دالة متكررة

في الرياضيات ، الدالة المتكررة هي دالة تُشتق من دمج دالة أخرى مع نفسها مرتين أو أكثر. وتُسمى عملية تطبيق الدالة نفسها بشكل متكرر بالتكرار . في هذه العملية، بدءًا من كائن أولي، تُعاد نتيجة تطبيق دالة معينة إلى الدالة كمدخل، وتُكرر هذه العملية.

على سبيل المثال، في الصورة الموجودة على اليمين:

L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).

تُدرس الدوال المتكررة في علوم الحاسوب ، والكسور الهندسية ، والأنظمة الديناميكية ، والرياضيات، وفيزياء مجموعة إعادة التطبيع .

تعريف

فيما يلي التعريف الرسمي للدالة المتكررة على مجموعة X.

ليكن $X$ مجموعة و $f : X \to X$ دالة .

بتعريف $f$ $n$ على أنها التكرار رقم n للدالة $f$ ، حيث n عدد صحيح غير سالب، كما يلي: $f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}$ و $f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},$

حيث $id X$ هي دالة التطابق على $X$ و $\circ$ يرمز $g$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $g$ $($ $x$ $)) إلى$ تركيب الدوال . وقد نُسب هذا الترميز إلى جون فريدريك ويليام هيرشل عام 1813.^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} وقد نسب هيرشل الفضل في ذلك إلى هانز هاينريش بورمان ، لكن دون الإشارة تحديدًا إلى عمل بورمان، الذي لا يزال مجهولًا.^{[ 5 ]}

نظرًا لأنّ الرمز $f n$ قد يُشير إلى كلٍّ من تكرار (تركيب) الدالة $f$ أو رفعها إلى أسّ $($ وهو الأخير شائع الاستخدام في حساب المثلثات )، يختار بعض الرياضيين استخدام $\circ$ للدلالة على معنى التركيب، فيكتبون $f$ $\circ$ $n$ $($ $x$ $)$ للدلالة على التكرار $النوني$ للدالة $f$ $($ $x$ $)$ ، كما في $f$ $\circ 3$ $($ $x$ $)$ التي تعني $f$ $($ $f$ $($ $f$ $($ $x$ $)))$ . وللغرض نفسه، استخدم بنيامين بيرس $f$ $[$ $n$ $]$ $($ $x$ $)$ ^[⁶^]^[⁴^]^[^{nb 1}^]، بينما اقترح ألفريد برينغشيم وجولز مولك $n$ $f$ $($ $x$ $)$ بدلاً من ذلك. ^[⁷^]^[⁴^]^[^{nb 2}^]

خاصية أبيلية وتسلسلات التكرار

بشكل عام، تنطبق المتطابقة التالية على جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة $m$ و $n$ ،

f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.

وهذا متطابق هيكليًا مع خاصية الأسية التي تكون $a m a n = a m + n$ .

بشكل عام، بالنسبة لأي مؤشرين عامين (سالبين، غير صحيحين، إلخ) $m$ و $n$ ، تُسمى هذه العلاقة معادلة دالة الإزاحة ، انظر معادلة شرودر ومعادلة أبيل . على مقياس لوغاريتمي، يختزل هذا إلى خاصية التداخل لكثيرات حدود تشيبيشيف ، $T m (T n (x)) = T m n (x)$ ، لأن $T n (x) = cos(n arccos(x))$ .

العلاقة $(f m) n (x) = (f n) m (x) = f mn (x)$ صحيحة أيضًا، على غرار خاصية الأس التي $(a m) n = (a n) m = a mn$ .

تُسمى سلسلة الدوال $f n$ سلسلة بيكارد ، ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} سميت على اسم تشارلز إميل بيكارد .

بالنسبة لقيمة معينة $x$ في $X$ ، $فإن$ سلسلة القيم $f n (x)$ تسمى مدار x .

إذا كانت $f n (x) = f n + m (x)$ لعدد صحيح $m > 0$ ، يُسمى المدار مدارًا دوريًا . أصغر قيمة لـ $m عند$ $x$ معينة تُسمى دورة المدار . النقطة $x$ نفسها تُسمى نقطة دورية . تُعرف مشكلة اكتشاف الدورات في علوم الحاسوب بأنها مشكلة خوارزمية لإيجاد أول نقطة دورية في مدار، ودورة هذا المدار.

النقاط الثابتة

إذا كان $x = f (x)$ لبعض $x$ في $X$ (أي أن دورة مدار $x$ تساوي $1$ )، فإن $x$ تُسمى نقطة ثابتة للمتتالية المتكررة. يُرمز لمجموعة النقاط الثابتة عادةً بـ $Fix (f)$ . توجد عدة نظريات للنقاط الثابتة تضمن وجودها في حالات مختلفة، منها نظرية باناش للنقاط الثابتة ونظرية براور للنقاط الثابتة .

توجد عدة تقنيات لتسريع تقارب المتتاليات الناتجة عن تكرار النقطة الثابتة . ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، تُعرف طريقة أيتكن المطبقة على نقطة ثابتة متكررة باسم طريقة ستيفنسن ، وتنتج تقاربًا تربيعيًا.

سلوك مقيد

عند التكرار، قد يتبين وجود مجموعات تتقلص وتتقارب نحو نقطة واحدة. في هذه الحالة، تُعرف النقطة التي يتم التقارب إليها بالنقطة الثابتة الجاذبة . وعلى العكس، قد يُظهر التكرار وجود نقاط تتباعد عن نقطة واحدة؛ وهذا ما يُعرف بالنقطة الثابتة غير المستقرة . ^{[ 11 ]}

عندما تتقارب نقاط المدار إلى حد واحد أو أكثر، فإن مجموعة نقاط تراكم المدار تُعرف باسم مجموعة الحدود أو مجموعة حدود ω .

