نظرية الأعداد الأولية

في الرياضيات ، تصف نظرية الأعداد الأولية التوزيع التقاربي للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة الموجبة. وهي تُضفي طابعًا رسميًا على الفكرة البديهية القائلة بأن الأعداد الأولية تقل شيوعها كلما كبرت، وذلك من خلال تحديد معدل حدوث ذلك بدقة. وقد أثبت هذه النظرية بشكل مستقل كل من جاك هادامارد ^{[ 1 ]} وشارل جان دي لا فالي بوسان ^{[ 2 ]} عام 1896، مستخدمين أفكارًا طرحها برنارد ريمان (وخاصة دالة زيتا لريمان ).

أول توزيع من هذا النوع تم التوصل إليه هو π(N) ~ N / log ( N ) ، حيث π ( N ) هي دالة عد الأعداد الأولية ( عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي N )، و log( N ) هو اللوغاريتم الطبيعي لـ N. هذا يعني أنه بالنسبة لقيم N الكبيرة بما يكفي ، فإن احتمال أن يكون عدد صحيح عشوائي لا يزيد عن N عددًا أوليًا قريب جدًا من 1/log( N ) . بعبارة أخرى، فإن متوسط ​​الفجوة بين الأعداد الأولية المتتالية ضمن أول N عددًا صحيحًا يساوي تقريبًا log( N ) . ^{[ 3 ]} وبالتالي، فإن احتمال أن يكون عدد صحيح عشوائي مكون من 2n خانة على الأكثر (لقيم n الكبيرة بما يكفي ) عددًا أوليًا هو نصف احتمال أن يكون عدد صحيح عشوائي مكون من n خانة على الأكثر عددًا أوليًا. على سبيل المثال، من بين الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تتجاوز 1000 رقم، يكون واحد من كل 2300 عددًا أوليًا ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302.6 )، بينما من بين الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تتجاوز 2000 رقم، يكون واحد من كل 4600 عددًا أوليًا ( log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605.2 ).

لنفترض أن π ( x ) هي دالة عدّ الأعداد الأولية ، وهي عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي x ، لأي عدد حقيقي x . على سبيل المثال، π (10) = 4، لأن هناك أربعة أعداد أولية (2، 3، 5، و7) أقل من أو تساوي 10. تنص نظرية الأعداد الأولية على أن x /log x هو تقريب جيد لـ π ( x ) (حيث log هنا تعني اللوغاريتم الطبيعي)، بمعنى أن نهاية حاصل قسمة الدالتين π ( x ) و x / log x عندما تزداد x بلا حدود تساوي 1. 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

يُعرف هذا القانون باسم قانون التوزيع التقاربي للأعداد الأولية . وباستخدام الترميز التقاربي، يمكن إعادة صياغة هذه النتيجة على النحو التالي:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

لا تُشير هذه الصيغة (ولا النظرية) إلى نهاية الفرق بين الدالتين عندما تزداد قيمة x بلا حدود. بل تنص النظرية على أن x / log x تُقارب π ( x ) بمعنى أن الخطأ النسبي لهذا التقريب يقترب من الصفر عندما تزداد قيمة x بلا حدود.

تُكافئ نظرية الأعداد الأولية العبارة القائلة بأن العدد الأولي النوني p_{_n} يحقق الشرط التالي :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

يشير الترميز التقاربي، مرة أخرى، إلى أن الخطأ النسبي لهذا التقريب يقترب من الصفر مع ازدياد قيمة n بلا حدود. على سبيل المثال،^{العدد الأولي السابع عشر} هو 2 × 108 512 677 386 048 191 063 ، ^{[ 4 ]} و(2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10^ ¹⁷ ) تُقرّب إلى7 967 418 752 291 744 388 ، وهو خطأ نسبي يبلغ حوالي 6.4٪.

من ناحية أخرى، فإن العلاقات التقاربية التالية متكافئة منطقيًا: ^{[ 5 ] : 80-82}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,{\text{ and}}\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}\,&=1.\end{aligned}}}$

كما هو موضح أدناه ، فإن نظرية الأعداد الأولية مكافئة أيضًا لـ

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

حيث ϑ و ψ هما دالتا تشيبيشيف الأولى والثانية على التوالي، و

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^{[ 5 ] : 92-94}

أين${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$هي دالة ميرتنز .

استنادًا إلى جداول أنطون فيلكيل ويوري فيغا ، افترض أدريان ماري ليجندر في عام 1797 أو 1798 أن π ( a ) يُقارب بالدالة a /( A log a + B ) ، حيث A و B ثابتان غير محددين. وفي الطبعة الثانية من كتابه عن نظرية الأعداد (1808)، قدم تخمينًا أكثر دقة ، حيث A = 1 و B = -1.08366 . وقد تناول كارل فريدريش غاوس المسألة نفسها في سن 15 أو 16 عامًا "في عام 1792 أو 1793"، وفقًا لما ذكره في عام 1849. ^{[ 6 ]} وفي عام 1838، ابتكر بيتر غوستاف ليجون ديريشليه دالة تقريبية خاصة به، وهي التكامل اللوغاريتمي li( x ) (بصيغة مختلفة قليلاً على شكل متسلسلة، والتي أبلغ بها غاوس). تشير صيغتا ليجندر وديريشليه إلى نفس التكافؤ التقاربي المفترض لـ π ( x ) و x / log( x ) المذكور أعلاه، على الرغم من أنه تبين أن تقريب ديريشليه أفضل بكثير إذا أخذنا في الاعتبار الفروق بدلاً من نواتج القسمة.

