تمثيل الأرقام الموقعة

جزء من سلسلة عن
أنظمة الأرقام
تدوين القيمة المكانية الأرقام الهندية العربية العربية الغربية العربية الشرقية البنغالية ديفاناجاري الغوجاراتية جورموكي أوديا السنهالية التاميلية المالايالامية التيلجو كانادا دزونغا التبتية بالينيزي البورمية الجاوية الخميرية لاو المنغولية اللغة السوندانية تايلاندي أنظمة شرق آسيا معاصر الصينية سوتشو هوكين اليابانية كوري الفيتنامية تاريخي قضبان العد تانغوت أنظمة أخرى تاريخ عتيق البابلي ما بعد الكلاسيكية السيسترسي المايا مويسكا خماسي كويبو جلال الدين الرومي معاصر شيروكي كاكتوفيك (إينوبياك) حسب الجذر/القاعدة الجذور/القواعد المشتركة 2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60 الجذور/القواعد غير القياسية ثنائي الاتجاه  ( 1 ) رقم موقّع  ( ثلاثي متوازن ) مختلط  ( عاملي ) سلبي مجمع  ( 2 )​ عدد غير صحيح  ( φ ) غير متماثل
تدوين القيمة والعلامة غير أبجدي بحر ايجه علية أزتيك براهمي تشوفاش مصري إتروسكان خاروستي العد ما قبل التاريخ الكتابة المسمارية البدائية روماني علامات العد أبجدي أبجد Armenian Alphasyllabic Akṣarapallī Āryabhaṭa Kaṭapayādi Coptic Cyrillic Geʽez Georgian Glagolitic Greek Hebrew
List of numeral systems
v t e

في التدوين الرياضي للأرقام ، فإن التمثيل بالأرقام الموقعة هو نظام عددي موضعي مع مجموعة من الأرقام الموقعة المستخدمة لترميز الأعداد الصحيحة .

يمكن استخدام التمثيل بالأرقام الموقعة لإنجاز عملية جمع سريعة للأعداد الصحيحة لأنه يمكنه التخلص من سلاسل الحملات التابعة. ^[1] في النظام الرقمي الثنائي ، فإن التمثيل بالأرقام الموقعة في حالة خاصة هو الشكل غير المتجاور ، والذي يمكن أن يوفر فوائد السرعة مع الحد الأدنى من النفقات العامة للمساحة.

وقد حفزت التحديات في الحساب المؤلفين الأوائل كولسون (1726) وكوشي (1840) على استخدام التمثيل بالأرقام الموقعة. واقترح سيلينج (1887) وكاجوري (1928) الخطوة التالية المتمثلة في استبدال الأرقام المنفية بأرقام جديدة.

في عام 1928، لاحظ فلوريان كاجوري الموضوع المتكرر للأرقام الموقعة، بدءًا من كولسون (1726) وكوشي (1840). ^[2] في كتابه تاريخ التدوينات الرياضية ، أطلق كاجوري على القسم عنوان "الأرقام السالبة". ^[3] وللاستكمال، يستخدم كولسون ^[4] الأمثلة ويصف الجمع (ص 163-164) والضرب (ص 165-166) والقسمة (ص 170-171) باستخدام جدول مضاعفات المقسوم عليه. ويشرح ملاءمة التقريب عن طريق الاختصار في الضرب. كما ابتكر كولسون أداة (جدول العد) تحسب باستخدام الأرقام الموقعة.

