معامل ارتباط رتبة كيندال

في الإحصاء ، يُستخدم معامل ارتباط رتب كندال ، المعروف أيضًا بمعامل كندال τ (نسبةً إلى الحرف اليوناني τ ، تاو)، لقياس العلاقة الترتيبية بين كميتين مُقاسة. يُعد اختبار τ اختبارًا لا معلميًا للفرضيات الإحصائية، ويعتمد على معامل τ. وهو مقياس لارتباط الرتب : أي مدى تشابه ترتيب البيانات عند تصنيفها وفقًا لكل كمية. سُمي هذا المعامل نسبةً إلى موريس كندال ، الذي طوره عام 1938، ^[¹^] مع العلم أن غوستاف فيشنر كان قد اقترح مقياسًا مشابهًا في سياق السلاسل الزمنية عام 1897. ^[²^]

بشكل بديهي، سيكون معامل ارتباط كيندال بين متغيرين مرتفعًا عندما يكون للملاحظات رتبة مماثلة أو متطابقة (أي تسمية الموقع النسبي للملاحظات داخل المتغير: الأول، الثاني، الثالث، إلخ) بين المتغيرين، ومنخفضًا عندما يكون للملاحظات رتبة مختلفة أو معكوسة تمامًا بين المتغيرين.

كلا من كيندال $\tau$ وسبيرمان $\rho$ يمكن صياغتها كحالات خاصة من معامل ارتباط أكثر عمومية . كما تظهر مفاهيمها المتعلقة بالتوافق وعدم التوافق في مجالات أخرى من الإحصاء، مثل مؤشر راند في تحليل التجميع .

تعريف

{\displaystyle (X_{1},Y_{1})} — جميع النقاط في المنطقة الرمادية متوافقة، وجميع النقاط في المنطقة البيضاء غير متوافقة بالنسبة للنقطة $(X_{1},Y_{1})$ . مع $n=30$ يبلغ إجمالي النقاط ${\binom {30}{2}}=435$ أزواج النقاط الممكنة. في هذا المثال، يوجد 395 زوجًا من النقاط المتوافقة و40 زوجًا من النقاط غير المتوافقة، مما يؤدي إلى معامل ارتباط رتبة كندال قدره 0.816.

يترك $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ لتكن مجموعة من المشاهدات للمتغيرات العشوائية المشتركة X و Y ، بحيث تكون جميع قيم ( $x_{i}$ ) و ( $y_{i}$ ) فريدة. (انظر قسم "معالجة القيم المتساوية" لمعرفة طرق التعامل مع القيم غير الفريدة). أي زوج من الملاحظات $(x_{i},y_{i})$ و $(x_{j},y_{j})$ ، أين $i<j$ يُقال إنها متوافقة إذا كان ترتيب الفرز لـ $(x_{i},x_{j})$ و $(y_{i},y_{j})$ يتفقان: أي إذا كان أحدهما أو كلاهما $x_{i}>x_{j}$ و $y_{i}>y_{j}$ يمسك أو كليهما $x_{i}<x_{j}$ و $y_{i}<y_{j}$ وإلا يقال إنها متنافرة .

في حالة عدم وجود روابط، يتم تعريف معامل كندال τ على النحو التالي:

\tau ={\frac {({\text{عدد الأزواج المتوافقة}})-({\text{عدد الأزواج غير المتوافقة}})}{({\text{عدد الأزواج}})}}=1-{\frac {2({\text{عدد الأزواج غير المتوافقة}})}{n \choose 2}}.

^{[ 3 ]}

ل $i<j<n$ أين ${n \choose 2}={n(n-1) \over 2}$ يمثل معامل ذي الحدين عدد طرق اختيار عنصرين من بين n عنصرًا.

عدد الأزواج غير المتوافقة يساوي عدد الانعكاس الذي يبدل تسلسل y إلى نفس ترتيب تسلسل x.

ملكيات

المقام هو العدد الإجمالي لمجموعات الأزواج، لذلك يجب أن يكون المعامل في النطاق −1 ≤ τ ≤ 1.

إذا كان الاتفاق بين التصنيفين تامًا (أي أن التصنيفين متطابقان) فإن قيمة المعامل تساوي 1.
إذا كان الاختلاف بين التصنيفين تامًا (أي أن أحد التصنيفين هو عكس الآخر) فإن قيمة المعامل هي -1.
إذا كان X و Y متغيرين عشوائيين مستقلين وليسا ثابتين، فإن القيمة المتوقعة للمعامل تساوي صفرًا.
الصيغة الصريحة لمعامل رتبة كيندال هي $\displaystyle \tau =\frac {2}{n(n-1)}}\sum _{i<j}\operatorname {sgn}(x_{i}-x_{j})\operatorname {sgn}(y_{i}-y_{j})}$ .

اختبار الفرضية

يُستخدم معامل رتبة كندال غالبًا كإحصائية اختبار في اختبار الفرضيات الإحصائية لتحديد ما إذا كان يمكن اعتبار متغيرين مرتبطين إحصائيًا. هذا الاختبار غير معلمي ، لأنه لا يعتمد على أي افتراضات حول توزيعات X أو Y أو توزيع ( X ، Y ).

