ملخص لامبرت

في التحليل الرياضي ونظرية الأعداد التحليلية ، يعد جمع لامبرت طريقة لجمع المتسلسلات اللانهائية المتعلقة بمتسلسلات لامبرت ذات الصلة بشكل خاص في نظرية الأعداد التحليلية.

عرّف نواة لامبرت بواسطة${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$مع${\displaystyle L(1)=1}$. لاحظ أن${\displaystyle L(x^{n})>0}$يتناقص كدالة لـ${\displaystyle n}$متى${\displaystyle 0<x<1}$مبلغ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$هل يمكن جمع لامبرت إلى${\displaystyle A}$لو${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$، مكتوب${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )}$.

نظرية أبيليان : إذا كانت متسلسلة متقاربة إلى${\displaystyle A}$إذن، يمكن جمعها باستخدام لامبرت إلى${\displaystyle A}$.

نظرية تاوبر : لنفترض أن${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$هل يمكن جمع لامبرت إلى${\displaystyle A}$ثم يكون قابلاً للجمع إلى أبيل${\displaystyle A}$وخاصة إذا${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$هل يمكن جمع لامبرت إلى${\displaystyle A}$و${\displaystyle na_{n}\geq -C}$ثم${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle A}$.

أُثبتت نظرية تاوبر لأول مرة على يد جي إتش هاردي وجون إيدنسور ليتلوود ، لكنها لم تكن مستقلة عن نظرية الأعداد، بل استخدما في الواقع تقديرًا قائمًا على نظرية الأعداد أقوى نوعًا ما من نظرية الأعداد الأولية نفسها. وقد حُلّت المشكلة المتعلقة بنظرية لامبرت تاوبر على يد نوربرت وينر .

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )}$حيث μ هي دالة موبيوس . لذا، إذا تقاربت هذه المتسلسلة، فإنها تتقارب إلى الصفر. لاحظ أن المتتابعة${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$يحقق شرط تاوبر، وبالتالي فإن نظرية تاوبر تستلزم${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$بالمعنى المعتاد. وهذا يعادل نظرية الأعداد الأولية .
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )}$أين${\displaystyle \Lambda }$دالة فون مانغولد و${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر . وبحسب نظرية تاوبر، فإن المجموع العادي يتقارب، وعلى وجه الخصوص يتقارب إلى${\displaystyle -2\gamma }$وهذا يعادل${\displaystyle \psi (x)\sim x}$أين${\displaystyle \psi }$هي دالة تشيبيشيف الثانية .

• سلسلة لامبرت
• صيغة أبيل-بلانا
• نظريات أبيليان وتاوبريان

• جاكوب كوريفار (2004). نظرية توبر. قرن من التطورات . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. المجلد.  329. سبرينغر فيرلاج . ص.  18. رقم ISBN 3-540-21058-X.
• هيو ل. مونتغمري ؛ روبرت س. فوغان (2007). نظرية الأعداد الضربية 1. النظرية الكلاسيكية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  97. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 159-160 . ISBN  978-0-521-84903-6.
• نوربرت وينر (1932). "نظريات تاوبر". حوليات الرياضيات 33 ( 1). حوليات الرياضيات، المجلد 33، العدد 1: 1-100 . doi : 10.2307/1968102 . JSTOR 1968102 .