تتشابه مفاهيم الجذب والتنافر في التعميم؛ إذ يمكن تصنيف التكرارات إلى مجموعات مستقرة ومجموعات غير مستقرة ، وفقًا لسلوك الجوارات الصغيرة أثناء التكرار. انظر أيضًا إلى التركيبات اللانهائية للدوال التحليلية .

توجد سلوكيات تقييدية أخرى ممكنة؛ على سبيل المثال، النقاط المتجولة هي نقاط تتحرك بعيدًا، ولا تعود أبدًا حتى بالقرب من المكان الذي بدأت منه.

المقياس الثابت

إذا نظرنا إلى تطور توزيع الكثافة، بدلاً من ديناميكيات النقاط الفردية، فإن السلوك النهائي يُحدد بواسطة المقياس الثابت . ويمكن تصوره كسلوك سحابة نقاط أو سحابة غبار تحت التكرار المتكرر. المقياس الثابت هو حالة ذاتية لمؤثر رويل-فروبينيوس-بيرون أو مؤثر النقل ، ويقابل قيمة ذاتية تساوي 1. القيم الذاتية الأصغر تُشير إلى حالات غير مستقرة ومتلاشية.

بشكل عام، ولأن التكرار المتكرر يُقابل إزاحة، فإن عامل النقل ومرافقه، عامل كوبمان ، يُمكن تفسيرهما على أنهما عاملا إزاحة يعملان على فضاء الإزاحة . تُقدم نظرية الإزاحات الجزئية من النوع المحدود فهمًا عامًا للعديد من الدوال المتكررة، وخاصة تلك التي تؤدي إلى الفوضى.

التكرارات والتدفقات الكسرية، والتكرارات السالبة

يجب استخدام مفهوم $f 1/ n$ بحذر عندما يكون للمعادلة $g n (x) = f (x)$ حلول متعددة، وهو ما يحدث عادةً، كما في معادلة باباج للجذور الوظيفية لدالة التطابق. على سبيل المثال، عندما $n = 2$ و $f (x) = 4 x - 6$ ، فإن كلاً من $g (x) = 6 - 2 x$ و $g (x) = 2 x - 2$ هما حلان؛ لذا فإن التعبير $f 1/2 (x)$ لا يدل على دالة وحيدة، تمامًا كما أن للأعداد جذورًا جبرية متعددة. يمكن دائمًا الحصول على جذر تافه للدالة f إذا أمكن توسيع نطاقها بشكل كافٍ، انظر الشكل. عادةً ما تكون الجذور المختارة هي تلك التي تنتمي إلى المدار قيد الدراسة.

يمكن تعريف التكرار الجزئي للدالة على النحو التالي: على سبيل المثال، نصف تكرار للدالة $f$ هو دالة $g$ بحيث $g (g (x)) = f (x)$ . ^{[ 12 ]} يمكن كتابة هذه الدالة $g (x) باستخدام ترميز الفهرس على النحو التالي:$ $f 1/2 (x)$ . وبالمثل، فإن $f 1/3 (x)$ هي الدالة المعرفة بحيث $f 1/3 (f 1/3 (f 1/3 (x))) = f (x)$ ، بينما يمكن تعريف $f 2/3 (x)$ على أنها تساوي $f 1/3 (f 1/3 (x))$ ، وهكذا، وكل ذلك بناءً على المبدأ المذكور سابقًا، وهو أن $f m ○ f n = f m + n$ . يمكن تعميم هذه الفكرة بحيث يصبح عدد التكرارات $n$ معلمة متصلة ، نوعًا من "الزمن" المتصل لمدار متصل . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

في مثل هذه الحالات، يُشار إلى النظام على أنه تدفق (انظر القسم الخاص بالاقتران أدناه).

إذا كانت الدالة تقابلية (وبالتالي تمتلك دالة عكسية)، فإن التكرارات السالبة تُقابل الدوال العكسية وتركيباتها. على سبيل المثال، $f⁻¹$ $(x) هي$ الدالة العكسية العادية للدالة $f$ ، بينما $f⁻² (x)$ هي الدالة العكسية المركبة مع نفسها، أي $f⁻²$ $($ $x$ $) =$ $f⁻¹$ $($ $f⁻¹$ $($ $x$ $))$ . تُعرَّف التكرارات السالبة الكسرية بشكل مماثل للتكرارات الموجبة الكسرية؛ على سبيل المثال، $تُعرَّف$ $f⁻¹$ $/$ $²$ $($ $x$ $)$ $بحيث$ f⁻¹ $/$ $²$ $($ $f⁻¹$ $/²$ $($ $x$ $)$ $) =$ $f⁻¹$ $($ $x$ $)$ ، أو بصورة مكافئة، بحيث $f⁻¹$ $/²$ $($ $f⁻¹$ $/$ $²$ $($ $x$ $)) =$ $f⁰$ $($ $x$ $)$ $=$ $x$ .

