسمة على اثنين. على سبيل المثال، يُكتب العدد (357) 10 على الصورة (101100101) 2. [ 44 ]

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري

التحويل من النظام الثنائي (الأساس 2) إلى النظام العشري (الأساس 10) هو ببساطة عكس الخوارزمية السابقة. تُستخدم بتات العدد الثنائي واحدة تلو الأخرى، بدءًا من البت الأكثر أهمية (الأيسر). بدءًا من القيمة 0، تُضاعف القيمة السابقة، ثم يُضاف البت التالي لإنتاج القيمة التالية. يمكن تنظيم ذلك في جدول متعدد الأعمدة. على سبيل المثال، لتحويل العدد 10010101101 إلى النظام العشري:

القيمة السابقة× 2 +الجزء التالي= القيمة التالية
0× 2 +1= 1
1× 2 +0= 2
2× 2 +0= 4
4× 2 +1= 9
9× 2 +0= 18
18× 2 +1= 37
37× 2 +0= 74
74× 2 +1= 149
149× 2 +1= 299
299× 2 +0= 598
598× 2 +1= 1197

النتيجة هي 1197 10. القيمة الأولية 0 هي ببساطة قيمة عشرية ابتدائية. هذه الطريقة هي تطبيق لخوارزمية هورنر .

ثنائي 10010101101
عشري 1×2 10 +0×2 9 +0×2 8 +1×2 7 +0×2 6 +1×2 5 +0×2 4 +1×2 3 +1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =1197

يتم تحويل الأجزاء الكسرية من العدد باستخدام طرق مماثلة. وتعتمد هذه الطرق أيضاً على مبدأ تكافؤ الإزاحة مع المضاعفة أو التنصيف.

في عدد ثنائي كسري مثل 0.11010110101 2 ، يكون الرقم الأول هو12{\textstyle {\frac {1}{2}}}الثاني(12)2=14{\textstyle ({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}}إلخ. لذا، إذا كان هناك 1 في المقام الأول بعد الفاصلة العشرية، فإن العدد على الأقل12{\textstyle {\frac {1}{2}}}والعكس صحيح. ضعف هذا العدد يساوي 1 على الأقل. وهذا يشير إلى الخوارزمية: ضاعف العدد المراد تحويله بشكل متكرر، وسجل ما إذا كانت النتيجة تساوي 1 على الأقل، ثم تجاهل الجزء الصحيح.

على سبيل المثال،(13)10{\textstyle ({\frac {1}{3}})_{10}}، بالنظام الثنائي، هو:

التحويلنتيجة
13{\textstyle {\frac {1}{3}}}0.
13×2=23<1{\textstyle {\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1}0.0
23×2=113≥1{\textstyle {\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1}0.01
13×2=23<1{\textstyle {\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1}0.010
23×2=113≥1{\textstyle {\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1}0.0101

وبالتالي فإن الكسر العشري الدوري 0.3 ... يكافئ الكسر الثنائي الدوري 0.01 ... .

أو على سبيل المثال، 0.1 10 ، بالنظام الثنائي، هو:

التحويلنتيجة
0.10.
0.1 × 2 = 0.2 < 10.0
0.2 × 2 = 0.4 < 10.00
0.4 × 2 = 0.8 < 10.000
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 10.0001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 10.00011
0.2 × 2 = 0.4 < 10.000110
0.4 × 2 = 0.8 < 10.0001100
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 10.00011001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 10.000110011
0.2 × 2 = 0.4 < 10.0001100110

هذا أيضًا كسر ثنائي دوري 0.00011 ... . قد يكون من المفاجئ أن الكسور العشرية المنتهية يمكن أن يكون لها تمثيل دوري في النظام الثنائي. لهذا السبب، يستغرب الكثيرون عندما يكتشفون أن 1/10 + ... + 1/10 (مجموع 10 أعداد) يختلف عن 1 في العمليات الحسابية الثنائية ذات الفاصلة العائمة . في الواقع، الكسور الثنائية الوحيدة ذات التمثيل الدوري هي تلك التي تكون على شكل عدد صحيح مقسوم على قوة من قوى العدد 2، وهو ما لا ينطبق على 1/10.