في ورقتين بحثيتين نُشرتا عامي 1848 و1850، حاول عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف إثبات قانون التوزيع التقاربي للأعداد الأولية. ويُذكر عمله باستخدامه دالة زيتا ζ ( s ) للقيم الحقيقية للمتغير " s "، كما في أعمال ليونارد أويلر ، منذ عام 1737. وقد سبقت أوراق تشيبيشيف مذكرة ريمان الشهيرة عام 1859، ونجح في إثبات صيغة أضعف قليلاً من القانون التقاربي، وهي أنه إذا وُجدت نهاية π ( x )/( x /log( x )) عندما يؤول x إلى اللانهاية ، فإنها تساوي واحدًا بالضرورة. ^{[ 7 ]} وقد استطاع أن يثبت بشكل قاطع أن هذه النسبة محدودة من الأعلى والأسفل بالقيمتين 0.92129 و1.10555 على التوالي، لجميع قيم x الكبيرة بما فيه الكفاية . ^{[ 8 ] [ 9 ]} على الرغم من أن ورقة تشيبيشيف لم تثبت نظرية الأعداد الأولية، إلا أن تقديراته لـ π ( x ) كانت قوية بما يكفي لإثبات فرضية برتراند التي تنص على وجود عدد أولي بين n و 2 n لأي عدد صحيح n ≥ 2 .

كانت إحدى أهم أوراق ريمان البحثية حول توزيع الأعداد الأولية هي مذكراته المنشورة عام 1859 بعنوان " حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار معين "، وهي الورقة الوحيدة التي كتبها في هذا الموضوع. أدخل ريمان أفكارًا جديدة في هذا المجال، أبرزها أن توزيع الأعداد الأولية يرتبط ارتباطًا وثيقًا بأصفار دالة زيتا لريمان الموسعة تحليليًا لمتغير عقدي. وعلى وجه الخصوص، انبثقت من هذه الورقة فكرة تطبيق أساليب التحليل العقدي لدراسة الدالة الحقيقية π ( x ) . وبناءً على أفكار ريمان، توصل جاك هادامارد ^{[ 1 ]} وشارل جان دي لا فالي بوسان ^{[ 2 ]} بشكل مستقل إلى برهانين لقانون التوزيع التقاربي للأعداد الأولية، ونُشرا في العام نفسه (1896). استخدم كلا البرهانين أساليب من التحليل المركب، حيث تم إثبات أن دالة زيتا لريمان ζ ( s ) غير صفرية لجميع القيم المركبة للمتغير s التي لها الشكل s = 1 + it مع t > 0 كخطوة رئيسية في البرهان . ^{[ 10 ]}

خلال القرن العشرين، عُرفت نظرية هادامارد ودي لا فالي بوسان أيضًا باسم نظرية الأعداد الأولية. وقد عُثر على عدة براهين مختلفة لها، بما في ذلك البراهين "الأولية" لأتلي سيلبرغ (1949) ^{[ 11 ]} وبول إيردوس (1949) ^{[ 12 ]} . كانت براهين هادامارد ودي لا فالي بوسان الأصلية طويلة ومعقدة؛ وقد أدخلت البراهين اللاحقة تبسيطات مختلفة باستخدام نظريات تاوبر، لكنها ظلت صعبة الفهم. وفي عام 1980، اكتشف عالم الرياضيات الأمريكي دونالد ج . نيومان برهانًا موجزًا ^{​​[ 13 ] [ 14 ].} ويُعد برهان نيومان، على الأرجح، أبسط برهان معروف للنظرية، على الرغم من أنه ليس "أوليًا" لأنه يستخدم نظرية كوشي التكاملية من التحليل المركب .

فيما يلي ملخص للبرهان المشار إليه في إحدى محاضرات تيرينس تاو . ^{[ 15 ]} وكما هو الحال في معظم براهين نظرية الأعداد الأولية، يبدأ هذا البرهان بإعادة صياغة المسألة بدلالة دالة عدّ الأعداد الأولية، وهي أقل بديهية ولكنها أكثر سلاسة. وتتلخص الفكرة في عدّ الأعداد الأولية (أو مجموعة ذات صلة، مثل مجموعة قوى الأعداد الأولية) بأوزان محددة للوصول إلى دالة ذات سلوك تقاربي أكثر سلاسة. وأكثر دوال العدّ المعممة شيوعًا هي دالة تشيبيشيف ψ ( x ) ، المعرفة بـ

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{\overset {p^{k}\leq x,}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log p\;.}$

يُكتب هذا أحيانًا على النحو التالي:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

حيث Λ ( n ) هي دالة فون مانغولد ، أي

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

أصبح من السهل نسبياً الآن التحقق من أن PNT يعادل الادعاء بأن

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

في الواقع، هذا ما يستنتج من التقديرات السهلة

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log x=\pi (x)\log x}$

و(باستخدام ترميز Big O ) لأي ε > 0 ،

${\displaystyle \psi (x)\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}\log p\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

تتمثل الخطوة التالية في إيجاد تمثيل مفيد لـ ψ ( x ) . لنفترض أن ζ ( s ) هي دالة زيتا لريمان. يمكن إثبات أن ζ ( s ) مرتبطة بدالة فون مانغولد Λ ( n ) ، وبالتالي بـ ψ ( x ) ، من خلال العلاقة التالية:

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

يُظهر تحليل دقيق لهذه المعادلة والخصائص ذات الصلة لدالة زيتا، باستخدام تحويل ميلين وصيغة بيرون ، أنه بالنسبة لقيم x غير الصحيحة ، فإن المعادلة

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho$ :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}

يتحقق ذلك، حيث يشمل المجموع جميع أصفار دالة زيتا (التافهة وغير التافهة). تُعد هذه الصيغة اللافتة للنظر إحدى الصيغ الصريحة في نظرية الأعداد ، وهي تُشير بالفعل إلى النتيجة التي نرغب في إثباتها، إذ يظهر الحد x (الذي يُزعم أنه الرتبة التقاربية الصحيحة لـ ψ ( x ) ) في الطرف الأيمن، متبوعًا بحدود تقاربية (يُفترض أنها) من رتب أدنى.