بعض صيغ التكرار الجزئي

إحدى الطرق العديدة لإيجاد صيغة متسلسلة للتكرار الكسري، باستخدام نقطة ثابتة، هي كما يلي. ^{[ 15 ]}

أولاً، حدد نقطة ثابتة للدالة بحيث يكون $f (a) = a$ .
عرّف $f n (a) = a$ لجميع قيم n التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية. وهذا، من بعض النواحي، هو الشرط الإضافي الأكثر طبيعية لوضعه على التكرارات الكسرية.
قم بتوسيع الدالة $f n (x)$ حول النقطة الثابتة a كمتسلسلة تايلور ، $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(xa)\left.{\frac {d}{ds}}f^{n}(s)\right|_{s=a}+{\frac {(xa)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{ds^{2}}}f^{n}(s)\right|_{s=a}+\cdots$
توسع $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(xa)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots$
استبدل $f k (a) = a$ ، لأي قيمة k ، $f^{n}(x)=a+(xa)f'(a)^{n}+{\frac {(xa)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
استخدم المتتابعة الهندسية لتبسيط الحدود، $f^{n}(x)=a+(xa)f'(a)^{n}+{\frac {(xa)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$ توجد حالة خاصة عندما تكون $f'(a) = 1$ ، $f^{n}(x)=x+{\frac {(xa)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(xa)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$

يمكن الاستمرار في ذلك إلى أجل غير مسمى، وإن كان ذلك غير فعال، حيث تصبح المصطلحات الأخيرة أكثر تعقيدًا. ويرد وصف إجراء أكثر منهجية في القسم التالي حول الاقتران .

المثال 1

على سبيل المثال، بوضع $f (x) = Cx + D$ نحصل على النقطة الثابتة $a = D / (1 - C)$ ، لذا فإن الصيغة أعلاه تنتهي إلى فقط $f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,$ وهو أمر سهل التحقق منه.

المثال 2

أوجد قيمة ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$ حيث يتم ذلك n مرة (وربما القيم المُستنبطة عندما لا يكون n عددًا صحيحًا). لدينا $f (x) = \sqrt2x .$ النقطة الثابتة هي $a = f (2) =$ $2$ .

لذا، إذا وضعنا $x = 1،$ فإن الدالة $f n (1)$ الموسعة حول قيمة النقطة الثابتة 2 تصبح متسلسلة لانهائية. ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots$ وهذا، بأخذ الحدود الثلاثة الأولى فقط، صحيحٌ إلى منزلة عشرية واحدة عندما تكون قيمة n $موجبة$ . انظر أيضًا إلى التكرار : $f (n) = n\sqrt2$ . استخدام النقطة الثابتة الأخرى $a = f (4) = 4$ $يؤدي$ إلى تباعد المتسلسلة.

بالنسبة لـ $n = -1$ ، تحسب المتسلسلة الدالة العكسية ⁠ 2 + ln x / ln 2 ⁠ .

المثال 3

باستخدام الدالة $f (x) = xb ،$ قم بتوسيعها حول النقطة الثابتة 1 للحصول على المتسلسلة $f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,$ وهي ببساطة متسلسلة تايلور لـ x ^{( b ⁿ )} الموسعة حول 1.

الاقتران

إذا كانت $f$ و $g$ دالتين متكررتين، وكان هناك تماثل طوبولوجي $h$ بحيث $g$ $=$ $h$ $-1$ $○$ $f$ $○$ $h$ ، فإن $f$ و $g$ يقال إنهما مترافقتان طوبولوجيًا .

من الواضح أن الاقتران الطوبولوجي محفوظٌ تحت التكرار، حيث $g n = h -1 ○ f n ○ h$ . وبالتالي، إذا أمكن إيجاد حل لنظام دالة مُكرَّر واحد، فإنه يُمكن إيجاد حلول لجميع الأنظمة المُقترنة طوبولوجيًا. على سبيل المثال، خريطة الخيمة مُقترنة طوبولوجيًا بالخريطة اللوجستية . كحالة خاصة، بأخذ $f (x) = x + 1$ ، يكون لدينا تكرار $g (x) = h -1 (h (x) + 1)$ كما يلي:

g n (x) = h - 1 (h (x) + n)

، لأي دالة

h

.

بإجراء الاستبدال $x = h - 1 (y) = ϕ (y)$ ينتج

g (ϕ (y)) = ϕ (y +1)

، وهو شكل يُعرف باسم معادلة أبيل .

حتى في غياب التشاكل التام، بالقرب من نقطة ثابتة، والتي تُعتبر هنا عند $x$ = 0، $f$ (0) = 0، يمكن في كثير من الأحيان حل معادلة شرودر ^{[ 16 ]} لدالة Ψ، مما يجعل $f$ $($ $x$ $)$ مترافقة محليًا مع مجرد تمدد، $g$ $($ $x$ $) =$ $f$ $'(0)$ $x$ ، أي

f (x) = Ψ -1 (f'(0) Ψ(x) )

.

وبالتالي، فإن مدار تكراره، أو تدفقه، في ظل أحكام مناسبة (مثل $f'(0) \neq 1$ )، يصل إلى مرافق مدار الحد الأحادي،

Ψ -1 (f'(0) n Ψ(x))

,

حيث يمثل $n$ في هذا التعبير أسًا بسيطًا: لقد اختُزلت عملية التكرار الوظيفي إلى عملية ضرب! ومع ذلك، لم يعد الأس $n$ هنا بحاجة إلى أن يكون عددًا صحيحًا أو موجبًا، بل هو "زمن" تطور مستمر للمدار الكامل: ^{[ 17 ]} لقد عُممت أحادية متتالية بيكارد (انظر شبه مجموعة التحويل ) إلى مجموعة متصلة كاملة . ^{[ 18 ]}

هذه الطريقة (التحديد الاضطرابي للدالة الذاتية الرئيسية Ψ، انظر مصفوفة جابوتنسكي ) تعادل خوارزمية القسم السابق، وإن كانت في الواقع أكثر قوة ومنهجية.