بافتراض فرضية العدم لاستقلال X و Y ، فإن التوزيع الاحتمالي لـ τ له قيمة متوقعة تساوي صفرًا. لا يمكن تحديد التوزيع بدقة باستخدام التوزيعات الشائعة، ولكن يمكن حسابه بدقة للعينات الصغيرة؛ أما بالنسبة للعينات الأكبر حجمًا، فمن الشائع استخدام تقريب للتوزيع الطبيعي ، بمتوسط صفر وتباين σ². ${\textstyle 2(2n+5)/9n(n-1)}$ [ ⁴^]

نظرية. إذا كانت العينات مستقلة، فإن تباين ${\textstyle \tau _{A}}$ يُعطى بواسطة ${\textstyle Var[\tau _{A}]=2(2n+5)/9n(n-1)}$ .

دليل

برهان فالز وماكلويد (1990؛ ^{[ 5 ]} 1995 ^{[ 6 ]} )

بدون فقدان للذاكرة، نعيد ترتيب أزواج البيانات، بحيث ${\textstyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$ وبافتراض الاستقلال، فإن ترتيب ${\textstyle y_{1},...,y_{n}}$ هي تبديل تم اختياره عشوائياً وبشكل منتظم من ${\textstyle S_{n}}$ ، مجموعة التبديل على ${\textstyle 1:n}$ .

لكل تبديل، له شكله الفريد ${\textstyle l}$ رمز الانعكاس هو ${\textstyle l_{0}l_{1}\cdots l_{n-1}}$ بحيث يكون كل ${\textstyle l_{i}}$ يقع ضمن النطاق ${\textstyle 0:i}$ إن أخذ عينة من التبديل بشكل منتظم يكافئ أخذ عينة من ${\textstyle l}$ - رمز الانعكاس بشكل موحد، وهو ما يعادل أخذ عينة من كل ${\textstyle l_{i}}$ بشكل موحد ومستقل.

ثم لدينا $\begin{aligned}E[\tau _{A}^{2}]&=E\left[\left(1-{\frac {4\sum _{i}l_{i}}{n(n-1)}}\right)^{2}\right]\\&=1-{\frac {8}{n(n-1)}}\sum _{i}E[l_{i}]+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\sum _{ij}E[l_{i}l_{j}]\\&=1-{\frac {8}{n(n-1)}}\sum _{i}E[l_{i}]+{\frac {16}{n^{2}(n-1)^{2}}}\left(\sum _{ij}E[l_{i}]E[l_{j}]+\sum \begin{aligned} ...$

الفصل الدراسي الأول هو فقط ${\textstyle E[\tau _{A}]^{2}=0}$ ويمكن حساب الحد الثاني بملاحظة أن ${\textstyle l_{i}}$ متغير عشوائي منتظم على ${\textstyle 0:i}$ ، لذا ${\textstyle E[l_{i}]={\frac {i}{2}}}$ و ${\textstyle E[l_{i}^{2}]={\frac {0^{2}+\cdots +i^{2}}{i+1}}={\frac {i(2i+1)}{6}}}$ ثم باستخدام صيغة مجموع المربعات مرة أخرى.

التقارب الطبيعي — عند ${\textstyle n\to \infty }$ حد، ${\textstyle z_{A}={\frac {\tau _{A}}{\sqrt {Var[\tau _{A}]}}}={n_{C}-n_{D} \over {\sqrt {n(n-1)(2n+5)/18}}}}$ يتقارب في التوزيع مع التوزيع الطبيعي القياسي.

دليل

استخدم نتيجة من فئة الإحصاءات ذات التوزيع الطبيعي التقاربي لهوفدينغ (1948). ^{[ 7 ]}

حالة التوزيعات الطبيعية القياسية

لو ${\textstyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})}$ هي عينات مستقلة ومتطابقة التوزيع من نفس التوزيع الطبيعي المشترك بمعامل ارتباط بيرسون معروف ${\textstyle r}$ إذاً، فإن القيمة المتوقعة لمعامل ارتباط رتبة كندال لها صيغة مغلقة. ^{[ 8 ]}

مساواة غرينر — إذا ${\textstyle X,Y}$ وهي طبيعية مشتركة، مع وجود ارتباط ${\textstyle r}$ ، ثم $r=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}E[\tau _{A}]\right)}$

يُنسب الاسم إلى ريتشارد غرينر (1909) ^{[ 9 ]} بواسطة باب موران . ^{[ 10 ]}

دليل

البرهان ^{[ 11 ]}

عرّف الكميات التالية.

${\textstyle A^{+}:=\{(\Delta x,\Delta y):\Delta x\Delta y>0\}}$
${\textstyle \Delta _{i,j}:=(x_{i}-x_{j},y_{i}-y_{j})}$ هي نقطة في ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ .

في الترميز، نرى أن عدد الأزواج المتوافقة، ${\textstyle n_{C}}$ ، يساوي عدد ${\textstyle \Delta _{i,j}}$ تلك التي تقع في المجموعة الفرعية ${\textstyle A^{+}}$ . إنه، ${\textstyle n_{C}=\sum _{1\leq i<j\leq n}1_{\Delta _{i,j}\in A^{+}}}$ .