أوصى إدوارد سيلينج ^[5] بعكس الأرقام 1 و2 و3 و4 و5 للإشارة إلى العلامة السالبة. واقترح أيضًا snie و jes و jerd و reff و niff كأسماء لاستخدامها صوتيًا. استخدمت معظم المصادر المبكرة الأخرى شريطًا فوق رقم للإشارة إلى علامة سالبة له. تم وصف استخدام ألماني آخر للأرقام ذات الإشارة في عام 1902 في موسوعة كلاين . ^[6]

ليكن مجموعة منتهية من الأرقام العددية ذات الكاردينالية (إذا كان ، فإن نظام الأرقام الموضعي يكون تافهًا ويمثل الحلقة التافهة فقط )، مع الإشارة إلى كل رقم على أنه يُعرف بالأساس أو قاعدة الأرقام . يمكن استخدامه لتمثيل رقم موقّع إذا كان مرتبطًا بدالة فريدة بحيث بالنسبة لجميع هذه الوظيفة، هي التي تحدد بدقة وبشكل رسمي كيفية تعيين القيم الصحيحة للرموز / الحروف الرسومية في إحدى فوائد هذه الصيغة أن تعريف "الأعداد الصحيحة" (مهما كانت تعريفها) لا يختلط بأي نظام معين لكتابتها / تمثيلها ؛ وبهذه الطريقة، يتم إبقاء هذين المفهومين المتميزين (وإن كانا وثيقي الصلة) منفصلين. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle b\leq 1}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{i})\equiv i{\bmod {b}}}$${\displaystyle 0\leq i<b.}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يمكن تقسيمها إلى ثلاث مجموعات مميزة ، و، و ، تمثل الأرقام الموجبة والصفرية والسلبية على التوالي، بحيث تلبي جميع الأرقام، تلبي جميع الأرقام وتلبي جميع الأرقام . عددية is ، وعددية is ، وعددية is ، مما يعطي عدد الأرقام الموجبة والسالبة على التوالي، بحيث . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0}$${\displaystyle d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0}$${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle b_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle b_{-}}$${\displaystyle b=b_{+}+b_{0}+b_{-}}$

التمثيلات ذات الشكل المتوازن هي تمثيلات حيث يوجد لكل رقم موجب رقم سالب مقابل بحيث . ويترتب على ذلك أن . فقط القواعد الفردية يمكن أن يكون لها تمثيلات ذات شكل متوازن، وإلا فيجب أن تكون عكس نفسها وبالتالي 0، ولكن . في الشكل المتوازن، عادة ما يتم الإشارة إلى الأرقام السالبة كأرقام موجبة بخط فوق الرقم، كما هو الحال بالنسبة لـ . على سبيل المثال، ستكون مجموعة الأرقام الثلاثية المتوازنة مع ، ، و . يتم تبني هذه الاتفاقية في الحقول المحدودة من رتبة الأعداد الأولية الفردية : ^[7]${\displaystyle d_{+}}$${\displaystyle d_{-}}$${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})}$${\displaystyle b_{+}=b_{-}}$${\displaystyle d_{b/2}}$${\displaystyle 0\neq {\frac {b}{2}}}$${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle d_{-}={\bar {d}}_{+}}$${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1}$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0}$${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .}$

تحتوي كل مجموعة رقمية على مجموعة رقمية مزدوجة تُعطى بالترتيب العكسي للأرقام مع تماثل محدد بواسطة . ونتيجة لذلك، بالنسبة لأي تمثيلات رقمية موقعة لحلقة نظام رقمي مكونة من مع التقييم ، يوجد تمثيلات رقمية موقعة مزدوجة لـ ، ، مكونة من مع التقييم ، وتماثل محدد بواسطة ، حيث هو عامل عكسي إضافي لـ . مجموعة الأرقام لتمثيلات الشكل المتوازن هي ثنائية ذاتية . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle -f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}:{\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }\rightarrow N}$${\displaystyle h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle -v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$${\displaystyle -}$${\displaystyle N}$

بالنظر إلى مجموعة الأرقام والدالة كما هو موضح أعلاه، دعنا نعرف دالة نهائية عددية صحيحة على النحو التالي: ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}}$

إذا كانت النقطة الدورية الوحيدة لـ هي النقطة الثابتة ، فإن مجموعة جميع تمثيلات الأرقام الموقعة للأعداد الصحيحة باستخدام تُعطى بواسطة كلين زائد ، مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المحدودة من الأرقام التي تحتوي على رقم واحد على الأقل، مع . كل تمثيل رقمي موقع له قيمة${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