سلاسل ماركوف

إذا كانت الدالة خطية ويمكن وصفها بواسطة مصفوفة عشوائية ، أي مصفوفة مجموع صفوفها أو أعمدتها يساوي واحدًا، فإن النظام المتكرر يُعرف باسم سلسلة ماركوف .

أمثلة

توجد العديد من الخرائط الفوضوية . ومن بين الدوال المتكررة المعروفة مجموعة ماندلبروت وأنظمة الدوال المتكررة .

قام إرنست شرودر ^{[ 20 ]} في عام 1870 ، بحساب حالات خاصة من الخريطة اللوجستية ، مثل الحالة الفوضوية $f (x) = 4 x (1 - x)$ ، بحيث $Ψ(x) = arcsin(\sqrt x) 2$ ، وبالتالي $f n (x) = sin(2 n arcsin(\sqrt x)) 2$ .

وقد أوضح شرودر حالة غير فوضوية باستخدام طريقته، $f (x) = 2 x (1 - x)$ ، مما أدى إلى $Ψ(x) = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ln(1 - 2 x)$ ، وبالتالي $f n (x) = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ((1 - 2 x) 2 n - 1)$ .

إذا كانت $f$ هي فعل عنصر من عناصر المجموعة على مجموعة، فإن الدالة المتكررة تتوافق مع مجموعة حرة .

لا تمتلك معظم الدوال تعابير عامة مغلقة صريحة للتكرار رقم n . يسرد الجدول أدناه بعض الدوال التي تمتلك هذه التعابير ^{[ 20 ]} . تجدر الإشارة إلى أن جميع هذه التعابير صالحة حتى لقيم n غير الصحيحة والسالبة ، وكذلك لقيم n الصحيحة غير السالبة .

$f(x)$	$f^{n}(x)$
$x+b$	$x+nb$
$ax+b\ (a\neq 1)$	$a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$
$ax^{b}\ (b\neq 1)$	$a^{\frac {b^{n}-1}{b-1}}x^{b^{n}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b}{4a}}$ (انظر الملاحظة)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}-b}{2a}}$ أين: $\alpha ={\frac {2ax+b}{2}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b-8}{4a}}$ (انظر الملاحظة)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}+2\alpha ^{-2^{n}}-b}{2a}}$ أين: $\alpha ={\frac {2ax+b\pm {\sqrt {(2ax+b)^{2}-16}}}{4}}$
${\frac {ax+b}{cx+d}}$ ( التحويل الخطي الكسري ) ^{[ 21 ]}	${\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c}}\left[{\frac {(cx-a+\alpha )\alpha ^{n-1}-(cx-a+\beta )\beta ^{n-1}}{(cx-a+\alpha )\alpha ^{n}-(cx-a+\beta )\beta ^{n}}}\right]$ أين: $\alpha ={\frac {a+d+{\sqrt {(ad)^{2}+4bc}}}{2}}$ $\beta ={\frac {a+d-{\sqrt {(ad)^{2}+4bc}}}{2}}$
$g^{-1}{\Big (}h{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Big )}$	$g^{-1}{\Bigl (}h^{n}{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Bigr )}$
$g^{-1}{\bigl (}g(x)+b{\bigr )}$ ( معادلة أبيل العامة )	$g^{-1}{\bigl (}g(x)+nb{\bigr )}$
${\sqrt {x^{2}+b}}$	${\sqrt {x^{2}+bn}}$
$g^{-1}{\Bigl (}a\ g(x)+b{\Bigr )}\ (a\neq 1\vee b=0)$	$g^{-1}{\Bigl (}a^{n}g(x)+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b{\Bigr )}$
${\sqrt {ax^{2}+b}}$	${\sqrt {a^{n}x^{2}+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}}$
$T_{m}(x)=\cos(m\arccos x)$ ( متعددة حدود تشيبيشيف للأعداد الصحيحة m )	$T_{mn}=\cos(m^{n}\arccos x)$

ملاحظة: هاتان الحالتان الخاصتان من $المعادلة ax² + bx + c$ هما الحالتان الوحيدتان اللتان لهما حل مغلق. باختيار b = $2$ = – a و b = 4 = – a على التوالي، يتم اختزالهما إلى حالتي اللوجستيات غير الفوضوية والفوضوية اللتين نوقشتا سابقًا في الجدول.

بعض هذه الأمثلة مرتبطة فيما بينها بعلاقات اقتران بسيطة.

وسائل الدراسة

يمكن دراسة الدوال المتكررة باستخدام دالة زيتا أرتين-مازور وباستخدام عوامل النقل .

في علوم الحاسوب

في علوم الحاسوب ، تظهر الدوال المتكررة كحالة خاصة من الدوال المتكررة ، والتي بدورها ترسخ دراسة مواضيع واسعة مثل حساب التفاضل والتكامل لامدا ، أو مواضيع أضيق، مثل الدلالات الدلالية لبرامج الحاسوب.

التعريفات بدلالة الدوال المتكررة

يمكن تعريف دالتين مهمتين بدلالة الدوال المتكررة. وهما دالة الجمع :

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

والمنتج المكافئ:

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}

المشتق الوظيفي

يُعطى المشتق الوظيفي لدالة متكررة بالصيغة التكرارية التالية:

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)

معادلة نقل البيانات لـ Lie

تظهر الدوال المتكررة في توسيع السلسلة للدوال المركبة، مثل $g (f (x))$ .

بالنظر إلى سرعة التكرار ، أو دالة بيتا (في الفيزياء) ،

v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}

بالنسبة للتكرار ^رقم $n$ للدالة $f$ ، لدينا ^[²²^]

g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).