تتضمن الخطوة التالية في البرهان دراسة أصفار دالة زيتا. ويمكن التعامل مع الأصفار التافهة −2، −4، −6، −8، ... بشكل منفصل:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

والتي تتلاشى لقيم x الكبيرة . يمكن أن تكون الأصفار غير التافهة، وتحديداً تلك الموجودة على الشريط الحرج 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 ، من رتبة تقاربية قابلة للمقارنة مع الحد الرئيسي x إذا كان Re( ρ ) = 1 ، لذلك نحتاج إلى إثبات أن جميع الأصفار لها جزء حقيقي أقل من 1 تمامًا.

يقدم دي جيه نيومان برهانًا موجزًا ​​لنظرية الأعداد الأولية. يُعدّ هذا البرهان "غير بدائي" نظرًا لاعتماده على التحليل المركب، ولكنه يستخدم فقط تقنيات أساسية من مقرر تمهيدي في هذا المجال: صيغة كوشي التكاملية ، ونظرية كوشي التكاملية ، وتقديرات التكاملات المركبة. فيما يلي ملخص موجز لهذا البرهان. للاطلاع على التفاصيل الكاملة، يُرجى مراجعة المرجع ^{[ 14 ] .}

يستخدم البرهان نفس المقدمات كما في القسم السابق باستثناء الدالة بدلاً من ذلك.${\textstyle \ \psi \ ,}$دالة تشيبيشيف${\textstyle \ \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\ }$يتم استخدام ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق حذف بعض الحدود من المتسلسلة لـ${\textstyle \ \psi ~.}$على غرار الحجة الواردة في البرهان السابق المستند إلى محاضرة تاو، يمكننا إثبات أن ϑ ( x ) ≤ π ( x ) log x ، و ϑ ( x ) ≥ ( 1 − ɛ ) ( π ( x ) + O( x ^{1 − ɛ} ) ) log x لأي قيمة لـ 0 < ɛ < 1. وبالتالي ، فإن نظرية PNT مكافئة لـ${\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\tfrac {\ \vartheta (x)\ }{x}}=1~.}$ وبالمثل بدلاً من${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}\ }$الوظيفة${\displaystyle \ \Phi (s)=\sum _{p\leq x}{\tfrac {\ \log p\ }{\;p^{s}\ }}\ }$يتم استخدام ذلك، والذي يتم الحصول عليه عن طريق حذف بعض الحدود في المتسلسلة لـ${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}~.}$الوظائف${\displaystyle \ \Phi (s)\ }$ و${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}\ }$يختلفان بدالة تامة الشكل على${\displaystyle \ \Re (s)=1~.}$بما أن، كما هو موضح في القسم السابق،${\displaystyle \ \zeta (s)\ }$ لا يحتوي على أصفار في السطر${\displaystyle \ \Re =1\ ,}$و${\displaystyle \ \Phi (s)-{\tfrac {1}{\ s-1\ }}\ }$لا توجد فيه نقاط تفرد${\displaystyle \ \Re (s)=1~.}$

ثمة معلومة أخرى ضرورية في برهان نيومان، وهي مفتاح التقديرات في طريقته البسيطة، وهي أن${\displaystyle \ {\tfrac {\ \vartheta (x)\ }{x}}\ }$محدودة. وقد تم إثبات ذلك باستخدام طريقة بارعة وسهلة من ابتكار تشيبيشيف.

يوضح التكامل بالتجزئة كيف${\displaystyle \ \vartheta (x)\ }$و${\displaystyle \ \Phi (s)\ }$مترابطة: لـ${\displaystyle \ \Re (s)>1\ ,}$

${\displaystyle \Phi (s)~=~\int _{1}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} \vartheta (x)}{\;x^{s}\ }}~=~s\int _{1}^{\infty }{\frac {\vartheta (x)}{\ x^{s+1}\ }}\operatorname {d} x~=~s\int _{0}^{\infty }{\frac {\;\vartheta (e^{t})\ }{\;e^{st}\ }}\operatorname {d} t~.}$

تثبت طريقة نيومان نظرية الحدود الجزئية من خلال إظهار التكامل

${\displaystyle I\equiv \int _{0}^{\infty }\left({\frac {\ \vartheta (e^{t})\ }{e^{t}}}-1\right)\operatorname {d} t~.}$

يتقارب، وبالتالي فإن الدالة المراد تكاملها تؤول إلى الصفر عندما${\displaystyle \ t\to \infty \ ,}$وهو ما يُعرف بـ PNT. بشكل عام، لا يعني تقارب التكامل غير المحدود أن الدالة المراد تكاملها تؤول إلى الصفر عند اللانهاية، لأنها قد تتذبذب، ولكن بما أن${\displaystyle \ \vartheta \ }$إذا كانت تتزايد، فمن السهل إثبات ذلك في هذه الحالة.

لإظهار تقارب${\displaystyle \ I\ ,}$ل${\displaystyle \ \Re (z)>0\ }$ يترك

${\displaystyle g_{T}(z)\equiv \int _{0}^{T}f(t)\ e^{-zt}\operatorname {d} t\quad }$و${\displaystyle \quad g(z)\equiv \int _{0}^{\infty }f(t)\ e^{-zt}\operatorname {d} t\quad }$أين${\displaystyle \quad f(t)\equiv {\frac {\ \vartheta (e^{t})\ }{e^{t}}}-1\ }$

ثم

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)~=~g(z)~=~{\frac {\ \Phi (s)\ }{s}}-{\frac {1}{\ s-1\ }}\qquad {\text{where}}\quad z\equiv s-1\ }$

وهو ما يساوي دالة تحليلية على الخط${\displaystyle \ \Re (z)=0~.}$

تقارب التكامل${\displaystyle \ I\ ,}$وبالتالي، يتم إثبات نظرية الحدود والتوقيت من خلال إظهار أن${\displaystyle \ \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)~=~g(0)~.}$وهذا يستلزم تغيير ترتيب النهايات لأنه يمكن كتابته${\textstyle \ \lim _{T\to \infty }\ \lim _{z\to 0}g_{T}(z)~=~\lim _{z\to 0}\ \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)\ }$وبالتالي تم تصنيفها كنظرية تاوبرية.