تتضمن الأمثلة الثلاثي المتوازن بالأرقام . ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$

بخلاف ذلك، إذا كانت هناك نقطة دورية غير صفرية لـ ، فهناك أعداد صحيحة يتم تمثيلها بعدد لا نهائي من الأرقام غير الصفرية في . تشمل الأمثلة نظام الأرقام العشري القياسي مع مجموعة الأرقام ، والذي يتطلب عددًا لا نهائيًا من الأرقام لتمثيل المعكوس الجمعي ، مثل ، ونظام الأرقام الموضعي مع مجموعة الأرقام مع ، والذي يتطلب عددًا لا نهائيًا من الأرقام لتمثيل الرقم ، مثل . ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle -1}$${\displaystyle T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace }$${\displaystyle f({\text{A}})=-4}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2}$

إذا كان من الممكن تمثيل الأعداد الصحيحة بواسطة Kleene plus ، فإن مجموعة جميع التمثيلات ذات الأرقام الموقعة للكسور العشرية ، أو الأعداد الكسرية -adic ، تُعطى بواسطة ، حاصل الضرب الديكارتي لـ Kleene plus ، مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المحدودة من الأرقام التي تحتوي على رقم واحد على الأقل، ويتكون الرقم المفرد من نقطة الأساس ( أو )، ونجمة Kleene ، مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المحدودة من الأرقام ، مع . كل تمثيل ذي أرقام موقعة له قيمة${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1\backslash b]}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$${\displaystyle d_{-1}\ldots d_{-m}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

إذا كان من الممكن تمثيل الأعداد الصحيحة بواسطة حاصل ضرب كليين زائد ، فإن مجموعة جميع تمثيلات الأرقام الموقعة للأعداد الحقيقية تُعطى بواسطة حاصل ضرب كليين زائد ، وهي مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المحدودة من الأرقام التي تحتوي على رقم واحد على الأقل، والرقم المفرد يتكون من نقطة الأساس ( أو )، ومساحة كانتور ، وهي مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة غير المحدودة من الأرقام ، مع . كل تمثيل رقمي موقّع له قيمة${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{-1}d_{-2}\ldots }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle r\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

تتقارب السلسلة اللانهائية دائمًا إلى عدد حقيقي محدود.

يمكن تمثيل جميع الأرقام الأساسية كمجموعة فرعية من ، مجموعة جميع تسلسلات الأرقام اللانهائية المزدوجة في ، حيث هي مجموعة الأعداد الصحيحة ، ويتم تمثيل حلقة الأرقام الأساسية بواسطة حلقة سلسلة القوى الرسمية ، السلسلة اللانهائية المزدوجة ${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}}$

أين ل . ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$

مجموعة جميع تمثيلات الأرقام الموقعة للأعداد الصحيحة modulo${\displaystyle b^{n}}$ ، تُعطى بواسطة المجموعة ، وهي مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المحدودة من الأرقام بطول ، مع . كل تمثيل رقمي موقع له قيمة${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$${\displaystyle d_{n-1}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}}$

مجموعة Prüfer هي مجموعة حاصل قسمة الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية -adic. مجموعة جميع تمثيلات الأرقام الموقعة لمجموعة Prüfer تُعطى بواسطة نجمة Kleene ، وهي مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المحدودة من الأرقام ، مع . كل تمثيل رقمي موقع له قيمة${\displaystyle \mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$${\displaystyle d_{1}\ldots d_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

مجموعة الدائرة هي مجموعة حاصل قسمة الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية. تُعطى مجموعة جميع تمثيلات الأرقام الموقعة لمجموعة الدائرة بواسطة فضاء كانتور ، وهي مجموعة جميع السلاسل المتصلة من الأرقام التي لا نهاية لها . كل تمثيل رقمي موقع له قيمة${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{1}d_{2}\ldots }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

السلسلة اللانهائية تتقارب دائما .