التحويل النهائي هو من الكسور الثنائية إلى الكسور العشرية. تكمن الصعوبة الوحيدة في الكسور الدورية، ولكن بخلاف ذلك، تتمثل الطريقة في تحويل الكسر إلى عدد صحيح، ثم تحويله كما سبق، ثم قسمته على القوة المناسبة للعدد اثنين في النظام العشري. على سبيل المثال:

x=1100101110¯...x×26=1100101110.01110¯...x×2=11001.01110¯...x×(26-2)=1100010101x=1100010101/111110x=(789/62)10{\displaystyle {\begin{aligned}x&=&1100&.1{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2^{6}&=&1100101110&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2&=&11001&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times (2^{6}-2)&=&1100010101\\x&=&1100010101/111110\\x&=&(789/62)_{10}\end{aligned}}}

هناك طريقة أخرى للتحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري، وهي غالباً أسرع بالنسبة للشخص الملمّ بالنظام الست عشري ، وهي القيام بذلك بشكل غير مباشر - أي التحويل أولاً (x{\displaystyle x}(بالنظام الثنائي) إلى (x{\displaystyle x}(بالنظام الست عشري) ثم التحويل (x{\displaystyle x}(بالنظام الست عشري) إلى (x{\displaystyle x}(بالنظام العشري).

بالنسبة للأعداد الكبيرة جدًا، تكون هذه الطرق البسيطة غير فعالة لأنها تُجري عددًا كبيرًا من عمليات الضرب أو القسمة حيث يكون أحد المعاملات كبيرًا جدًا. تُعد خوارزمية فرق تسد البسيطة أكثر فعالية من الناحية التقاربية: عند إعطاء عدد ثنائي، يُقسم على 10^ k ، حيث يُختار k بحيث يكون ناتج القسمة مساويًا تقريبًا للباقي؛ ثم يُحوّل كل جزء من هذين الجزأين إلى عدد عشري ويُدمجان . أما عند إعطاء عدد عشري، فيمكن تقسيمه إلى جزأين متساويين تقريبًا في الحجم، ويُحوّل كل منهما إلى عدد ثنائي، ثم يُضرب الجزء المُحوّل الأول في 10^ k ويُضاف إلى الجزء المُحوّل الثاني، حيث k هو عدد الأرقام العشرية في الجزء الثاني الأقل أهمية قبل التحويل.

النظام الست عشري

0 سداسي عشري=0 ديسمبر=0 أكتوبر0000
سداسي واحد=1 ديسمبر=1 أكتوبر0001
2 سداسي=2 ديسمبر=2 أكتوبر0010
3 سداسي=3 ديسمبر=3 أكتوبر0011
4 سداسي=4 ديسمبر=4 أكتوبر0100
5 سداسي=5 ديسمبر=5 أكتوبر0101
6 سداسي=6 ديسمبر=6 أكتوبر0110
7 سداسي=7 ديسمبر=7 أكتوبر0111
8 سداسي=8 ديسمبر=10 أكتوبر1000
9 سداسي=9 ديسمبر=11 أكتوبر1001
سداسي​=10 ديسمبر=12 أكتوبر1010
سداسي ب=11 ديسمبر=13 أكتوبر1011
ج سداسي=12 ديسمبر=14 أكتوبر1100
سداسي D=13 ديسمبر=15 أكتوبر1101
سداسي E=14 ديسمبر=16 أكتوبر1110
سداسي F=15 ديسمبر=17 أكتوبر1111

يمكن تحويل الأعداد من وإلى النظام الست عشري بسهولة أكبر. وذلك لأن أساس النظام الست عشري (16) هو قوة لأساس النظام الثنائي (2). وبشكل أدق، 16 = 2⁴ ، لذا يتطلب الأمر أربعة أرقام ثنائية لتمثيل رقم واحد من النظام الست عشري، كما هو موضح في الجدول المجاور.