الفرق${\displaystyle \ g(0)-g_{T}(0)\ }$يتم التعبير عنها باستخدام صيغة كوشي التكاملية ، ثم يتم إثبات أنها صغيرة بالنسبة للقيم الكبيرة${\displaystyle \ T\ }$عن طريق تقدير الدالة المراد تكاملها: ثبت${\displaystyle \ R>0\ }$و${\displaystyle \ \delta >0\ }$لهذا السبب.${\displaystyle \ g(z)\ }$تكون الدالة هولومورفية في المنطقة التي${\displaystyle \ |z|\leq R~}$و${\displaystyle ~\Re (z)\geq -\delta \ ,}$ودع${\displaystyle \ C\ }$ليكن حد تلك المنطقة. بما أن 0 يقع داخل المنطقة، فإن صيغة كوشي التكاملية تعطي

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)~=~{\frac {1}{\ 2\pi i\ }}\int _{C}{\bigl (}\ g(z)-g_{T}(z)\ {\bigr )}\ {\frac {\ \operatorname {d} z\ }{z}}~=~{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\bigl (}\ g(z)-g_{T}(z)\ {\bigr )}\ F(z)\ {\frac {\ \operatorname {d} z\ }{z}}\ }$

أين${\displaystyle \ F(z)\equiv e^{zT}\left(1+{\frac {\;z^{2}\ }{\;R^{2}\ }}\right)\ }$هو العامل الذي أدخله نيومان، والذي لا يغير التكامل لأن${\displaystyle \ F\ }$كامل و​${\displaystyle \ F(0)=1~.}$

لتقدير التكامل، قم بتقسيم المحيط${\displaystyle \ C\ }$إلى جزأين،${\displaystyle \ C=C_{+}+C_{-}\ }$أين${\displaystyle \ C_{+}\equiv C\cap \left\{z\ \vert \ \Re (z)>0\right\}\ }$و${\displaystyle \ C_{-}\equiv C\cap \left\{z\ \vert \ \Re (z)\leq 0\right\}~.}$ثم

${\displaystyle \ g(0)-g_{T}(0)~~=~~\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)\operatorname {d} t\ \operatorname {d} z~~-~\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)\operatorname {d} t\operatorname {d} z~~+~\int _{C_{-}}g(z)\ F(z){\frac {\operatorname {d} z}{\ 2\pi iz\ }}\ ,}$

أين${\displaystyle \ H(t,z)\equiv f(t)\ e^{-tz}{\frac {F(z)}{\ 2\pi i\ }}~.}$لاحظ أن${\displaystyle \ {\frac {\ \vartheta (x)\ }{x}}\ ,}$وبالتالي${\displaystyle \ f(t)\ ,}$محدودة؛ لذا دع${\displaystyle \ B\ }$ليكن حد أعلى ما يلي:${\displaystyle \ B\geq {\bigl |}f(t){\bigr |}~.}$

هذا الحد، بالإضافة إلى التقدير${\displaystyle \ \left|F\right|\ \leq \ 2\ \exp \!{\Bigl (}T\ \Re (z){\Bigr )}{\frac {\ \left|\Re (z)\right|\ }{R}}\ }$ل${\displaystyle \ |z|=R\ ,}$معًا، يتضح أن القيمة المطلقة للتكامل الأول يجب أن تكون${\displaystyle \ \leq {\frac {\ B\ }{R}}~.}$الدالة التكاملية على${\displaystyle \ C_{-}\ }$في التكامل الثاني يكون كاملاً ، لذا وفقًا لنظرية كوشي التكاملية ، فإن المحيط${\displaystyle \ C_{-}\ }$يمكن تعديلها إلى نصف دائرة نصف قطرها${\displaystyle \ R\ }$في النصف الأيسر من المستوى المركب دون تغيير التكامل، وبنفس الحجة المستخدمة في التكامل الأول، نحصل على القيمة المطلقة للتكامل الثاني.${\displaystyle \ \leq {\frac {\ B\ }{R}}~.}$وأخيراً، السماح${\displaystyle \ T\to \infty \ ,}$التكامل الثالث يؤول إلى الصفر لأن${\displaystyle \ e^{zT}\ }$وبالتالي${\displaystyle \ F\ }$يؤول إلى الصفر على الخط الكنتوري. بدمج التقديرين والنهاية نحصل على

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }\ {\bigl |}\ g(0)-g_{T}(0)\ {\bigr |}\ \leq \ {\frac {\ 2B\ }{R}}\ ~.}$

ينطبق هذا على أي${\displaystyle \ R\ }$لذا${\displaystyle \ \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)\ ,}$ويتبع ذلك نظام تحديد المواقع والملاحة والتوقيت.

في ملاحظة مكتوبة بخط اليد على نسخة معاد طباعتها من بحثه المنشور عام 1838 بعنوان " حول استخدام المتسلسلات اللانهائية في نظرية الأعداد "، والذي أرسله بالبريد إلى غاوس، افترض ديريشليه (بصيغة مختلفة قليلاً تعتمد على متسلسلة بدلاً من التكامل) أن تقريبًا أفضل لـ π ( x ) يُعطى بواسطة دالة التكامل اللوغاريتمي المُزاح Li( x ) ، المعرفة بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

في الواقع، يشير هذا التكامل بقوة إلى فكرة أن "كثافة" الأعداد الأولية حول t يجب أن تكون 1 / log t . وترتبط هذه الدالة باللوغاريتم من خلال التوسع التقاربي.