هكذا، $E[\tau _{A}]={\frac {4}{n(n-1)}}E[n_{C}]-1={\frac {4}{n(n-1)}}\sum _{1\leq i<j\leq n}Pr(\Delta _{i,j}\in A^{+})-1$

بما أن كل ${\textstyle (x_{i},y_{i})}$ إذا كانت عينة مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا من التوزيع الطبيعي المشترك، فإن الاقتران لا يهم، لذا فإن كل حد في المجموع يكون متطابقًا تمامًا، وبالتالي $E[\tau _{A}]=2Pr(\Delta _{1,2}\in A^{+})-1$ ويبقى حساب الاحتمالية. نقوم بذلك عن طريق التحويلات الخطية المتكررة.

أولاً، قم بالتطبيع ${\textstyle X,Y}$ عن طريق طرح المتوسط وقسمة الانحراف المعياري. وهذا لا يغير شيئًا. ${\textstyle \tau _{A}}$ وهذا يعطينا ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&r\\r&1\end{bmatrix}}^{1/2}{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}$ أين ${\textstyle (Z,W)}$ يتم أخذ العينات من التوزيع الطبيعي القياسي على ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ .

هكذا، $\Delta _{1,2}={\sqrt {2}}{\begin{bmatrix}1&r\\r&1\end{bmatrix}}^{1/2}{\begin{bmatrix}(z_{1}-z_{2})/{\sqrt {2}}\\(w_{1}-w_{2})/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}$ حيث المتجه ${\textstyle {\begin{bmatrix}(z_{1}-z_{2})/{\sqrt {2}}\\(w_{1}-w_{2})/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$ لا يزال التوزيع يتبع التوزيع الطبيعي القياسي على ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ . يبقى إجراء بعض عمليات الأسس المصفوفية المملة وغير المفيدة وعلم المثلثات، والتي يمكن تخطيها.

هكذا، ${\textstyle \Delta _{1,2}\in A^{+}}$ إذا ${\begin{bmatrix}(z_{1}-z_{2})/{\sqrt {2}}\\(w_{1}-w_{2})/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\in {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&r\\r&1\end{bmatrix}}^{-1/2}A^{+}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}&{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}&{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}\end{bmatrix}}A^{+}$ حيث تمثل المجموعة الفرعية على اليمين نسخة "مضغوطة" من ربعين. وبما أن التوزيع الطبيعي القياسي متناظر دورانيًا، فإننا نحتاج فقط إلى حساب الزاوية التي يغطيها كل ربع مضغوط.

الربع الأول هو القطاع المحصور بين الشعاعين ${\textstyle (1,0),(0,1)}$ يتحول إلى القطاع المحصور بين الشعاعين ${\textstyle ({\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}},{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}})}$ و ${\textstyle ({\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}},{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}})}$ يشكلان زاوية على التوالي ${\textstyle \theta }$ مع المحورين الأفقي والرأسي، حيث $\theta =\arctan {\frac {{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}-{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}}{{\frac {1}{\sqrt {1+r}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-r}}}}}$

يشكل الربعان المحولان معًا زاوية قدرها ${\textstyle \pi +4\theta }$ ، لذا $Pr(\Delta _{1,2}\in A^{+})={\frac {\pi +4\theta }{2\pi }}$ وبالتالي $\sin {\left({\frac {\pi }{2}}E[\tau _{A}]\right)}=\sin(2\theta )=r$

مراعاة حالات التعادل

زوج $\{(x_{i},y_{i}),(x_{j},y_{j})\}$ يقال إن العلاقة متعادلة إذا وفقط إذا $x_{i}=x_{j}$ أو $y_{i}=y_{j}$ الزوج المتساوي ليس متوافقًا ولا غير متوافق. عند ظهور أزواج متساوية في البيانات، يمكن تعديل المعامل بعدة طرق لإبقائه ضمن النطاق [-1، 1]:

تاو-أ

تم تغيير اسم إحصائية تاو، التي وضعها كيندال عام 1938 ^{[ 1 ]} ، لاحقًا إلى تاو-أ. وهي تمثل قوة الارتباط الإيجابي أو السلبي بين متغيرين كميين أو ترتيبيين دون أي تعديل للقيم المتساوية. وتُعرَّف على النحو التالي:

\tau _{A}={\frac {n_{c}-n_{d}}{n_{0}}}

حيث يتم تعريف n _c و n _d و n ₀ كما هو موضح في القسم التالي.

عند وجود تعادلات، $n_{c}+n_{d}<n_{0}$ ولا يمكن أن يساوي المعامل +1 أو -1. حتى التساوي التام بين المتغيرين (X=Y) يؤدي إلى Tau-a < 1.

تاو-ب

يُجري إحصاء تاو-ب، على عكس تاو-أ، تعديلاتٍ لمعالجة حالات التعادل. وقد وصف كيندال هذا الإحصاء لأول مرة عام ١٩٤٥ تحت اسم تاو-و ^{[ ١٢ ]} كامتداد لإحصاء تاو الأصلي الذي يدعم حالات التعادل. تتراوح قيم تاو-ب من -١ (ارتباط سلبي بنسبة ١٠٠٪، أو عدم توافق تام) إلى +١ (ارتباط إيجابي بنسبة ١٠٠٪، أو توافق تام). وفي حالة انعدام الارتباط، يكون تاو-ب مساويًا للصفر.