على سبيل المثال، بالنسبة للحمل الصلب، إذا كانت $f (x) = x + t$ ، فإن $v (x) = t$ . وبالتالي، فإن $g (x + t) = exp(t \partial/ \partialx) g (x) ، وهو تأثير$ عامل إزاحة بسيط .

وعلى العكس من ذلك، يمكن تحديد $f (x)$ بمعلومية $v (x) عشوائية، من خلال$ معادلة أبيل العامة التي نوقشت أعلاه،

f(x)=h^{-1}(h(x)+1),

أين

h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.

ويتضح ذلك من خلال ملاحظة أن

f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.

بالنسبة لمؤشر التكرار المستمر $t$ ، والذي يُكتب الآن كرمز سفلي، فإن هذا يُعادل تحقيق لي الأسي الشهير لمجموعة مستمرة.

e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).

تكفي سرعة التدفق الأولية $v$ لتحديد التدفق بأكمله، بالنظر إلى هذا التحقيق الأسي الذي يوفر تلقائيًا الحل العام لمعادلة الانتقال الوظيفية ، ^{[ 23 ]}

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ بينمايتم أخذ $f (n)$ للمشتقة $النونية$
↑ يجب عدم الخلط بين رمز ألفريد برينغشيم وجولز مولك (1907) $n f (x)$ للدلالة على تركيبات الدوال مع رمز رودولف فون بيتر روكر (1982) $n$ $x$ ، الذي قدمه هانز ماورر (1901) وروبن لويس جودستين (1947) للتكرار ، أو مع رمز ديفيد باترسون إيلرمان (1995) $n$ $x$ قبل الرمز العلوي للجذور .