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

لذا، يمكن كتابة نظرية الأعداد الأولية أيضًا على النحو التالي: π ( x ) ~ Li( x ) . في الواقع، أثبت دي لا فالي بوسان في ورقة بحثية أخرى ^{[ 17 ] عام 1899 أن}

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

لبعض الثوابت الموجبة a ، حيث O (...) هو رمز O الكبير . وقد تم تحسين هذا إلى

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$أين${\displaystyle A=0.2098}$[ ^{18 ]​}

في عام 2016، أثبت تيموثي ترودجيان حدًا أعلى صريحًا للفرق بين${\displaystyle \pi (x)}$و${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

ل${\displaystyle x\geq 229}$[ ^{19 ]​}

إن العلاقة بين دالة زيتا لريمان و π ( x ) هي أحد أسباب الأهمية الكبيرة لفرضية ريمان في نظرية الأعداد: فإذا ثبتت صحتها، فإنها ستوفر تقديرًا أفضل بكثير للخطأ في نظرية الأعداد الأولية مقارنةً بالتقديرات المتاحة اليوم. وبشكل أكثر تحديدًا، بيّن هيلج فون كوخ في عام 1901 ^{[ 20 ]} أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، فيمكن تحسين حد الخطأ في العلاقة المذكورة أعلاه إلى

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(هذا التقدير الأخير يُعادل في الواقع فرضية ريمان). تم تقدير الثابت المُستخدم في ترميز Big O في عام 1976 بواسطة لويل شونفيلد ، ^{[ 21 ]} بافتراض فرضية ريمان:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

لكل x ≥ 2657. كما استنتج حدًا مشابهًا لدالة عد الأعداد الأولية لتشيبشيف ψ :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

لجميع قيم x ≥ 73.2  . وقد ثبت أن هذا الحد الأخير يعبر عن قانون قوة التباين إلى المتوسط ​​(عند اعتباره دالة عشوائية على الأعداد الصحيحة) وضوضاء 1/f، كما أنه يتوافق مع توزيع تويدي المركب لبواسون . (تمثل توزيعات تويدي عائلة من التوزيعات الثابتة المقياس التي تعمل كبؤر تقارب لتعميم نظرية النهاية المركزية . ^{[ 22 ]} ). وقد اشتق جيه إي ليتلوود حدًا أدنى أيضًا ، بافتراض فرضية ريمان: ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} 

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)}$

يكون التكامل اللوغاريتمي li ( x ) أكبر من π ( x ) للقيم "الصغيرة" لـ x . ويعود ذلك إلى أنه (بمعنى ما) لا يحسب الأعداد الأولية، بل قوى الأعداد الأولية، حيث تُحسب قوة pⁿ للعدد الأولي ^{p على أنها} 1 / n من العدد الأولي. وهذا يشير إلى أن li( x ) يجب أن يكون عادةً أكبر من π ( x ) بمقدار تقريبي${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$وعلى وجه الخصوص، ينبغي أن تكون دائمًا أكبر من π ( x ) . ومع ذلك، في عام 1914، أثبت ليتلوود أن${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$يتغير الإشارة بشكل متكرر إلى ما لا نهاية. ^{[ 23 ]} من المحتمل أن تكون أول قيمة لـ x حيث تتجاوز π ( x ) قيمة li( x ) حوالي x ~ 10³¹⁶ ؛ انظر المقال الخاص بعددسكيوزلمزيد من التفاصيل. (من جهة أخرى،التكامل اللوغاريتمي للإزاحةLi( x )أصغر من π ( x )حتى عند x = 2؛ في الواقع،Li(2) = 0، بينما π (2) = 1.)

في النصف الأول من القرن العشرين، اعتقد بعض علماء الرياضيات (ولا سيما جي إتش هاردي ) بوجود تسلسل هرمي لأساليب البرهان في الرياضيات، يعتمد على نوع الأعداد ( صحيحة ، حقيقية ، مركبة ) التي يتطلبها البرهان، وأن نظرية الأعداد الأولية (PNT) هي نظرية "عميقة" نظرًا لاحتياجها إلى التحليل المركب . ^{[ 9 ]} وقد اهتز هذا الاعتقاد نوعًا ما ببرهان لنظرية الأعداد الأولية قائم على نظرية تاوبر لفينر ، مع أن برهان فينر يعتمد في نهاية المطاف على خصائص دالة زيتا لريمان على الخط.${\displaystyle Re(s)=1}$، حيث يجب استخدام التحليل المعقد.

في مارس 1948، وضع أتلي سيلبرغ ، بوسائل "أولية"، الصيغة التقاربية

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

أين

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

بالنسبة للأعداد الأولية p . ^{[ 11 ]} بحلول يوليو من ذلك العام، كان كل من سيلبرغ وبول إردوش ^{[ 12 ]} قد حصلا على براهين أولية لنظرية الأعداد الأولية، مستخدمين صيغة سيلبرغ التقاربية كنقطة انطلاق. ^{[ 9 ] [ 26 ]} وقد حسمت هذه البراهين فعليًا فكرة أن نظرية الأعداد الأولية "عميقة" بهذا المعنى، وأظهرت أن الأساليب "الأولية" تقنيًا كانت أقوى مما كان يُعتقد. للاطلاع على تاريخ البراهين الأولية لنظرية الأعداد الأولية، بما في ذلك نزاع الأولوية بين إردوش وسيلبرغ ، انظر مقالًا لدوريان غولدفليد . ^{[ 9 ]}