يُعرَّف معامل كيندال تاو-ب على النحو التالي :

\tau _{B}={\frac {n_{c}-n_{d}}{\sqrt {(n_{0}-n_{1})(n_{0}-n_{2})}}}

أين

{\begin{aligned}n_{0}&=n(n-1)/2\\n_{1}&=\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)/2\\n_{2}&=\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/2\\n_{c}&={\text{Number of concordant pairs, i.e. pairs with }}0<i<j<n{\text{ where }}x_{i}<x_{j}{\text{ and }}y_{i}<y_{j}{\text{ or }}x_{i}>x_{j}{\text{ and }}y_{i}>y_{j}\\n_{d}&={\text{Number of discordant pairs, i.e. pairs where }}0<i<j<n{\text{ where }}x_{i}<x_{j}{\text{ and }}y_{i}>y_{j}{\text{ or }}x_{i}>x_{j}{\text{ and }}y_{i}<y_{j}\\t_{i}&={\text{Number of tied values in the }}i^{\text{th}}{\text{ group of ties for the empirical distribution of X}}\\u_{j}&={\text{Number of tied values in the }}j^{\text{th}}{\text{ group of ties for the empirical distribution of Y}}\end{aligned}}

تقوم خوارزمية بسيطة تم تطويرها بلغة BASIC بحساب معامل Tau-b باستخدام صيغة بديلة. ^{[ 13 ]}

يجب الانتباه إلى أن بعض الحزم الإحصائية، مثل SPSS، تستخدم صيغًا بديلة لتحسين الكفاءة الحسابية، مع ضعف العدد "المعتاد" للأزواج المتوافقة وغير المتوافقة. ^{[ 14 ]}

تاو-سي

تم تعريف تاو-سي (المعروف أيضًا باسم تاو-سي ستيوارت-كيندال) ^{[ 15 ] لأول مرة من قبل ستيوارت عام 1953.}^{[ 16 ]} على عكس تاو-بي، يمكن أن تكون قيمة تاو-سي مساوية لـ +1 أو -1 في جداول التوافق غير المربعة (أي المستطيلة) ، ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} أي عندما يكون للمقياسين الأساسيين للمتغيرين عدد مختلف من القيم الممكنة. على سبيل المثال، إذا كان المتغير X له توزيع منتظم مستمر بين 0 و100، وكان Y متغيرًا ثنائي القيمة يساوي 1 إذا كان X ≥ 50 و0 إذا كان X < 50، فإن إحصائية تاو-سي لـ X وY تساوي 1، بينما تاو-بي تساوي 0.707. يمكن تفسير قيمة Tau-c التي تساوي 1 على أنها أفضل ارتباط إيجابي ممكن مشروط بالتوزيعات الهامشية، بينما يمكن تفسير قيمة Tau-b التي تساوي 1 على أنها ارتباط رتيب إيجابي مثالي حيث يكون لتوزيع X المشروط بـ Y تباين صفري، ويكون لتوزيع Y المشروط بـ X تباين صفري، بحيث توجد دالة تقابلية f مع f(X)=Y.

يُعرَّف معامل ستيوارت-كيندال تاو-سي على النحو التالي: ^{[ 16 ]}

\tau _{C}={\frac {2(n_{c}-n_{d})}{n^{2}{\frac {(m-1)}{m}}}}=\tau _{A}{\frac {n-1}{n}}{\frac {m}{m-1}}

أين

{\begin{aligned}n_{c}&={\text{Number of concordant pairs}}\\n_{d}&={\text{Number of discordant pairs}}\\r&={\text{Number of rows of the contingency table (i.e. number of distinct }}x_{i}{\text{)}}\\c&={\text{Number of columns of the contingency table (i.e. number of distinct }}y_{i}{\text{)}}\\m&=\min(r,c)\end{aligned}}

اختبارات الدلالة الإحصائية

عندما تكون كميتان مرتبطتين إحصائياً، فإن توزيع $\tau$ لا يمكن وصفها بسهولة من حيث التوزيعات المعروفة. ومع ذلك، بالنسبة لـ $\tau _{A}$ الإحصائية التالية، $z_{A}$ ، يتم توزيعها تقريبًا كتوزيع طبيعي معياري عندما تكون المتغيرات مستقلة إحصائيًا:

z_{A}={n_{c}-n_{d} \over {\sqrt {{\frac {1}{18}}v_{0}}}}

أين $v_{0}=n(n-1)(2n+5)$ .

وبالتالي، لاختبار ما إذا كان متغيران مرتبطين إحصائيًا، يتم حساب $z_{A}$ ، ويجد الاحتمال التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي عند $-|z_{A}|$ في اختبار ذي طرفين، اضرب هذا الرقم في اثنين للحصول على قيمة الاحتمال (p -value). إذا كانت قيمة الاحتمال أقل من مستوى الدلالة المحدد، يتم رفض الفرضية الصفرية (عند مستوى الدلالة هذا) التي تنص على أن الكميات مستقلة إحصائيًا.