لتحويل عدد سداسي عشري إلى ما يعادله في النظام الثنائي، ما عليك سوى استبدال الأرقام الثنائية المقابلة:

3A 16 = 0011 1010 2
E7 16 = 1110 0111 2

لتحويل عدد ثنائي إلى ما يكافئه في النظام الست عشري، قسّمه إلى مجموعات من أربعة بتات. إذا لم يكن عدد البتات من مضاعفات العدد أربعة، فأضف ببساطة بتات أصفار إضافية على اليسار (تُسمى الحشو ). على سبيل المثال:

1010010 2 = 0101 0010 مجمعة مع الحشو = 52 16
11011101 2 = 1101 1101 مجمعة = DD 16

لتحويل عدد سداسي عشري إلى ما يعادله في النظام العشري، اضرب المكافئ العشري لكل رقم سداسي عشري في القوة المقابلة للعدد 16 واجمع القيم الناتجة:

C0E7 16 = (12 × 16 3 ) + (0 × 16 2 ) + (14 × 16 1 ) + (7 × 16 0 ) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383 10

ثماني

يسهل تحويل النظام الثنائي إلى النظام الثماني ، لأن النظام الثماني يستخدم أساسًا 8، وهو قوة للعدد 2 (أي 2²³ ، لذا يتطلب الأمر ثلاثة أرقام ثنائية لتمثيل رقم ثماني واحد). والتطابق بين الأرقام الثنائية والثمانية مماثل للتطابق بين الأرقام الثمانية الأولى من النظام الست عشري في الجدول أعلاه. فالرقم الثنائي 000 يكافئ الرقم الثماني 0، والرقم الثنائي 111 يكافئ الرقم الثماني 7، وهكذا.

ثمانيثنائي
0٠٠٠
1001
2010
3011
4100
5101
6110
7111

تتم عملية التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي بنفس الطريقة التي تتم بها عملية التحويل من النظام الست عشري :

65 8 = 110 101 2
17 8 = 001 111 2

ومن النظام الثنائي إلى النظام الثماني:

101100 2 = 101 100 2 مجمعة = 54 8
10011 2 = 010 011 2 مجمعة مع حشو = 23 8

ومن النظام الثماني إلى النظام العشري:

٦٥ ٨ = (٦ × ٨ ١ ) + (٥ × ٨ ٠ ) = (٦ × ٨) + (٥ × ١) = ٥٣ ١٠
127 8 = (1 × 8 2 ) + (2 × 8 1 ) + (7 × 8 0 ) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87 10

تمثيل الأعداد الحقيقية

يمكن تمثيل الأعداد غير الصحيحة باستخدام قوى سالبة، تُفصل عن الأرقام الأخرى بواسطة فاصلة عشرية (تُسمى فاصلة في النظام العشري). على سبيل المثال، العدد الثنائي 11.01 يعني :

1 × 2 1(1 × 2 = 2 )زائد
1 × 2 0(1 × 1 = 1 )زائد
0 × 2 −1(0 × 1 ⁄ 2 = 0 )زائد
1 × 2 −2(1 × 1 ⁄ 4 = 0.25 )

بإجمالي 3.25 رقم عشري.

جميع الأعداد النسبية الثنائيةص2أ{\displaystyle {\frac {p}{2^{a}}}}تحتوي الأعداد النسبية على عدد ثنائي منتهٍ - أي أن تمثيلها الثنائي يتكون من عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة العشرية. أما الأعداد النسبية الأخرى فلها تمثيل ثنائي، ولكن بدلاً من أن تكون منتهية، فإنها تتكرر ، حيث تتكرر سلسلة محدودة من الأرقام إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال

110310=12112=0.0101010101¯...2{\displaystyle {\frac {1_{10}}{3_{10}}}={\frac {1_{2}}{11_{2}}}=0.01010101{\overline {01}}\ldots \,_{2}}12101710=11002100012=0.101101001011010010110100¯...2{\displaystyle {\frac {12_{10}}{17_{10}}}={\frac {1100_{2}}{10001_{2}}}=0.1011010010110100{\overline {10110100}}\ldots \,_{2}}

تُلاحظ ظاهرة كون التمثيل الثنائي لأي عدد نسبي إما منتهيًا أو دوريًا في أنظمة العد الأخرى القائمة على الأساس. انظر، على سبيل المثال، الشرح في النظام العشري . ومن أوجه التشابه الأخرى وجود تمثيلات بديلة لأي تمثيل منتهٍ، بالاعتماد على حقيقة أن 0.111111... هو مجموع المتسلسلة الهندسية 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + ... والتي تساوي 1.