هناك جدلٌ حول أهمية نتيجة إردوش وسيلبرغ. لا يوجد تعريفٌ دقيقٌ ومقبولٌ على نطاقٍ واسعٍ لمفهوم البرهان الأولي في نظرية الأعداد، لذا فليس من الواضح تمامًا ما المقصود بـ"أولي" في برهانهما. مع أنه لا يستخدم التحليل المركب، إلا أنه في الواقع أكثر تعقيدًا من الناحية التقنية من البرهان القياسي لنظرية بيانو. أحد التعريفات الممكنة للبرهان "الأولي" هو "البرهان الذي يمكن تنفيذه باستخدام حساب بيانو من الرتبة الأولى ". توجد عباراتٌ في نظرية الأعداد (على سبيل المثال، نظرية باريس-هارينغتون ) يمكن إثباتها باستخدام طرق الرتبة الثانية ، ولكن ليس من الرتبة الأولى ، إلا أن مثل هذه النظريات نادرةٌ حتى الآن. من المؤكد أنه يمكن صياغة برهان إردوش وسيلبرغ رسميًا باستخدام حساب بيانو، وفي عام 1994، أثبت شارالامبوس كورناروس وكوستاس ديميتراكوبولوس أنه يمكن صياغة برهانهما رسميًا في جزءٍ ضعيفٍ جدًا من حساب بيانو، وهو I Δ ₀ + exp . ^{[ 27 ]} ومع ذلك، فإن هذا لا يعالج مسألة ما إذا كان من الممكن صياغة البرهان القياسي لـ PNT بشكل رسمي في PA أم لا.

يستخدم برهانٌ "أولي" أحدث لنظرية الأعداد الأولية نظرية الإرجودية ، منسوب إلى فلوريان ريختر. ^{[ 28 ]} تُستنتج نظرية الأعداد الأولية هناك بصيغة مكافئة مفادها أن مجموع قيم دالة ليوفيل وفقًا لطريقة سيزارو يساوي صفرًا. دالة ليوفيل هي${\displaystyle (-1)^{\omega (n)}}$أين${\displaystyle \omega (n)}$يمثل عدد العوامل الأولية، مع مراعاة التعددية، للعدد الصحيح${\displaystyle n}$ثم يحصل بيرجلسون وريشتر (2022) على هذا الشكل من نظرية الأعداد الأولية من نظرية إرجودية يثبتانها:

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متريًا متراصًا ،${\displaystyle T}$خريطة ذاتية مستمرة لـ${\displaystyle X}$، و${\displaystyle \mu }$أ${\displaystyle T}$مقياس احتمالية بوريل الثابت الذي${\displaystyle T}$هي فريدة من نوعها في كونها إرجودية . ثم، لكل${\displaystyle f\in C(X)}$،

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$

يمكن أيضًا استخدام هذه النظرية الإرجودية لتقديم براهين "ناعمة" للنتائج المتعلقة بنظرية الأعداد الأولية، مثل نظرية بيلاي-سيلبرغ ونظرية إردوش-ديلانج .

في عام ٢٠٠٥، استخدم أفيغاد وآخرون برنامج إثبات النظريات إيزابيل لابتكار صيغة مُحَقَّقة حاسوبيًا لإثبات إردوش-سيلبرغ لنظرية PNT. ^{[ ٢٩ ]} وكان هذا أول إثبات مُحَقَّق آليًا لنظرية PNT. اختار أفيغاد صياغة إثبات إردوش-سيلبرغ رسميًا بدلًا من الإثبات التحليلي، لأنه على الرغم من أن مكتبة إيزابيل في ذلك الوقت كانت قادرة على تطبيق مفاهيم النهاية والمشتقة والدالة المتسامية ، إلا أنها كانت تفتقر إلى نظرية التكامل تقريبًا. ^{[ ٢٩ ] : ١٩}

في عام 2009، استخدم جون هاريسون برنامج HOL Light لصياغة برهان يستخدم التحليل المركب . ^{[ 30 ]} من خلال تطوير الأدوات التحليلية اللازمة، بما في ذلك صيغة كوشي التكاملية ، تمكن هاريسون من صياغة "برهان مباشر وحديث وأنيق بدلاً من حجة إردوش-سيلبرغ 'الأولية' الأكثر تعقيدًا ".

لنفترض أن _πd , _{a (} x ) يمثل عدد الأعداد الأولية في المتتابعة الحسابية a , a + d , a + 2d , a + 3d , ... التي تقل عن x . وقد افترض ديريشليه وليجندر، وأثبت دي لا فالي بوسان، أنه إذا كان a و d عددين أوليين فيما بينهما ، فإن

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

حيث φ هي دالة أويلر . بعبارة أخرى، تتوزع الأعداد الأولية بالتساوي بين فئات البواقي [ a ] بتردد d بحيث يكون القاسم المشترك الأكبر ( a , d ) = 1.  وهذا أقوى من نظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية (التي تنص فقط على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية في كل فئة)، ويمكن إثباته باستخدام أساليب مشابهة لتلك التي استخدمها نيومان في إثباته لنظرية الأعداد الأولية. ^{[ 31 ]}

تعطي نظرية سيجل -والفيسز تقديرًا جيدًا لتوزيع الأعداد الأولية في فئات البقايا.

أثبت بينيت وآخرون ^{[ 32 ]} التقدير التالي الذي يحتوي على ثوابت صريحة A و B (النظرية 1.3): ليكن d${\displaystyle \geq 3}$ليكن d عددًا صحيحًا، وليكن a عددًا صحيحًا أوليًا نسبيًا مع d . عندئذٍ، توجد ثوابت موجبة A و B بحيث

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

أين

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

و

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

سباق الأعداد الأولية

على الرغم من أن لدينا على وجه الخصوص

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

تجريبياً، تكون الأعداد الأولية المتطابقة مع 3 أكثر عدداً، وتتقدم دائماً تقريباً في "سباق الأعداد الأولية" هذا؛ ويحدث أول انعكاس عند x = 26861. ^{[ 33 ] : 1-2.} ومع ذلك، أظهر ليتلوود في عام 1914 ^{[ 33 ] : 2} أن هناك عدداً لا نهائياً من تغيرات الإشارة للدالة.