مراجع

↑ هيرشل، جون فريدريك ويليام (1813) [12-11-1812]. "حول تطبيقٍ بارزٍ لنظرية كوتس" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 103 (الجزء 1). لندن: الجمعية الملكية في لندن ، طُبعت بواسطة دبليو. بولمر وشركاه، كليفلاند رو، سانت جيمس، وبيعت بواسطة جي. و دبليو. نيكول، بال مول: 8-26 [10]. doi : 10.1098 /rstl.1813.0005 . JSTOR 107384. S2CID 118124706 .
↑ هيرشل، جون فريدريك ويليام (1820). "الجزء الثالث. القسم الأول. أمثلة على الطريقة المباشرة للفروق" . مجموعة من الأمثلة على تطبيقات حساب الفروق المحدودة . كامبريدج، المملكة المتحدة: طُبع بواسطة ج. سميث، وبيعت بواسطة ج. دايتون وأبنائه. الصفحات 1-13 [5-6]. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. تم الاسترجاع في 4 أغسطس 2020 . (ملاحظة: يشير هيرشل هنا إلى عمله الذي أنجزه عام 1813 ويذكر عمل هانز هاينريش بورمان الأقدم.)
^ بيانو ، جوزيبي (1903). صيغة الرياضيات (بالفرنسية). المجلد. رابعا. ص. 229.
1 2 3 كاجوري، فلوريان (1952) [مارس 1929]. "§472. قوة اللوغاريتم / §473. اللوغاريتمات المتكررة / §533. تدوين جون هيرشل للدوال العكسية / §535. استمرار التدوينات المتنافسة للدوال العكسية / §537. قوى الدوال المثلثية". تاريخ التدوينات الرياضية . المجلد 2 (الطبعة الثالثة المصححة من إصدار 1929، الطبعة الثانية). شيكاغو، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر أوبن كورت . الصفحات 108، 176-179 ، 336، 346. ISBN 978-1-60206-714-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2016. [ ...] §473. اللوغاريتمات المتكررة [...] نلاحظ هنا الرمزية التي استخدمها برينغشيم ومولك في مقالتهما المشتركة في الموسوعة : " ² log _b a = log _b (log _b a ), …, ^k⁺¹ log _b a = log _b ( ^k log _b a )." ^[a] [...] §533. نُشرت رموز جون هيرشل للدوال العكسية، sin ⁻¹x ، tan ⁻¹x ، إلخ، في المعاملات الفلسفية في لندن ، لعام 1813. يقول ( ص 10 ): " يجب ألا يُفهم من هذا الرمز cos. ⁻¹e أنه يعني 1/cos. e ، ولكن ما يُكتب عادةً على هذا النحو، arc (cos.= e )." وهو يُقر بأن بعض المؤلفين يستخدمون cos. ^m A لـ (cos. A ) ^m ، لكنه يبرر ترميزه الخاص بالإشارة إلى أنه بما أن d ²x ، Δ ³x ، Σ ²x تعني dd x ، ΔΔΔ x ، ΣΣ x ، فيجب أن نكتب sin. ²x لـ sin. sin. x ، و log. ³x لـ log. log. log. x . وكما نكتب d ⁻ⁿ V=∫ ⁿ V، يمكننا أن نكتب بالمثل sin. ⁻¹x =arc (sin.= x )، log. ⁻¹x =c ^x . بعد بضع سنوات، أوضح هيرشل أنه في عام 1813 استخدم f ⁿ ( x )، f ⁻ⁿ ( x )، sin. ⁻¹x ، إلخ، "كما افترض حينها لأول مرة. ومع ذلك، فقد اطلع خلال هذه الأشهر القليلة على عمل المحلل الألماني بورمان ، الذي شرح فيه الأمر نفسه في وقت سابق بكثير. ومع ذلك، لا يبدو أنه [بورمان] قد لاحظ سهولة تطبيق هذه الفكرة على الدوال العكسية tan ⁻¹ إلخ، ولا يبدو أنه على دراية بحساب الدوال العكسي الذي ينتج عنه. ويضيف هيرشل: "يبدو أن تناظر هذه الصيغة، وقبل كل شيء، الرؤى الجديدة والواسعة التي تفتحها حول طبيعة العمليات التحليلية، تُجيز اعتمادها عالميًا." ^[ب] [...] §535. استمرار الصيغ المتنافسة للدالة العكسية. - [...] خضع استخدام صيغة هيرشل لتغيير طفيف في كتب بنيامين بيرس ، لإزالة الاعتراض الرئيسي عليها؛ كتب بيرس: "cos ^{[ -1 ]}x "، "log ^[^-1^]x ." ^[ج] [...] §537. قوى الدوال المثلثية. - استُخدمت ثلاث صيغ رئيسية للدلالة، على سبيل المثال، على مربع sin x ، وهي: (sin x ) ^²^، sin x² ، ^sin²x . الصيغة السائدة حاليًا هي sin²x ^،على الرغم من أن الصيغة الأولى هي الأقل احتمالًا . يُساء فهمها. في حالة sin ²x، يتبادر إلى الذهن تفسيران؛ الأول، sin x ⋅ sin x ؛ والثاني، ^sin ( sin x ). ولأن الدوال من النوع الأخير لا تظهر عادةً، فإن خطر سوء الفهم أقل بكثير مما هو عليه في حالة log ²x ، حيث أن log x ⋅ log x و log (log x ) شائعان في التحليل. [...] وقد شاع استخدام الرمز sin ⁿ x للدلالة على (sin x ) ^{n ، وهو الآن الرمز السائد. [...]}{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) (xviii+367+1 صفحة بما في ذلك صفحة ملحق واحدة) (ملاحظة: رقم ISBN ورابط لإعادة طباعة الطبعة الثانية من قبل Cosimo, Inc.، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 2013.)
↑ غوليك، ديني؛ فورد، جيف (2024). مواجهات مع الفوضى والكسور ( الطبعة الثالثة). مطبعة سي آر سي. ص 2. ISBN 978-1-003-83577-6.
↑ بيرس، بنيامين (1852). المنحنيات والدوال والقوى . المجلد الأول ( طبعة جديدة). بوسطن، الولايات المتحدة الأمريكية. ص 203. {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
^ برينجشيم، ألفريد ؛ مولك ، جولز (1907). Encyclopédie des Sciences mathématiques pure et appliquées (بالفرنسية). المجلد. أنا ص. 195. الجزء الأول.
^ كوزما، ماريك (1968). المعادلات الوظيفية في متغير واحد . مونوغرافيا Matematyczne. وارسو: PWN – الناشرون العلميون البولنديون.
↑ كوزما، م.، تشوتشيفسكي، ب.، وجير، ر. (1990). المعادلات الوظيفية التكرارية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
^ كارلسون، إل . جاميلين، تي دي دبليو (1993). ديناميات معقدة . النص العالمي: مسالك في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-97942-5.
↑ إستراتيسكو، فاسيل (1981). نظرية النقطة الثابتة، مقدمة ، دي. ريدل، هولندا. ISBN 90-277-1224-7.
↑ "إيجاد دالة f بحيث يكون f(f(x))=g(x) بمعلومية g" . MathOverflow .
↑ ألدروفاندي، ر.؛ فريتاس، ل.ب. (1998). "التكرار المستمر للخرائط الديناميكية". مجلة الفيزياء الرياضية . 39 (10): 5324. arXiv : physics/9712026 . Bibcode : 1998JMP....39.5324A . doi : 10.1063/1.532574 . hdl : 11449/65519 . S2CID 119675869 .
↑ بيركولايكو، ج.؛ رابينوفيتش، س.؛ هافلين، س. (1998). "تحليل تمثيل كارلمان للتكرارات التحليلية" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 224 : 81-90 . doi : 10.1006/jmaa.1998.5986 .
↑ "Tetration.org" .
↑ كيمورا، توسيهوسا (1971). "حول تكرار الدوال التحليلية"، Funkcialaj Ekvacioj مؤرشف في 2012-04-26 في Wayback Machine 14 ، 197-238.
↑ كورترايت، تي إل ؛ زاكوس، سي كيه (2009). "ملامح التطور والمعادلات الوظيفية". مجلة الفيزياء أ . 42 (48) 485208. arXiv : 0909.2424 . Bibcode : 2009JPhA...42V5208C . doi : 10.1088/1751-8113/42/48/485208 . S2CID 115173476 .
↑ على سبيل المثال، يُختزل المثال 2 أعلاه إلى $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ ، لأي قيمة لـ n ، ليس بالضرورة عددًا صحيحًا، حيث Ψ هو حل معادلة شرودر ذات الصلة ، $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . هذا الحل هو أيضًا النهاية اللانهائية لـ ( $f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .
↑ كورترايت، أسطح تطور TL وطرق شرودر الوظيفية.
1 2 شرودر، إرنست (1870). "Ueber iterirte Functionen". الرياضيات. آن . 3 (2): 296-322 . دوى : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .
↑ براند، لويس، "متتالية معرفة بمعادلة فرقية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 62 ، سبتمبر 1955، 489-492 . متاح على الإنترنت
↑ بيركسون، إي.؛ بورتا، هـ. (1978). "أنصاف الزمر للدوال التحليلية ومؤثرات التركيب" . مجلة ميشيغان الرياضية . 25 : 101-115 . doi : 10.1307/mmj/1029002009 .كورترايت، تي إل؛ زاكوس، سي كيه (2010). "الخرائط الفوضوية، وتدفقات هاميلتون، والأساليب الهولوغرافية". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 43 (44) 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode : 2010JPhA...43R5101C . doi : 10.1088/1751-8113/43/44/445101 . S2CID 115176169 .
↑ أكسيل، ج. (2006)، محاضرات في المعادلات الوظيفية وتطبيقاتها (كتب دوفر في الرياضيات، 2006)، الفصل 6، ISBN 978-0486445236.