ينبغي إضافة العديد من التعديلات إلى $z_{A}$ عند احتساب حالات التعادل. الإحصائية التالية، $z_{B}$ ، له نفس التوزيع مثل $\tau _{B}$ التوزيع، ويكون مساوياً تقريباً للتوزيع الطبيعي القياسي عندما تكون الكميات مستقلة إحصائياً:

z_{B}={n_{c}-n_{d} \over {\sqrt {v}}}

أين

{\begin{array}{ccl}v&=&{\frac {1}{18}}v_{0}-(v_{t}+v_{u})/18+(v_{1}+v_{2})\\v_{0}&=&n(n-1)(2n+5)\\v_{t}&=&\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(2t_{i}+5)\\v_{u}&=&\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(2u_{j}+5)\\v_{1}&=&\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)/(2n(n-1))\\v_{2}&=&\sum _{i}t_{i}(t_{i}-1)(t_{i}-2)\sum _{j}u_{j}(u_{j}-1)(u_{j}-2)/(9n(n-1)(n-2))\end{array}}

يُشار إلى هذا أحيانًا باسم اختبار مان-كيندال. ^{[ 17 ]}

الخوارزميات

الحساب المباشر للبسط $n_{c}-n_{d}$ ، يتضمن ذلك تكرارين متداخلين، كما هو موضح في الشفرة الزائفة التالية:

numer := 0 for i := 2..N do for j := 1..(i − 1) do numer := numer + sign(x[i] − x[j]) × sign(y[i] − y[j]) إرجاع الرقم

على الرغم من سهولة تطبيق هذه الخوارزمية، إلا أنها $O(n^{2})$ تزداد تعقيدًا وتصبح بطيئة جدًا مع العينات الكبيرة. يمكن استخدام خوارزمية أكثر تطورًا ^{[ 18 ]} مبنية على خوارزمية فرز الدمج لحساب البسط في $O(n\cdot \log {n})$ وقت.

ابدأ بترتيب نقاط البيانات الخاصة بك حسب الكمية الأولى، $x$ وثانياً (بين الروابط في $x$ ) بالكمية الثانية، $y$ مع هذا الطلب الأولي، $y$ غير مرتبة، ويتمثل جوهر الخوارزمية في حساب عدد الخطوات التي ستتخذها خوارزمية فرز الفقاعات لفرز هذه البيانات الأولية. $y$ خوارزمية فرز الدمج المحسّنة ، مع $O(n\log n)$ يمكن تطبيق التعقيد لحساب عدد عمليات التبديل. $S(y)$ ، وهو ما يتطلبه فرز الفقاعات للفرز $y_{i}$ ثم البسط لـ $\tau$ يتم حسابها على النحو التالي:

n_{c}-n_{d}=n_{0}-n_{1}-n_{2}+n_{3}-2S(y),

أين $n_{3}$ يتم حسابها مثل $n_{1}$ و $n_{2}$ لكن فيما يتعلق بالروابط المشتركة في $x$ و $y$ .

تقوم خوارزمية فرز الدمج بتقسيم البيانات المراد فرزها، $y$ إلى نصفين متساويين تقريبًا، $y_{\mathrm {left} }$ و $y_{\mathrm {right} }$ ثم يقوم بفرز كل نصف بشكل متكرر، ثم يدمج النصفين المفرزين في متجه مرتب بالكامل. عدد عمليات تبديل فرز الفقاعات يساوي:

S(y)=S(y_{\mathrm {left} })+S(y_{\mathrm {right} })+M(Y_{\mathrm {left} },Y_{\mathrm {right} })

أين $Y_{\mathrm {left} }$ و $Y_{\mathrm {right} }$ هي النسخ المصنفة من $y_{\mathrm {left} }$ و $y_{\mathrm {right} }$ ، و $M(\cdot ,\cdot )$ يصف هذا الوصف عملية الدمج المكافئة لعملية التبديل في خوارزمية فرز الفقاعات . $M(\cdot ,\cdot )$ يتم حسابها كما هو موضح في الشفرة الزائفة التالية:

الدالة M(L[1..n], R[1..m]) هي i := 1 j := 1 عدد عمليات التبديل := 0 طالما أن i ≤ n و j ≤ m، إذا كان R[j] < L[i]، فقم بما يلي: nSwaps := nSwaps + n − i + 1 j := j + 1 آخر i := i + 1 إرجاع عدد عمليات التبديل

من الآثار الجانبية للخطوات المذكورة أعلاه أنك ستحصل في النهاية على نسخة مرتبة من $x$ ونسخة مُرتبة من $y$ مع هذه العوامل $t_{i}$ و $u_{j}$ يستخدم لحساب $\tau _{B}$ يمكن الحصول عليها بسهولة في عملية مرور واحدة خطية عبر المصفوفات المصنفة.

تقريب معامل ارتباط رتبة كيندال من تدفق البيانات

توجد خوارزميات فعالة لحساب معامل ارتباط رتبة كندال وفقًا للمُقدِّر القياسي $O(n\cdot \log {n})$ تعقيد الوقت. مع ذلك، تتطلب هذه الخوارزميات توفر جميع البيانات لتحديد رتب الملاحظات، مما يشكل تحديًا في بيئات البيانات المتسلسلة حيث تُكشف الملاحظات تدريجيًا. لحسن الحظ، توجد خوارزميات لتقدير معامل ارتباط رتب كندال في البيئات المتسلسلة. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} تتميز هذه الخوارزميات بـ $O(1)$ تحديث تعقيد الوقت والمساحة، والتوسع بكفاءة مع عدد الملاحظات. وبالتالي، عند معالجة مجموعة من $n$ تصبح الملاحظات، مع تعقيد الوقت $O(n)$ بينما يظل تعقيد المساحة ثابتًا $O(1)$ .