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

لذا، يتبادل العددان الصدارة في السباق ذهابًا وإيابًا عددًا لا نهائيًا من المرات. تُعرف ظاهرة تقدم π _4,3 ( x ) في معظم الأوقات بانحياز تشيبيشيف . يُعمم سباق الأعداد الأولية ليشمل معاملات أخرى، وهو موضوع بحث مكثف؛ فقد تساءل بال توران عما إذا كان من الصحيح دائمًا أن يتبادل π _{c , a} ( x ) و π _{c , b} ( x ) مواقعهما عندما يكون a و b أوليين نسبيًا مع c . ^{[ 34 ]} يقدم غرانفيل ومارتن شرحًا وافيًا ودراسة شاملة. ^{[ 33 ]}

مثال آخر هو توزيع الرقم الأخير للأعداد الأولية. باستثناء 2 و5، تنتهي جميع الأعداد الأولية بـ 1 أو 3 أو 7 أو 9. تنص نظرية ديريشليه على أنه تقاربياً، ينتهي 25% من جميع الأعداد الأولية بكل من هذه الأرقام الأربعة. مع ذلك، تُظهر الأدلة التجريبية أنه، بالنسبة لنهاية معينة، يميل عدد الأعداد الأولية التي تنتهي بـ 3 أو 7 إلى أن يكون أكبر قليلاً من عدد الأعداد الأولية التي تنتهي بـ 1 أو 9 (وهو ما يُعرف بانحياز تشيبيشيف). ^{[ 35 ]} ويترتب على ذلك أن 1 و9 هما عددان متبقيان تربيعيان بتردد 10، وأن 3 و7 ليسا عددين متبقيين تربيعيين بتردد 10.

تُعدّ نظرية الأعداد الأولية نتيجة تقاربية . وهي تُعطي حدًا غير فعال على π ( x ) كنتيجة مباشرة لتعريف النهاية: لكل ε > 0 ، يوجد S بحيث أنه لكل x > S ،

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

ومع ذلك، توجد حدود أفضل معروفة لـ π ( x ) ، على سبيل المثال حدود بيير دوسارت

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

المتباينة الأولى صحيحة لجميع قيم x ≥ 599 والثانية صحيحة لقيم x ≥ 355991. ^{[ 36 ]}

يُشير برهان دي لا فالي بوسان إلى الحد التالي: لكل ε > 0 ، يوجد S بحيث أنه لكل x > S ،

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

تعطي القيمة ε = 3 حدًا ضعيفًا ولكنه مفيد في بعض الأحيان لـ x ≥ 55 : ^{[ 37 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

في أطروحة بيير دوسارت، توجد صيغ أقوى لهذا النوع من المتباينات صالحة لقيم x الأكبر . وفي وقت لاحق من عام 2010، أثبت دوسارت ما يلي: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

لاحظ أن الشرط الأول من هذه الشروط يلغي شرط ε > 0 على الحد الأدنى.

ونتيجة لنظرية الأعداد الأولية، نحصل على تعبير تقاربي للعدد الأولي رقم n ، ويرمز له بـ p _n :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$^{[ 39 ]}

والتقريب الأفضل هو ما قدمه سيزارو (1894): ^{[ 40 ]}

${\displaystyle p_{n}=nB_{2}(\log n),{\text{ where}}}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+11}{2x^{2}}}+o\left({\frac {1}{x^{2}}}\right).}$

مع الأخذ بعين الاعتبار مرة أخرى2 × 10 العدد الأولي ^{السابع عشر}8 512 677 386 048 191 063 ، بافتراض أن حد الخطأ اللاحق يساوي صفرًا، يعطي تقديرًا لـ8 512 681 315 554 715 386 ؛ تتطابق الأرقام الخمسة الأولى ويبلغ الخطأ النسبي حوالي 0.46 جزء في المليون .

أظهر سيبولا (1902) ^{[ 41 ] [ 42 ]} أن هذه هي الحدود الرئيسية لمتسلسلة لانهائية يمكن اقتطاعها عند درجة عشوائية، مع

${\displaystyle B_{k}(x)=x+\log x-1-\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}{\frac {P_{i}(\log x)}{ix^{i}}}+O\left({\frac {(\log x)^{k+1}}{x^{k+1}}}\right),}$

حيث يمثل كل P _i متعدد حدود أحادي الدرجة i . ( P ₁ ( y ) = y − 2 ، P ₂ ( y ) = y ² − 6 y + 11 ، P ₃ ( y ) = y ³ − 21 / 2 y 2 + 42 ^y + 131 / 2 ، وهكذا . ^{[ 42 ]} )

تنص نظرية روسر ^{[ 37 ]} على أن

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

وجد دوسارت (1999). ^{[ 43 ]} حدودًا أدق باستخدام صيغة تقريبات سيزارو/سيبولا مع تغيير الحد الثابت من الرتبة الأدنى . B k ₍ x ; C ) هي نفس الدالة المذكورة أعلاه، ولكن مع استبدال الحد الثابت من الرتبة الأدنى بالمعامل C :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{0}(\log n;1)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{0}(\log n;0.9484)&&{\text{for }}n\geq 39017,{\text{ where}}\\B_{0}(x;C)\;&=\;x+\log x-C.\\p_{n}\;&>\;nB_{1}(\log n;2.25)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{1}(\log n;1.8)&&{\text{for }}n\geq 27076,{\text{ where}}\\B_{1}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-C}{x}}.\end{aligned}}}$

يمكن توسيع الحدود العليا لتشمل قيم n أصغر ^عن طريق تخفيف قيمة المعامل. على سبيل المثال، p _n < n B ₁ (log n ; 0.5) لجميع قيم n ≥ 20. ^[ 44 ^]

قام أكسلر (2019) ^{[ 44 ]} بتوسيع هذا إلى مستوى أعلى، موضحًا ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{2}(\log n;11.321)\quad {\text{for }}n\geq 2,{\text{ and }}\\p_{n}\;&<\;nB_{2}(\log n;10.667)\quad {\text{for }}n\geq 46\,254\,381,{\text{ where}}\\B_{2}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+C}{2x^{2}}}.\end{aligned}}}$

مرة أخرى، يمكن تقليل الحد الأقصى لـ n عن طريق تخفيف المعامل. على سبيل المثال، p _n < n B ₂ (log n ; 0) لـ n ≥ 3468 .