روابط خارجية

جيل، جون (يناير 2017). "مقدمة في النظرية الأولية للتركيبات اللانهائية للدوال المعقدة" . جامعة ولاية كولورادو.

[7] بينمايتم أخذ $f (n)$ للمشتقة $النونية$

[NB_Rucker-9] يجب عدم الخلط بين رمز ألفريد برينغشيم وجولز مولك (1907) $n f (x)$ للدلالة على تركيبات الدوال مع رمز رودولف فون بيتر روكر (1982) $n$ $x$ ، الذي قدمه هانز ماورر (1901) وروبن لويس جودستين (1947) للتكرار ، أو مع رمز ديفيد باترسون إيلرمان (1995) $n$ $x$ قبل الرمز العلوي للجذور .

[Herschel_1813-1] هيرشل، جون فريدريك ويليام (1813) [12-11-1812]. "حول تطبيقٍ بارزٍ لنظرية كوتس" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 103 (الجزء 1). لندن: الجمعية الملكية في لندن ، طُبعت بواسطة دبليو. بولمر وشركاه، كليفلاند رو، سانت جيمس، وبيعت بواسطة جي. و دبليو. نيكول، بال مول: 8-26 [10]. doi : 10.1098 /rstl.1813.0005 . JSTOR 107384. S2CID 118124706 .

[Herschel_1820-2] هيرشل، جون فريدريك ويليام (1820). "الجزء الثالث. القسم الأول. أمثلة على الطريقة المباشرة للفروق" . مجموعة من الأمثلة على تطبيقات حساب الفروق المحدودة . كامبريدج، المملكة المتحدة: طُبع بواسطة ج. سميث، وبيعت بواسطة ج. دايتون وأبنائه. الصفحات 1-13 [5-6]. مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2020. تم الاسترجاع في 4 أغسطس 2020 . (ملاحظة: يشير هيرشل هنا إلى عمله الذي أنجزه عام 1813 ويذكر عمل هانز هاينريش بورمان الأقدم.)

[Peano_1903-3] بيانو ، جوزيبي (1903). صيغة الرياضيات (بالفرنسية). المجلد. رابعا. ص. 229.

[Cajori_1929-4] 1 2 3 كاجوري، فلوريان (1952) [مارس 1929]. "§472. قوة اللوغاريتم / §473. اللوغاريتمات المتكررة / §533. تدوين جون هيرشل للدوال العكسية / §535. استمرار التدوينات المتنافسة للدوال العكسية / §537. قوى الدوال المثلثية". تاريخ التدوينات الرياضية . المجلد 2 (الطبعة الثالثة المصححة من إصدار 1929، الطبعة الثانية). شيكاغو، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر أوبن كورت . الصفحات 108، 176-179 ، 336، 346. ISBN 978-1-60206-714-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يناير 2016. [ ...] §473. اللوغاريتمات المتكررة [...] نلاحظ هنا الرمزية التي استخدمها برينغشيم ومولك في مقالتهما المشتركة في الموسوعة : " ² log _b a = log _b (log _b a ), …, ^k⁺¹ log _b a = log _b ( ^k log _b a )." ^[a] [...] §533. نُشرت رموز جون هيرشل للدوال العكسية، sin ⁻¹x ، tan ⁻¹x ، إلخ، في المعاملات الفلسفية في لندن ، لعام 1813. يقول ( ص 10 ): " يجب ألا يُفهم من هذا الرمز cos. ⁻¹e أنه يعني 1/cos. e ، ولكن ما يُكتب عادةً على هذا النحو، arc (cos.= e )." وهو يُقر بأن بعض المؤلفين يستخدمون cos. ^m A لـ (cos. A ) ^m ، لكنه يبرر ترميزه الخاص بالإشارة إلى أنه بما أن d ²x ، Δ ³x ، Σ ²x تعني dd x ، ΔΔΔ x ، ΣΣ x ، فيجب أن نكتب sin. ²x لـ sin. sin. x ، و log. ³x لـ log. log. log. x . وكما نكتب d ⁻ⁿ V=∫ ⁿ V، يمكننا أن نكتب بالمثل sin. ⁻¹x =arc (sin.= x )، log. ⁻¹x =c ^x . بعد بضع سنوات، أوضح هيرشل أنه في عام 1813 استخدم f ⁿ ( x )، f ⁻ⁿ ( x )، sin. ⁻¹x ، إلخ، "كما افترض حينها لأول مرة. ومع ذلك، فقد اطلع خلال هذه الأشهر القليلة على عمل المحلل الألماني بورمان ، الذي شرح فيه الأمر نفسه في وقت سابق بكثير. ومع ذلك، لا يبدو أنه [بورمان] قد لاحظ سهولة تطبيق هذه الفكرة على الدوال العكسية tan ⁻¹ إلخ، ولا يبدو أنه على دراية بحساب الدوال العكسي الذي ينتج عنه. ويضيف هيرشل: "يبدو أن تناظر هذه الصيغة، وقبل كل شيء، الرؤى الجديدة والواسعة التي تفتحها حول طبيعة العمليات التحليلية، تُجيز اعتمادها عالميًا." ^[ب] [...] §535. استمرار الصيغ المتنافسة للدالة العكسية. - [...] خضع استخدام صيغة هيرشل لتغيير طفيف في كتب بنيامين بيرس ، لإزالة الاعتراض الرئيسي عليها؛ كتب بيرس: "cos ^{[ -1 ]}x "، "log ^[^-1^]x ." ^[ج] [...] §537. قوى الدوال المثلثية. - استُخدمت ثلاث صيغ رئيسية للدلالة، على سبيل المثال، على مربع sin x ، وهي: (sin x ) ^²^، sin x² ، ^sin²x . الصيغة السائدة حاليًا هي sin²x ^،على الرغم من أن الصيغة الأولى هي الأقل احتمالًا . يُساء فهمها. في حالة sin ²x، يتبادر إلى الذهن تفسيران؛ الأول، sin x ⋅ sin x ؛ والثاني، ^sin ( sin x ). ولأن الدوال من النوع الأخير لا تظهر عادةً، فإن خطر سوء الفهم أقل بكثير مما هو عليه في حالة log ²x ، حيث أن log x ⋅ log x و log (log x ) شائعان في التحليل. [...] وقد شاع استخدام الرمز sin ⁿ x للدلالة على (sin x ) ^{n ، وهو الآن الرمز السائد. [...]}{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) (xviii+367+1 صفحة بما في ذلك صفحة ملحق واحدة) (ملاحظة: رقم ISBN ورابط لإعادة طباعة الطبعة الثانية من قبل Cosimo, Inc.، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 2013.)