تمثل الأرقام الثنائية التي لا تنتهي ولا تتكرر أعدادًا غير نسبية . على سبيل المثال،

  • العدد 0.10100100010000100000100... له نمط، ولكنه ليس نمطًا متكررًا ثابت الطول، لذا فإن العدد غير نسبي.
  • 1.0110101000001001111001100110011111110... هو التمثيل الثنائي لـ2{\displaystyle {\sqrt {2}}}، الجذر التربيعي للعدد 2 ، وهو عدد غير نسبي آخر. ليس له نمط واضح.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "3.3. النظام الثنائي ومزاياه - قارئ CS160" . computerscience.chemeketa.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مايو 2024 .
  2. ↑ "لماذا اخترع توماس هاريوت النظام الثنائي؟" . springer.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2026 .
  3. ↑ "تاريخ نظام الأرقام الثنائية" . convertbinary.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2026 .
  4. ↑ روبسون، إليانور ؛ ستيدال، جاكلين ، محرران (2009)، "الأسطورة رقم 2: كسور عين حورس"، دليل أكسفورد لتاريخ الرياضيات ، مطبعة جامعة أكسفورد، ص 790، ISBN  9780199213122
  5. ↑ كريسوماليس، ستيفن (2010)، التدوين العددي: تاريخ مقارن ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 42-43 ، ISBN  9780521878180.
  6. ↑ رودمان، بيتر ستروم (2007)، كيف نشأت الرياضيات: أول 50000 سنة ، كتب بروميثيوس، ص 135-136 ، ISBN  9781615921768.
  7. 1 2 إدوارد هاكر؛ ستيف مور؛ لورين باتسكو (2002). كتاب التغييرات: ببليوغرافيا مشروحة . روتليدج. ص 13. ISBN  978-0-415-93969-0.
  8. 1 2 ريدموند، جيفري؛ هون، تزي كي (2014). تدريس كتاب التغييرات (الإي تشينغ ). مطبعة جامعة أكسفورد. ص 227. ISBN  978-0-19-976681-9.
  9. 1 2 جوناثان شيكتمان (2003). التجارب العلمية الرائدة والاختراعات والاكتشافات في القرن الثامن عشر . دار غرينوود للنشر. ص 29. ISBN  978-0-313-32015-6.
  10. ↑ مارشال، ستيف. "متواليات الهيكساغرام في كتاب يي جينغ: مربع شاو يونغ (متوالية فوكسي)" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 سبتمبر 2022. يمكن القول إن [متوالية فوكسي الثنائية] هي طريقة أكثر منطقية لتمثيل الهيكساغرام كأرقام ثنائية... أما المنطق، إن وجد، الذي يستند إليه [متوالية الملك ون] فهو غير معروف.
  11. ^ تشونغ ليان، شي؛ ونزهاو، لي؛ بوسر، هانز (2000). نظام ليبنيز الثنائي و"Xiantian Tu" لشاو يونغ في: Das Neweste über China: GW Leibnizes Novissima Sinica von 1697 : الندوة الدولية، برلين 4. مكرر 7. أكتوبر 1997 . شتوتغارت: دار نشر فرانز شتاينر. ص 165 – 170. ISBN   3515074481.
  12. ↑ كولينز، ديريك (2008). "رسم خرائط الأحشاء: ممارسة تنظير الكبد اليوناني" . المجلة الأمريكية لعلم اللغة . 129 (3): 319-345 . ISSN 0002-9475 . JSTOR 27566714 .  
  13. ↑ جونستون، سارة آيلز (2008). العرافة اليونانية القديمة . بلاكويل للأديان القديمة (الطبعة الأولى ). مالدن، ماساتشوستس: وايلي-بلاكويل. ISBN  978-1-4051-1573-5.
  14. ↑ سانشيز، خوليو؛ كانتون، ماريا ب. (2007). برمجة المتحكمات الدقيقة: متحكم PIC من شركة Microchip . بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة CRC. ص 37. ISBN  978-0-8493-7189-9.