يقارن الجدول القيم الدقيقة لـ π ( x ) بالتقريبين x /log x و li( x ) . تُقرّب أعمدة فرق التقريب إلى أقرب عدد صحيح، بينما تُحسب أعمدة "نسبة الخطأ" بناءً على التقريبات غير المقربة. أما العمود الأخير، x / π ( x ) ، فيمثل متوسط ​​الفجوة بين الأعداد الأولية والعدد x . 

x	π ( x )	π ( x ) − ⁠ x / log( x ) ⁠	li( x ) − π ( x )	٪ خطأ		x / π ( x )​​
				x / log ( x )​	li( x )
10	4	0	2	8.22%	42.606%	2500
10 2	25	3	5	14.06%	18.597%	4000
10 3	168	23	10	14.85%	5.561%	5.952
10 4	1229	143	17	12.37%	1.384%	8.137
10 5	9592	906	38	9.91%	0.393%	10.425
10 6	78,498	6116	130	8.11%	0.164%	12.739
10 7	664,579	44158	339	6.87%	0.051%	15.047
10 8	5,761,455	332,774	754	5.94%	0.013%	17.357
10 9	50,847,534	2,592,592	1701	5.23%	3.34 × 10 −3  %	19.667
10 10	455,052,511	20,758,029	3104	4.66%	6.82 × 10 −4  %	21.975
10 11	4,118,054,813	169,923,159	11,588	4.21%	2.81 × 10 −4  %	24.283
10 12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	3.83%	1.02 × 10 −4  %	26.590
10 13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	3.52%	3.14 × 10 −5  %	28.896
10 14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	3.26%	9.82 × 10 −6  %	31.202
10 15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	3.03%	3.52 × 10 −6  %	33.507
10 16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	2.83%	1.15 × 10 −6  %	35.812
10 17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	2.66%	3.03 × 10 −7  %	38.116
10 18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	2.51%	8.87 × 10 −8  %	40.420
10 19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	2.36%	4.26 × 10 −8  %	42.725
10 20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	2.24%	1.01 × 10 −8  %	45.028
10 21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	2.13%	2.82 × 10 −9  %	47.332
10 22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	2.03%	9.59 × 10 −10  %	49.636
10 23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	1.94%	3.76 × 10 −10  %	51.939
10 24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	1.86%	9.31 × 10 −11  %	54.243
10 25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	1.78%	3.21 × 10 −11  %	56.546
10 26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	1.71%	9.17 × 10 −12  %	58.850
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	1.64%	3.11 × 10 −12  %	61.153
10 28	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	1.58%	9.05 × 10 −13  %	63.456
10 29	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23130930737541725917951446	4,551,193,622,464	1.53%	2.99 × 10 −13  %	65.759

تم حساب قيمة π (10 ²⁴ ) في الأصل بافتراض فرضية ريمان ؛ ^{[ 45 ]} وقد تم التحقق منها منذ ذلك الحين بشكل غير مشروط. ^{[ 46 ]}

هناك نظير لنظرية الأعداد الأولية التي تصف "توزيع" كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال على حقل منتهٍ ؛ والشكل الذي تتخذه مشابه بشكل لافت للنظر لحالة نظرية الأعداد الأولية الكلاسيكية.

بتعبير أدق، ليكن F = GF( q ) الحقل المنتهي ذو q عنصرًا، حيث q ثابت ، وليكن N_{_n} عدد كثيرات الحدود الأحادية غير القابلة للاختزال على F والتي درجتها تساوي n . أي أننا نبحث عن كثيرات حدود بمعاملات مختارة من F ، لا يمكن كتابتها كحاصل ضرب كثيرات حدود من درجة أقل. في هذا السياق، تؤدي هذه كثيرات الحدود دور الأعداد الأولية، لأن جميع كثيرات الحدود الأحادية الأخرى مبنية من حاصل ضربها. يمكن عندئذٍ إثبات أن

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

إذا قمنا بالتعويض x = q ⁿ ، فإن الطرف الأيمن هو ببساطة

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

مما يجعل التشبيه أكثر وضوحًا. بما أن هناك بالضبط q ^{n من} كثيرات الحدود أحادية الدرجة n (بما في ذلك القابلة للاختزال)، فيمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: إذا تم اختيار كثيرة حدود أحادية الدرجة n عشوائيًا ، فإن احتمال كونها غير قابلة للاختزال هو حوالي 1 / n . 

بل يمكن إثبات نظير لفرضية ريمان، ألا وهو أن

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

إن براهين هذه العبارات أبسط بكثير من الحالة الكلاسيكية. وهي تتضمن حجة توافقية قصيرة ، ^{[ 47 ]} يمكن تلخيصها على النحو التالي: كل عنصر من عناصر امتداد F من الدرجة n هو جذر لكثير حدود غير قابل للاختزال درجته d تقسم n ؛ ومن خلال حساب هذه الجذور بطريقتين مختلفتين، يمكن إثبات أن

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

حيث يكون المجموع على جميع قواسم العدد n ، d . ثم ينتج عن انعكاس موبيوس

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

حيث μ ( k ) هي دالة موبيوس . (كانت هذه الصيغة معروفة لدى غاوس ). يظهر الحد الرئيسي عندما d = n ، وليس من الصعب تحديد حدود الحدود المتبقية. تعتمد "فرضية ريمان" على حقيقة أن أكبر قاسم حقيقي لـ n لا يمكن أن يكون أكبر من n / 2 .

• نظرية الأعداد التحليلية المجردة للحصول على معلومات حول تعميمات النظرية.
• نظرية لاندو للمثالي الأولي لتعميمها على المثالي الأولي في حقول الأعداد الجبرية.
• فرضية ريمان