[5] غوليك، ديني؛ فورد، جيف (2024). مواجهات مع الفوضى والكسور ( الطبعة الثالثة). مطبعة سي آر سي. ص 2. ISBN 978-1-003-83577-6.

[Peirce_1852-6] بيرس، بنيامين (1852). المنحنيات والدوال والقوى . المجلد الأول ( طبعة جديدة). بوسطن، الولايات المتحدة الأمريكية. ص 203. {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )

[Pringsheim-Molk_1907-8] برينجشيم، ألفريد ؛ مولك ، جولز (1907). Encyclopédie des Sciences mathématiques pure et appliquées (بالفرنسية). المجلد. أنا ص. 195. الجزء الأول.

[10] كوزما، ماريك (1968). المعادلات الوظيفية في متغير واحد . مونوغرافيا Matematyczne. وارسو: PWN – الناشرون العلميون البولنديون.

[11] كوزما، م.، تشوتشيفسكي، ب.، وجير، ر. (1990). المعادلات الوظيفية التكرارية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[12] كارلسون، إل . جاميلين، تي دي دبليو (1993). ديناميات معقدة . النص العالمي: مسالك في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-97942-5.

[13] إستراتيسكو، فاسيل (1981). نظرية النقطة الثابتة، مقدمة ، دي. ريدل، هولندا. ISBN 90-277-1224-7.

[14] "إيجاد دالة f بحيث يكون f(f(x))=g(x) بمعلومية g" . MathOverflow .

[15] ألدروفاندي، ر.؛ فريتاس، ل.ب. (1998). "التكرار المستمر للخرائط الديناميكية". مجلة الفيزياء الرياضية . 39 (10): 5324. arXiv : physics/9712026 . Bibcode : 1998JMP....39.5324A . doi : 10.1063/1.532574 . hdl : 11449/65519 . S2CID 119675869 .

[16] بيركولايكو، ج.؛ رابينوفيتش، س.؛ هافلين، س. (1998). "تحليل تمثيل كارلمان للتكرارات التحليلية" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 224 : 81-90 . doi : 10.1006/jmaa.1998.5986 .

[17] "Tetration.org" .

[18] كيمورا، توسيهوسا (1971). "حول تكرار الدوال التحليلية"، Funkcialaj Ekvacioj مؤرشف في 2012-04-26 في Wayback Machine 14 ، 197-238.

[19] كورترايت، تي إل ؛ زاكوس، سي كيه (2009). "ملامح التطور والمعادلات الوظيفية". مجلة الفيزياء أ . 42 (48) 485208. arXiv : 0909.2424 . Bibcode : 2009JPhA...42V5208C . doi : 10.1088/1751-8113/42/48/485208 . S2CID 115173476 .

[20] على سبيل المثال، يُختزل المثال 2 أعلاه إلى $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ ، لأي قيمة لـ n ، ليس بالضرورة عددًا صحيحًا، حيث Ψ هو حل معادلة شرودر ذات الصلة ، $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . هذا الحل هو أيضًا النهاية اللانهائية لـ ( $f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .

[21] كورترايت، أسطح تطور TL وطرق شرودر الوظيفية.

[schr-22] 1 2 شرودر، إرنست (1870). "Ueber iterirte Functionen". الرياضيات. آن . 3 (2): 296-322 . دوى : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .

[23] براند، لويس، "متتالية معرفة بمعادلة فرقية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 62 ، سبتمبر 1955، 489-492 . متاح على الإنترنت

[24] بيركسون، إي.؛ بورتا، هـ. (1978). "أنصاف الزمر للدوال التحليلية ومؤثرات التركيب" . مجلة ميشيغان الرياضية . 25 : 101-115 . doi : 10.1307/mmj/1029002009 .كورترايت، تي إل؛ زاكوس، سي كيه (2010). "الخرائط الفوضوية، وتدفقات هاميلتون، والأساليب الهولوغرافية". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 43 (44) 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode : 2010JPhA...43R5101C . doi : 10.1088/1751-8113/43/44/445101 . S2CID 115176169 .

[acz-25] أكسيل، ج. (2006)، محاضرات في المعادلات الوظيفية وتطبيقاتها (كتب دوفر في الرياضيات، 2006)، الفصل 6، ISBN 978-0486445236.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[

[

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[

[ 23 ]