تُقدّم الخوارزمية الأولى من نوعها ^{[ 19 ]} تقريبًا لمعامل ارتباط رتبة كندال، وذلك بالاعتماد على تقريب التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائية. وتُعالج البيانات غير المستقرة باستخدام أسلوب النافذة المتحركة. تتميز هذه الخوارزمية ^{[ 19 ]} ببساطتها وقدرتها على التعامل مع المتغيرات العشوائية المتقطعة والمتصلة على حد سواء دون الحاجة إلى تعديل.

تعتمد الخوارزمية الثانية ^{[ 20 ] على مُقدِّرات متسلسلة هيرميت، وتستخدم مُقدِّرًا بديلًا لمعامل ارتباط رتبة كندال الدقيق، أي احتمال التوافق مطروحًا منه احتمال عدم التوافق بين أزواج الملاحظات ثنائية المتغيرات. كما يُعد هذا المُقدِّر البديل تقريبًا للمُقدِّر القياسي. هذه الخوارزمية}^{[ 20 ]} قابلة للتطبيق فقط على المتغيرات العشوائية المستمرة، ولكنها أظهرت دقةً فائقة وسرعةً مُحتملة مُقارنةً بالخوارزمية الأولى الموصوفة ^{[ 19 ]} ، بالإضافة إلى قدرتها على التعامل مع البيانات غير المستقرة دون الاعتماد على النوافذ المنزلقة. يتوفر تطبيق فعّال لنهج متسلسلة هيرميت في حزمة R المسماة hermiter ^[²⁰^] .

تطبيقات البرمجيات

ينفذ R الاختبار لـ $\tau _{B}$ cor.test(x, y, method = "kendall")في حزمة "stats" الخاصة بها ( cor(x, y, method = "kendall")ستعمل أيضًا، لكن الأخيرة لا تُرجع قيمة p). جميع الإصدارات الثلاثة للمعامل متوفرة في حزمة "DescTools" مع فترات الثقة: KendallTauA(x,y,conf.level=0.95)لـ $\tau _{A}$ ، KendallTauB(x,y,conf.level=0.95)ل $\tau _{B}$ ، StuartTauC(x,y,conf.level=0.95)ل $\tau _{C}$ يتم توفير تقديرات سريعة لمعامل ارتباط رتبة كندال بالإضافة إلى التقديرات المتسلسلة في حزمة hermiter . ^{[ 20 ]}
بالنسبة للغة بايثون ، تقوم مكتبة SciPy بتنفيذ عملية الحساب لـ $\tau _{B}$ فيscipy.stats.kendalltau
يتم تنفيذ ذلك في برنامج Stata على النحو التالي :ktau varlist

انظر أيضاً

علاقة
مسافة تاو كيندال
كيندالز دبليو
معامل ارتباط رتبة سبيرمان
جاما غودمان وكروسكال
مقدر ثيل-سين
اختبار مان-ويتني يو - وهو يعادل معامل ارتباط تاو لكيندال إذا كان أحد المتغيرات ثنائيًا.