  15. ↑ دبليو إس أنجلين وجيه لامبيك، إرث طاليس ، سبرينغر، 1995، رقم ISBN 0-387-94544-X
  16. ↑ الرياضيات للشعراء وعازفي الطبول ، مؤرشفة في 16 يونيو 2012 على موقع Wayback Machine (ملف PDF، 145 كيلوبايت)
  17. ↑ ستاخوف، أليكسي ؛ أولسن، سكوت أنتوني (2009). رياضيات التناغم: من إقليدس إلى الرياضيات المعاصرة وعلوم الحاسوب . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-277-582-5.
  18. ↑ ب. فان نوتن، "الأعداد الثنائية في العصور القديمة الهندية"، مجلة الدراسات الهندية، المجلد 21، 1993، ص 31-50
  19. ↑ لاندري (2019) ، ص 25.
  20. ↑ لاندري (2019) ، ص 154.
  21. ↑ "نظام إيفا للتنبؤ" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 يوليو 2017 .
  22. ↑ بيندر، أندريا؛ بيلر، سيغارد (16 ديسمبر 2013). "اختراع مانجاريفان للخطوات الثنائية لتسهيل الحساب" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 111 ( 4): 1322-1327 . doi : 10.1073/pnas.1309160110 . PMC 3910603. PMID 24344278 .  
  23. ↑ باورن، كلير؛ زينتز، جيسون (2012). "التنوع في الأنظمة العددية للغات الأسترالية" . اللغويات الأنثروبولوجية . 54 (2): 133-160 . ISSN 0003-5483 . JSTOR 23621076 .  
  24. 1 2 بيكون، فرانسيس (1605). "تقدم المعرفة" . لندن. ص. الفصل 1. 
  25. ↑ شيرلي، جون دبليو. (1951). "الترقيم الثنائي قبل لايبنتز". المجلة الأمريكية للفيزياء . 19 (8): 452-454 . Bibcode : 1951AmJPh..19..452S . doi : 10.1119/1.1933042 .
  26. ^ إينيتشن، ر. (2008). “لايبنيز، كارامويل، هاريوت وداس Dualsystem” (PDF) . Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung (باللغة الألمانية). 16 (1): 12-15 . دوى : 10.1515/dmvm-2008-0009 . S2CID 179000299 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 28 ديسمبر 2021 . تم الاسترجاع في 15 أكتوبر 2017 . 
  27. 1 2 3 ستريكلاند، لويد (2020)، "لايبنيتز حول أنظمة الأعداد" ، في سريرامان، بهارات (محرر)، دليل تاريخ وفلسفة الممارسة الرياضية ، تشام: سبرينغر للنشر الدولي، ص 1-31 ، doi : 10.1007/978-3-030-19071-2_90-1 ، ISBN  978-3-030-19071-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2024
  28. 1 2 لايبنتز ج.، شرح الحساب الثنائي، Die Mathematische Schriften، ed. سي جيرهاردت، برلين 1879، المجلد 7، الصفحة 223؛ الإنجليزية. ترجمة.
  29. ↑ "بوفيه وليبنيز: مراسلات أكاديمية" ، سويدرسكي 1980
  30. ↑ لايبنتز : "لقد فقد الصينيون معنى رموز فو شي أو خطوطها، ربما منذ أكثر من ألف عام، وكتبوا شروحًا حول هذا الموضوع بحثوا فيها عن معانٍ بعيدة المنال، حتى بات تفسيرهم الحقيقي الآن من الأوروبيين. إليكم كيف: منذ ما يزيد قليلاً عن عامين، أرسلتُ إلى الأب بوفيه، اليسوعي الفرنسي الشهير المقيم في بكين، طريقتي في العد بالصفر والواحد، ولم يكن مطلوبًا أكثر من ذلك ليدرك أن هذا هو مفتاح رموز فو شي. في رسالةٍ لي بتاريخ 14 نوفمبر 1701، أرسل إليّ رمز الأمير الفيلسوف العظيم هذا، الذي يصل إلى 64، ولا يترك مجالًا للشك في صحة تفسيرنا، بحيث يمكن القول إن هذا الأب قد فكّ لغز فو شي، بمساعدة ما نقلته إليه. ولأن هذه الرموز ربما تكون أقدم نصب تذكاري لـ [GM VII، [ص227] العلم الموجود في العالم، فإن استعادة معناه، بعد هذه الفترة الزمنية الطويلة، سيبدو أكثر غرابة.