مجموعة جميع تمثيلات الأرقام الموقعة للأعداد الصحيحة -adic ، يتم إعطاؤها بواسطة فضاء كانتور ، مجموعة جميع السلاسل المتصلة اللانهائية للأرقام . كل تمثيل للأرقام الموقعة له قيمة${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}}$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

مجموعة جميع التمثيلات ذات الأرقام الموقعة للملفات اللولبية ذات الـ -adic ، يتم إعطاؤها بواسطة فضاء كانتور ، مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة المزدوجة اللانهائية من الأرقام . كل تمثيل ذي أرقام موقعة له قيمة${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {T} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots }$${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

تستخدم الأشكال الشفهية والمكتوبة للأرقام في اللغات الهندية الآرية رقمًا سلبيًا (على سبيل المثال، "un" في الهندية والبنغالية ، و "un" أو "unna" في البنجابية ، و"ekon" في الماراثية ) للأرقام بين 11 و90 التي تنتهي بالرقم تسعة. الأرقام التي تتبعها أسماؤها في البنجابية موضحة أدناه (البادئة "ik" تعني "واحد"): ^[8]

• 19 سنة، 20 سنة، 21 سنة
• 29 أوناتي، 30 تيه، 31 إيكاتي
• 39 أونتالي، 40 شالي، 41 إكتالي
• 49 أونانجا، 50 بانجا، 51 إيكفانجا
• 59 أوناهات، 60 ساث، 61 إيكهات
• 69 عطار، 70 ستار، 71 خطار
• 79 أوناسي، 80 أسيسي، 81 إيكاسي
• 89 أنانفي، 90 نابي، 91 إيكنافين.

وبالمثل، تستخدم لغة السيسوتو الأرقام السالبة لتشكيل الرقمين 8 و9.

• 8 روبيلي (/Ro-bay-dee/) تعني "كسر اثنين" أي إصبعين للأسفل
• 9 روبونج (/Ro-bong/) وتعني "كسر واحد" أي إصبع واحد لأسفل

في اللاتينية الكلاسيكية ، ^[9] لم يكن للأعداد الصحيحة 18 و19 حتى شكل منطوق أو مكتوب يتضمن أجزاء مقابلة لـ "ثمانية" أو "تسعة" في الممارسة العملية - على الرغم من وجودها. بدلاً من ذلك، في اللاتينية الكلاسيكية،

• 18 = duodēvīgintī ("اثنان مأخوذان من عشرين")، (IIXX أو XIIX)،
• 19 = ūndēvīgintī ("واحد مأخوذ من عشرين")، (IXX أو XIX)
• 20 = vīgintī ("عشرون")، (XX).

بالنسبة للأعداد الصحيحة القادمة [28، 29، 38، 39، ...، 88، 89]، كان الشكل الإضافي في اللغة أكثر شيوعًا، ومع ذلك، بالنسبة للأعداد المدرجة، كان الشكل أعلاه لا يزال مفضلًا. وبالتالي، عند الاقتراب من الثلاثين، تم التعبير عن الأرقام على النحو التالي: ^[10]

• 28 = duodētrīgintā ("اثنان مأخوذان من ثلاثين")، وفي حالات أقل شيوعًا أيضًا vīgintī octō / octō et vīgintī ("ثمانية وعشرون / ثمانية وعشرون")، (IIXXX أو XXIIX مقابل XXVIII، حيث تم التفوق على الأخير تمامًا.)
• 29 = ūndētrīgintā ("واحد مأخوذ من ثلاثين") على الرغم من أن الشكل الأقل تفضيلاً كان أيضًا تحت تصرفهم.