مراجع

1 2 كيندال، إم جي (1938). "مقياس جديد لارتباط الرتب". بيومتريكا . 30 ( 1-2 ): 81-89 . doi : 10.1093/biomet/30.1-2.81 . JSTOR 2332226 .
↑ كروسكال، دبليو إتش (1958). " مقاييس الارتباط الترتيبية". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 53 (284): 814-861 . doi : 10.2307/2281954 . JSTOR 2281954. MR 0100941 .
↑ نيلسن، آر بي (2001) [1994]، "مقياس تاو لكيندال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
↑ بروخوروف، أ. ف. (2001) [1994]، "معامل ارتباط الرتب لكيندال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
↑ فالز، بول د.؛ ماكلويد، أ. إيان (فبراير 1990). "اشتقاق مبسط لتباين معامل ارتباط رتب كندال" . الإحصائي الأمريكي . 44 (1): 39-40 . doi : 10.1080/00031305.1990.10475691 . ISSN 0003-1305 .
↑ فالز، بول د.؛ ماكلويد، أ. إيان؛ طومسون، ماري إي. (فبراير 1995). "دالة توليد العزوم التراكمية وتقريبات احتمال الذيل لدرجة كندال مع الرتب المتساوية" . حوليات الإحصاء . 23 (1): 144-160 . doi : 10.1214/aos/1176324460 . ISSN 0090-5364 .
↑ هوفدينغ، فاسيلي (1992)، "فئة من الإحصاءات ذات التوزيع الطبيعي التقاربي" ، في كوتز، صموئيل؛ جونسون، نورمان ل. (محرران)، اختراقات في الإحصاء: الأسس والنظرية الأساسية ، سلسلة سبرينغر في الإحصاء، نيويورك، نيويورك: سبرينغر، ص 308-334 ، doi : 10.1007/978-1-4612-0919-5_20 ، ISBN 978-1-4612-0919-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 يناير 2024
↑ كيندال، إم جي (1949). "الارتباط بين الرتب ومعامل ارتباط بيرسون" . بيومتريكا . 36 (1/2): 177-193 . doi : 10.2307/2332540 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2332540. PMID 18132091 .
^ ريتشارد غرينر، (1909)، Ueber das Fehlersystem der Kollektiv-maßlehre ، Zeitschrift für Mathematik und Physik، Band 57، BG Teubner، Leipzig، الصفحات 121-158، 225-260، 337-373.
↑ موران، ب. أ. ب. (1948). " ارتباط الرتب وارتباط عزم المنتج" . بيومتريكا . 35 (1/2): 203-206 . doi : 10.2307/2332641 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2332641. PMID 18867425 .
↑ بيرغر، دانيال (2016). "برهان على مساواة غرينر" . المجلة الإلكترونية لشبكة أبحاث العلوم الاجتماعية . doi : 10.2139/ssrn.2830471 . ISSN 1556-5068 .
↑ كيندال، إم جي (1945). "معالجة حالات التعادل في مسائل الترتيب 1" . مجلة Biometrika . 33 (3): 239-251 . doi : 10.2307/2332303 . JSTOR 2332303. PMID 21006841. تاريخ الاسترجاع: 12 نوفمبر 2024 .
↑ ألفريد بروفي (1986). "خوارزمية وبرنامج لحساب معامل ارتباط رتبة كندال" (ملف PDF) . أساليب البحث السلوكي، والأدوات، والحواسيب . 18 : 45-46 . doi : 10.3758/BF03200993 . S2CID 62601552 .
↑ آي بي إم (2016). خوارزميات برنامج IBM SPSS Statistics 24. آي بي إم. ص 168. تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أغسطس 2017 .
1 2 بيري، كيه جيه؛ جونستون، جيه إي؛ زهران، إس؛ ميلكي، بي دبليو (2009). "مقياس تاو ستيوارت لحجم التأثير للمتغيرات الترتيبية: بعض الاعتبارات المنهجية" . أساليب البحث السلوكي . 41 (4): 1144-1148 . doi : 10.3758/brm.41.4.1144 . PMID 19897822 .
1 2 3 ستيوارت، أ. (1953). "تقدير ومقارنة قوة الارتباط في جداول التوافق". Biometrika . 40 ( 1-2 ): 105-110 . doi : 10.2307/2333101 . JSTOR 2333101 .
↑ فالز، بول د.؛ ماكلويد، أ. إيان؛ طومسون، ماري إي. (فبراير 1995). "دالة توليد العزوم التراكمية وتقريبات احتمال الذيل لدرجة كندال مع الرتب المتساوية" . حوليات الإحصاء . 23 (1): 144-160 . doi : 10.1214/aos/1176324460 . ISSN 0090-5364 .
↑ نايت، و. (1966). "طريقة حاسوبية لحساب معامل تاو لكيندال مع البيانات غير المصنفة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 61 (314): 436-439 . doi : 10.2307/2282833 . JSTOR 2282833 .
1 2 3 4 شياو، و. (2019). "خوارزميات جديدة عبر الإنترنت للارتباطات غير البارامترية مع تطبيق لتحليل بيانات المستشعرات". المؤتمر الدولي لهندسة الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) لعام 2019 حول البيانات الضخمة (البيانات الضخمة) . الصفحات 404-412 . doi : 10.1109/BigData47090.2019.9006483 . ISBN 978-1-7281-0858-2. S2CID 211298570 .
1 2 3 4 5 ستيفانو، م. وفاروغيز، م. (2023). "Hermiter: حزمة R للتقدير غير البارامتري المتسلسل". الإحصاءات الحاسوبية . arXiv : 2111.14091 . doi : 10.1007/s00180-023-01382-0 . S2CID 244715035 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

للمزيد من القراءة

عبدي، ح. (2007). "معامل ارتباط رتبة كندال" (ملف PDF) . في: سالكيند، ن. ج. (محرر). موسوعة القياس والإحصاء . ثاوزند أوكس (كاليفورنيا): سيج.
دانيال، واين دبليو. (1990). "معامل تاو لكيندال" . الإحصاءات اللامعلمية التطبيقية ( الطبعة الثانية). بوسطن: بي دبليو إس-كينت. الصفحات 365-377 . ISBN 978-0-534-91976-4.
كيندال، موريس؛ جيبونز، جين ديكنسون (1990) [نُشر لأول مرة عام 1948]. أساليب ارتباط الرتب . سلسلة كتب تشارلز جريفين ( الطبعة الخامسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0195208375.
بونيت، دوغلاس ج.؛ رايت، توماس أ. (2000). "متطلبات حجم العينة لتقدير معاملات ارتباط بيرسون، وكيندال، وسبيرمان". مجلة القياس النفسي . 65 (1): 23-28 . doi : 10.1007/BF02294183 . S2CID 120558581 .

روابط خارجية

[kendall1938-1] 1 2 كيندال، إم جي (1938). "مقياس جديد لارتباط الرتب". بيومتريكا . 30 ( 1-2 ): 81-89 . doi : 10.1093/biomet/30.1-2.81 . JSTOR 2332226 .

[2] كروسكال، دبليو إتش (1958). " مقاييس الارتباط الترتيبية". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 53 (284): 814-861 . doi : 10.2307/2281954 . JSTOR 2281954. MR 0100941 .