  31. ^ أيتون ، إريك ج. (1985). لايبنيز: سيرة ذاتية . تايلور وفرانسيس. ص 245 – 8. ISBN  0-85274-470-6.
  32. 1 2 ج. إ. هـ. سميث (2008). لايبنتز: أي نوع من العقلانيين؟: أي نوع من العقلانيين؟ . سبرينغر. ص 415. ISBN  978-1-4020-8668-7.
  33. ↑ يوين-تينغ لاي (1998). لايبنتز، التصوف والدين . سبرينغر. ص 149-150 . ISBN  978-0-7923-5223-5.
  34. ↑ بول، جورج (2009) [1854]. بحث في قوانين الفكر التي تقوم عليها النظريات الرياضية للمنطق والاحتمالات (ماكميلان، منشورات دوفر، أعيد طبعه مع تصحيحات [1958] ). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-1-108-00153-3.
  35. ↑ شانون، كلود إلوود (1940). تحليل رمزي لدوائر الترحيل والتحويل (أطروحة). كامبريدج: معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. hdl : 1721.1/11173 .
  36. ↑ "قاعة مشاهير المخترعين الوطنيين - جورج ر. ستيبتز" . 20 أغسطس 2008. مؤرشف من الأصل في 9 يوليو 2010. تم الاطلاع عليه في 5 يوليو 2010 .
  37. ↑ "جورج ستيبتز : سيرة ذاتية" . قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب، جامعة دينيسون. 30 أبريل 2004. تم الاطلاع عليه في 5 يوليو 2010 . 
  38. ↑ "الرواد - الأشخاص والأفكار التي أحدثت فرقًا - جورج ستيبتز (1904-1995)" . كيري ريدشو. 20 فبراير 2006. تم الاطلاع عليه في 5 يوليو 2010 .
  39. ↑ "جورج روبرت ستيبتز - نعي" . جمعية تاريخ الحاسوب في كاليفورنيا. 6 فبراير 1995. تم الاطلاع عليه في 5 يوليو 2010 .
  40. ↑ روخاس، راؤول (أبريل–يونيو 1997). "إرث كونراد تسوزه: بنية Z1 وZ3" (ملف PDF) . حوليات IEEE لتاريخ الحوسبة . 19 (2): 5–16 . doi : 10.1109/85.586067 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 3 يوليو 2022. تم الاطلاع عليه في 3 يوليو 2022 .(12 صفحة)
  41. ↑ "مقدمة في النظام الثنائي - مراجعة 1 - علوم الحاسوب لشهادة الثانوية العامة" . بي بي سي . مؤرشف من الأصل في 26 يونيو 2019. تم الاطلاع عليه في 26 يونيو 2019 .
  42. 1 2 كوفلر، جيرد؛ شووخ، ديتريش (2013) [1996]. Arbeitsbuch Informatik – eine praxisorientierte Einführung in die Datenverarbeitung mit Projektaufgabe (باللغة الألمانية). Vieweg-Verlag، طبع: Springer-Verlag. دوى : 10.1007/978-3-322-92907-5 . رقم ISBN 978-3-528-04952-29783322929075.
  43. 1 2 كوفلر، جيرد؛ شووخ ، ديتريش (4 أكتوبر 2007). Informatik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: PC- und Microcomputertechnik، Rechnernetze (باللغة الألمانية). المجلد. 2 (5 طبعة). عرض على سبيل المثال، إعادة طبع: Springer-Verlag. رقم ISBN   978-38348919149783834891914.
  44. ↑ "النظام الأساسي" . مؤرشف من الأصل في 23 أكتوبر 2017. تم الاطلاع عليه في 31 أغسطس 2016 .

مصادر

  • لاندري، تيموثي ر. (2019). فودون: السرية والبحث عن القوة الإلهية . دراسة إثنوغرافية معاصرة (  الطبعة الأولى). فيلادلفيا: مطبعة جامعة بنسلفانيا. ISBN 978-0-8122-5074-9.