هذا هو أحد الأسس الرئيسية لمنطق المؤرخين المعاصرين، والذي يفسر سبب شيوع الطرح I- وII- في هذه المجموعة من الكرادلة مقارنة بالمجموعات الأخرى. يمكن أيضًا التعبير عن الرقمين 98 و99 بكلا الشكلين، لكن "اثنين إلى مائة" ربما بدا غريبًا بعض الشيء - الدليل الواضح هو ندرة ظهور هذه الأرقام المكتوبة بطريقة طرحية في المصادر الموثوقة.

توجد لغة أخرى تتمتع بهذه الميزة (حتى الآن، في آثار فقط)، ومع ذلك، لا تزال قيد الاستخدام النشط اليوم. هذه هي اللغة الفنلندية ، حيث تُستخدم الأرقام (المكتوبة) بهذه الطريقة في حالة ظهور رقم 8 أو 9. المخطط كالتالي: ^[11]

• 1 = "yksi" (ملاحظة: yhd- أو yht- غالبًا عندما تكون على وشك الرفض؛ على سبيل المثال "yhdessä" = "معًا، ككيان واحد")
• 2 = "kaksi" (لاحظ أيضًا: kahde-، kahte- عند الرفض)
• 3 = "كولمي"
• 4 = "نيلجا"

...

• 7 = "سبعة"
• 8 = "kah(d)eksan" (بقي اثنان [حتى يصل إليه])
• 9 = "yh(d)eksän" (بقي واحد [ليصل إليه])
• 10 = "kymmenen" (عشرة)

القائمة أعلاه ليست حالة خاصة، وبالتالي فهي تظهر في الكرادلة الأكبر حجمًا أيضًا، على سبيل المثال:

• 399 = "kolmesataayhdeksänkymmentäyhdeksän"

يظل التأكيد على هذه السمات حاضرًا حتى في أقصر أشكال الأرقام العامية:

• 1 = "yy"
• 2 = "كاا"
• 3 = "كو"

...

• 7 = "سيسكا"
• 8 = "كاسي"
• 9 = "يسي"
• 10 = "كيمبي"

ومع ذلك، ليس لهذه الظاهرة أي تأثير على الأرقام المكتوبة، إذ يستخدم الفنلنديون نظام الأرقام العشرية الغربي العربي القياسي.

في اللغة الإنجليزية من الشائع الإشارة إلى الأوقات على سبيل المثال، 'سبعة إلى ثلاثة'، 'إلى' لأداء النفي.

توجد قواعد أخرى ذات أرقام موقعة مثل القاعدة . ومن الأمثلة البارزة على ذلك ترميز Booth ، الذي يحتوي على مجموعة أرقام مع و ، ولكنه يستخدم القاعدة . يستخدم نظام الأرقام الثنائية القياسي فقط أرقامًا بقيمة . ${\displaystyle b\neq b_{+}+b_{-}+1}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$${\displaystyle b_{+}=1}$${\displaystyle b_{-}=1}$${\displaystyle b=2<3=b_{+}+b_{-}+1}$${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$

لاحظ أن التمثيلات غير القياسية للأرقام الموقعة ليست فريدة. على سبيل المثال:

${\displaystyle 0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7}$

${\displaystyle 10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7}$

${\displaystyle 1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7}$

${\displaystyle 100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7}$

يضمن الشكل غير المتجاور (NAF) لترميز Booth تمثيلًا فريدًا لكل قيمة عدد صحيح. ومع ذلك، لا ينطبق هذا إلا على القيم الصحيحة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الأرقام الثنائية المتكررة التالية في NAF،

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}}$

• ثلاثي متوازن
• قاعدة سلبية
• تمثيل ثنائي زائد

• جيه بي بالانتين (1925) "رقم للواحد السالب"، المجلة الرياضية الأمريكية 32:302.
• لوي هان، دونغ دونغ تشين، سيوك بوم كو، خان أ. وحيد "آلة جمع الأرقام العشرية غير التخمينية الموقعة" من قسم الهندسة الكهربائية والحاسوبية، جامعة ساسكاتشوان .