[3] نيلسن، آر بي (2001) [1994]، "مقياس تاو لكيندال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس

[4] بروخوروف، أ. ف. (2001) [1994]، "معامل ارتباط الرتب لكيندال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

[5] فالز، بول د.؛ ماكلويد، أ. إيان (فبراير 1990). "اشتقاق مبسط لتباين معامل ارتباط رتب كندال" . الإحصائي الأمريكي . 44 (1): 39-40 . doi : 10.1080/00031305.1990.10475691 . ISSN 0003-1305 .

[:02-6] فالز، بول د.؛ ماكلويد، أ. إيان؛ طومسون، ماري إي. (فبراير 1995). "دالة توليد العزوم التراكمية وتقريبات احتمال الذيل لدرجة كندال مع الرتب المتساوية" . حوليات الإحصاء . 23 (1): 144-160 . doi : 10.1214/aos/1176324460 . ISSN 0090-5364 .

[7] هوفدينغ، فاسيلي (1992)، "فئة من الإحصاءات ذات التوزيع الطبيعي التقاربي" ، في كوتز، صموئيل؛ جونسون، نورمان ل. (محرران)، اختراقات في الإحصاء: الأسس والنظرية الأساسية ، سلسلة سبرينغر في الإحصاء، نيويورك، نيويورك: سبرينغر، ص 308-334 ، doi : 10.1007/978-1-4612-0919-5_20 ، ISBN 978-1-4612-0919-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 يناير 2024

[8] كيندال، إم جي (1949). "الارتباط بين الرتب ومعامل ارتباط بيرسون" . بيومتريكا . 36 (1/2): 177-193 . doi : 10.2307/2332540 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2332540. PMID 18132091 .

[9] ريتشارد غرينر، (1909)، Ueber das Fehlersystem der Kollektiv-maßlehre ، Zeitschrift für Mathematik und Physik، Band 57، BG Teubner، Leipzig، الصفحات 121-158، 225-260، 337-373.

[10] موران، ب. أ. ب. (1948). " ارتباط الرتب وارتباط عزم المنتج" . بيومتريكا . 35 (1/2): 203-206 . doi : 10.2307/2332641 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2332641. PMID 18867425 .

[11] بيرغر، دانيال (2016). "برهان على مساواة غرينر" . المجلة الإلكترونية لشبكة أبحاث العلوم الاجتماعية . doi : 10.2139/ssrn.2830471 . ISSN 1556-5068 .

[kendall1945-12] كيندال، إم جي (1945). "معالجة حالات التعادل في مسائل الترتيب 1" . مجلة Biometrika . 33 (3): 239-251 . doi : 10.2307/2332303 . JSTOR 2332303. PMID 21006841. تاريخ الاسترجاع: 12 نوفمبر 2024 .

[13] ألفريد بروفي (1986). "خوارزمية وبرنامج لحساب معامل ارتباط رتبة كندال" (ملف PDF) . أساليب البحث السلوكي، والأدوات، والحواسيب . 18 : 45-46 . doi : 10.3758/BF03200993 . S2CID 62601552 .

[IBM-14] آي بي إم (2016). خوارزميات برنامج IBM SPSS Statistics 24. آي بي إم. ص 168. تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أغسطس 2017 .

[Berry-15] 1 2 بيري، كيه جيه؛ جونستون، جيه إي؛ زهران، إس؛ ميلكي، بي دبليو (2009). "مقياس تاو ستيوارت لحجم التأثير للمتغيرات الترتيبية: بعض الاعتبارات المنهجية" . أساليب البحث السلوكي . 41 (4): 1144-1148 . doi : 10.3758/brm.41.4.1144 . PMID 19897822 .

[Stuart-16] 1 2 3 ستيوارت، أ. (1953). "تقدير ومقارنة قوة الارتباط في جداول التوافق". Biometrika . 40 ( 1-2 ): 105-110 . doi : 10.2307/2333101 . JSTOR 2333101 .

[:0-17] فالز، بول د.؛ ماكلويد، أ. إيان؛ طومسون، ماري إي. (فبراير 1995). "دالة توليد العزوم التراكمية وتقريبات احتمال الذيل لدرجة كندال مع الرتب المتساوية" . حوليات الإحصاء . 23 (1): 144-160 . doi : 10.1214/aos/1176324460 . ISSN 0090-5364 .

[18] نايت، و. (1966). "طريقة حاسوبية لحساب معامل تاو لكيندال مع البيانات غير المصنفة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 61 (314): 436-439 . doi : 10.2307/2282833 . JSTOR 2282833 .

[Xiao2019-19] 1 2 3 4 شياو، و. (2019). "خوارزميات جديدة عبر الإنترنت للارتباطات غير البارامترية مع تطبيق لتحليل بيانات المستشعرات". المؤتمر الدولي لهندسة الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) لعام 2019 حول البيانات الضخمة (البيانات الضخمة) . الصفحات 404-412 . doi : 10.1109/BigData47090.2019.9006483 . ISBN 978-1-7281-0858-2. S2CID 211298570 .

[StephanouHermiter2022-20] 1 2 3 4 5 ستيفانو، م. وفاروغيز، م. (2023). "Hermiter: حزمة R للتقدير غير البارامتري المتسلسل". الإحصاءات الحاسوبية . arXiv : 2111.14091 . doi : 10.1007/s00180-023-01382-0 . S2CID 244715035 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[

[

[ 3 ]

4

[ 5 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ ١٢ ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ] لأول مرة من قبل ستيوارت عام 1953.

[ 16 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